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Géométrie Affine

Jean-Marc Decauwert

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La géométrie affine est l'étude des propriétés géométriques qui sont conservées par toute transformation affine, comme l'alignement, le parallélisme, les milieux, et plus généralement les rapports de mesures algébriques pour des points alignés. Le cadre naturel en est un espace affine, généralisation en dimension quelconque du plan et de l'espace que vous avez déjà étudiés. Ses éléments sont des points et un espace vectoriel lui est attaché, qui permet d'associer à tout couple de points un vecteur. La notion de barycentre, issue de la mécanique, y joue un rôle essentiel, analogue à celui que joue la notion de combinaison linéaire dans un espace vectoriel. Nous étudierons ensuite les applications affines : ce sont celles qui conservent les barycentres. Leur importance vient de ce que la quasi-totalité des transformations géométriques que vous avez pu rencontrer, en particulier les isométries et plus généralement les similitudes, sont affines. Mais l'étude des notions spécifiquement euclidiennes, comme celles de distances et d'angles, sera abordée dans un autre chapitre.

Certains exemples sont accompagnés de figures interactives créées avec le logiciel libre GeoGebra. Vous pouvez ouvrir ces figures en cliquant sur le bouton «Ouvrir GeoGebra». Une nouvelle fenêtre contenant la figure interactive (une applet java) s'ouvre. N'oubliez pas de fermer les fenêtres ainsi ouvertes une fois que vous avez fini de vous en servir.

Vous trouverez des compléments historiques sur ce chapitre dans nos Histoires de Mathématiques.