Sous-espaces affines

Définition 7   Une partie $F$ d'un espace affine $E$ est un sous-espace affine de $E$ s'il existe un point $A$ de $F$ tel que $\overrightarrow{F}=\{ \overrightarrow{AM} \mid M\in F\}$ soit un sous-espace vectoriel de $\overrightarrow{E}$.

On a alors $F=\{ A+\u\mid \u\in\overrightarrow{F}\}$.

Notation 2   Pour tout point $A$ de $E$ et tout sous-espace vectoriel $\overrightarrow{F}$ de $\overrightarrow{E}$, l'ensemble

$$\Aff (A,\overrightarrow{F})=\{ A+\u\mid \u\in\overrightarrow{F}\}$$

est un sous-espace affine de $E$. On l'appellera sous-espace affine de $E$ passant par $A$ de direction $\overrightarrow{F}$. Si $\u$ est un vecteur non nul de $\overrightarrow{E}$, on notera $D(A,\u)$ la droite affine passant par $A$ et de direction la droite vectorielle $\mathbb{R}\u$. De même, si $\u$ et $\v$ sont deux vecteurs linéairement indépendants, on notera $P(A,\u,\v)$ le plan affine passant par $A$ et de direction le plan vectoriel $\mathbb{R}\u\oplus\mathbb{R}\v$ engendré par les deux vecteurs $\u$ et $\v$.

Proposition 5   Soit $F=\Aff (A,\overrightarrow{F})$ un sous-espace affine de $E$. On a alors, pour tout point $B$ de $F$, $\{ \overrightarrow{BM} \mid M\in F\}=\overrightarrow{F}$.

Démonstration : Puisque $B$ appartient à $F$, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ appartient à $\overrightarrow{F}$. Or $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}$ et l'application $\u\mapsto \u-\overrightarrow{AB}$ est une bijection de $\overrightarrow{F}$ sur $\overrightarrow{F}$, puisque $\overrightarrow{F}$ est un sous-espace vectoriel de $\overrightarrow{E}$. Il en résulte que

$$\{ \overrightarrow{BM} \mid M\in F\}=\{ \overrightarrow{AM}-\over... ...{ \u-\overrightarrow{AB} \mid \u\in \overrightarrow{F}\}=\overrightarrow{F}\; .$$

$\square$

Le sous-espace vectoriel $\overrightarrow{F}$ de $\overrightarrow{E}$ ne dépend donc pas du choix de $A$ dans $F$. On l'appelle direction du sous-espace affine $F$. La restriction de l'application $(M,N) \longmapsto \overrightarrow{MN}$ à $F\times F$ munit $F$ d'une structure naturelle d'espace affine de direction $\overrightarrow{F}$. Sa dimension $\dim(F)$ est celle de $\overrightarrow{F}$.

Un sous-espace affine de dimension 0 est constitué d'un point, un sous-espace affine de dimension 1 est une droite, un sous-espace affine de dimension 2 un plan.

Définition 8   On appelle hyperplan d'un espace affine $E$ de dimension finie tout sous-espace affine de $E$ de dimension $\dim(E)-1$.

Caractérisation en termes de barycentres

Proposition 6   Une partie non vide $F$ d'un espace affine $E$ est un sous-espace affine de $E$ si et seulement si tout barycentre de points de $F$ appartient à $F$.

Démonstration : Si $F$ est un sous-espace affine de $E$, $A$ un point de $F$ et $(A_i,\lambda_i)_{i=1,\dots,n}$ un système de points pondérés de $F$ de poids total non nul, le barycentre $G$ de ce système vérifie $\overrightarrow{AG}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i\overrightarrow{AA_i}}{\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i}$. Il en résulte que $\overrightarrow{AG}$ appartient à $\overrightarrow{F}$, puisque $\overrightarrow{F}$ est un sous-espace vectoriel de $\overrightarrow{E}$, et donc que $G$ appartient à $F$.

Réciproquement, soit $F$ une partie non vide de $E$ telle que tout barycentre de points de $F$ affectés de coefficients quelconques (de somme non nulle) appartient à $F$, et $A$ un point de $F$. Pour tout couple $(M,N)$ de points de $F$ et tout couple $(\lambda,\mu)$ de réels, le point $P$ de $E$ défini par $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{AM}+\mu \overrightarrow{AN}$ est le barycentre du système de points pondérés $[(A, 1-\lambda-\mu), (M,\lambda), (N,\mu)]$ et appartient donc à $F$. Il en résulte que $\overrightarrow{F}=\{ \overrightarrow{AM} \mid M\in F\}$ est un sous-espace vectoriel de $\overrightarrow{E}$ ( $\vec{0}=\overrightarrow{AA}$ appartient à $\overrightarrow{F}$, qui n'est donc pas vide), et donc que $F$ est un sous-espace affine de $E$.$\square$

Parallélisme

Définition 9   Deux sous-espaces affines $F$ et $G$ d'un même espace affine $E$ sont dits parallèles s'ils ont même direction : $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{G}$.

Le parallélisme est une relation d'équivalence sur l'ensemble des sous-espaces affines de $E$. Deux sous-espaces affines parallèles, au sens de cette définition, ont même dimension.

Si deux sous-espaces affines $F$ et $G$ d'un même espace affine $E$ vérifient $\overrightarrow{F}\subset \overrightarrow{G}$, on dit que $F$ est parallèle à $G$ (ou parfois faiblement parallèle à $G$); cette relation n'est naturellement pas symétrique.

Intersection, sous-espace engendré

Proposition 7   L'intersection de toute famille (finie ou infinie) de sous-espaces affines d'un même espace affine est soit vide, soit un sous-espace affine de direction l'intersection des directions de ces sous-espaces affines.

Démonstration : Soit $(F_i)_{i\in I}$ une famille de sous-espaces affines de $E$. Si l'intersection $\bigcap\limits_{i\in I} F_i$ de cette famille est vide, il n'y a rien à démontrer. Sinon, soit $A$ un point de cette intersection. Pour tout $i\in I$, un point $M$ de $E$ appartient à $F_i$ si et seulement si le vecteur $\overrightarrow{AM}$ appartient à la direction $\overrightarrow{F}_i$ de $F_i$, puisque $A$ appartient à $F_i$. Il en résulte que $M$ appartient à $\bigcap\limits_{i\in I} F_i$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ appartient au sous-espace vectoriel $\bigcap\limits_{i\in I} \overrightarrow{F}_i$ de $\overrightarrow{E}$, ce qui montre que $\bigcap\limits_{i\in I} F_i$ est un sous-espace affine de $E$ de direction $\bigcap\limits_{i\in I} \overrightarrow{F}_i$.$\square$

Cette stabilité par intersection permet de poser la définition suivante :

Définition 10   Soit $A$ une partie non vide d'un espace affine $E$. On appelle sous-espace affine engendré par $A$ l'intersection de tous les sous-espaces affines de $E$ contenant $A$.

Proposition 8   Le sous-espace affine engendré par une partie non vide $A$ d'un espace affine $E$ est le plus petit (au sens de l'inclusion) sous-espace affine de $E$ contenant $A$. C'est aussi l'ensemble de tous les barycentres de tous les systèmes de points pondérés de $A$ affectés de coefficients quelconques (de somme non nulle).

Démonstration : Soit $A$ une partie non vide de $E$ et $F_A$ le sous-espace affine de $E$ engendré par $A$. $F_A$ est non vide, car il contient $A$, et c'est un sous-espace affine, comme intersection de sous-espaces affines . Par définition, il est inclus dans tout sous-espace affine de $E$ contenant $A$, c'est donc bien le plus petit sous-espace affine de $E$ contenant $A$.

Soit $G_A$ l'ensemble de tous les barycentres de tous les systèmes de points pondérés de $A$ affectés de coefficients quelconques (de somme non nulle). $G_A$ n'est pas vide, car il contient $A$ (considérer un système réduit à un point), et tout barycentre d'un système de points pondérés de $G_A$ appartient encore à $G_A$ par associativité du barycentre. Il résulte de la proposition 6 que $G_A$ est un sous-espace affine de $E$. Comme il contient $A$, il contient $F_A$. Mais $F_A$ est un sous-espace affine de $E$ et tout point de $A$ appartient à $F_A$. Il en résulte que tout barycentre de points de $A$ appartient à $F_A$, donc que $G_A$ est inclus dans $F_A$. On a donc $F_A=G_A$.$\square$

Proposition 9   Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces affines d'un espace affine $E$, $A$ un point de $F$ et $B$ un point de $G$. L'intersection $F \cap G$ est non vide si et seulement si le vecteur $\overrightarrow{AB}$ appartient à la somme $\overrightarrow{F}+ \overrightarrow{G}$ des directions de ces deux sous-espaces. En particulier, si $\overrightarrow{F}$ et $\overrightarrow{G}$ sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de $\overrightarrow{E}$, l'intersection $F \cap G$ consiste en un point.

Démonstration : Si l'intersection $F \cap G$ n'est pas vide, soit $I$ un point de cette intersection. Le vecteur $\overrightarrow{AI}$ appartient à $\overrightarrow{F}$ et le vecteur $\overrightarrow{IB}$ à $\overrightarrow{G}$. Il en résulte que le vecteur $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}$ appartient à $\overrightarrow{F}+ \overrightarrow{G}$.

Réciproquement, si $\overrightarrow{AB}$ appartient à $\overrightarrow{F}+ \overrightarrow{G}$, il existe un vecteur $\u$ de $\overrightarrow{F}$ et un vecteur $\v$ de $\overrightarrow{G}$ tels que $\overrightarrow{AB}=\u+\v$. Soit $I$ le point de $E$ défini par $\overrightarrow{AI}=\u$. Le point $I$ appartient à $F$ puisque $\overrightarrow{AI}$ appartient à $\overrightarrow{F}$. L'égalité

$$\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AB}=\u- (\u+ \v) = -\v$$

montre que $\overrightarrow{BI}$ appartient à $\overrightarrow{G}$ et donc que $I$ appartient à $G$. Il en résulte que $I$ appartient à l'intersection de $F$ et de $G$, qui n'est donc pas vide.

Dans le cas où $\overrightarrow{F}$ et $\overrightarrow{G}$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $\overrightarrow{E}$, tout vecteur de $\overrightarrow{E}$, en particulier le vecteur $\overrightarrow{AB}$, appartient à $\overrightarrow{E}=\overrightarrow{F}+ \overrightarrow{G}$. L'intersection $F \cap G$ n'est donc pas vide, et sa direction est $\overrightarrow{F}\cap \overrightarrow{G}= \{\vec{0}\}$ (proposition 7). Cette intersection est donc réduite à un point.$\square$