Homothéties et translations

Définition 22   Soit $E$ un espace affine, $O$ un point de $E$ et $k$ un réel non nul. L'homothétie $h_{O,k}$ de centre $O$ et de rapport $k$ est l'application qui à tout point $M$ de $E$ associe le point $M'=h_{O,k}(M)$ défini par $\overrightarrow{OM'}=k\overrightarrow{OM}$.

On vérifie immédiatement que $h_{O,k}$ est une transformation affine d'application linéaire associée l'homothétie vectorielle $k id_{\overrightarrow{E}}$ de rapport $k$, i.e. l'application linéaire qui à tout vecteur $\u$ de $\overrightarrow{E}$ associe le vecteur $k\u$, et que si $k$ est différent de 1, $O$ est le seul point fixe de $h_{O,k}$ (si $k=1$, $h_{O,k}$ est l'identité).

La proposition 30 montre que, réciproquement, toute transformation affine $f$ de partie linéaire $\vec{f}=k id_{\overrightarrow{E}}$, avec $k\not = 1$, admet un point fixe $O$ et un seul ; il en résulte aussitôt que $f$ est l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$.

Proposition 32   Soit $E$ un espace affine, et $k$ un réel différent de 0 et de 1. Une application affine de $E$ dans $E$ est une homothétie de rapport $k$ si et seulement si sa partie linéaire est une homothétie vectorielle de rapport $k$.

On a obtenu à la proposition 27 une caractérisation analogue des translations :

Proposition 33   Une application affine d'un espace affine $E$ dans lui-même est une translation si et seulement si sa partie linéaire est l'identité de $\overrightarrow{E}$.

La proposition suivante se déduit immédiatement de ces deux caractérisations.

Proposition 34   L'ensemble des homothéties et des translations d'un espace affine $E$ constitue un sous-groupe du groupe affine de $E$, appelé groupe des homothéties-translations.

Plus précisément, la composée de deux homothéties de rapports $k_1$ et $k_2$ est une homothétie de rapport $k_1k_2$ si $k_1k_2\not =1$, une translation si $k_1k_2=1$. La composée d'une homothétie de rapport $k\not = 1$ et d'une translation est une homothétie de rapport $k$. L'application réciproque d'une homothétie de rapport $k$ est l'homothétie de même centre et de rapport $1/k$.

Le groupe des homothéties-translations est parfois aussi appelé groupe des dilatations (mais il faut se méfier : ce terme a, pour certains auteurs, un autre sens).

La proposition suivante caractérise géométriquement les éléments de ce sous-groupe :

Proposition 35   Une transformation affine est une homothétie ou une translation si et seulement si elle transforme toute droite en une droite parallèle.

Démonstration : Soit $f$ une transformation affine de $E$. Pour tout vecteur non nul $\u$ de $\overrightarrow{E}$ et tout point $A$ de $E$, la droite de vecteur directeur $\u$ passant par $A$ est transformée par $f$ en la droite de vecteur directeur $\vec{f}(\u)$ passant par $f(A)$. La condition de l'énoncé équivaut donc à «$\vec{f}$ transforme tout vecteur non nul de $\overrightarrow{E}$ en un vecteur colinéaire».

Cette condition est évidemment vérifiée si $f$ est une homothétie ou une translation.

Réciproquement, si cette condition est vérifiée, il existe pour tout vecteur non nul $\u$ de $\overrightarrow{E}$ un réel $\lambda(\u)$ tel que $\vec{f}(\u)=\lambda(\u) \u$. Il faut montrer que $\lambda(\u)$ ne dépend pas de $\u$, autrement dit que $\lambda(\u)=\lambda(\v)$ pour tout couple $(\u,\v)$ de vecteurs non nuls de $\overrightarrow{E}$. Si $\v$ est colinéaire à $\u$, il existe un réel $\alpha$ tel que $\v=\alpha\u$ et par linéarité de $\vec{f}$ $\vec{f}(\v)=\alpha \vec{f}(\u)=\alpha\lambda(\u)\u=\lambda(\u)\v$, d'où $\lambda(\v)=\lambda(\u)$. Si $\u$ et $\v$ ne sont pas colinéaires, le système $(\u,\v)$ est libre et l'égalité

$$\lambda(\u+\v)\u+\lambda(\u+\v)\v=\lambda(\u+\v)[\u+\v]=\vec{f}(\u+\v)=\vec{f}(\u)+\vec{f}(\v)=\lambda(\u)\u+\lambda(\v)\v$$

montre que $\lambda(\u+\v)=\lambda(\u)=\lambda(\v)$. Le réel $\lambda=\lambda(\u)$ ne dépend donc pas de $\u$ et $\vec{f}$ est l'homothétie vectorielle de rapport $\lambda$. Il résulte alors de la proposition 32 que $f$ est une homothétie si $\lambda\not=1$ et de la proposition 33 que $f$ est une translation si $\lambda=1$.$\square$

Il faut bien distinguer cette propriété de la conservation du parallélisme : toute transformation affine transforme des droites parallèles en des droites parallèles ; mais seules les homothéties et les translations transforment toute droite en une droite parallèle à elle-même.