Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.

Questions de cours :  

1. Soit $ABC$ un triangle non aplati d'un plan affine $E$ et $M$ le point de coordonnées barycentriques $(1,-1,1)$ dans le repère affine $(A,B,C)$ de $E$. Montrer que le quadrilatère $ABCM$ est un parallélogramme.

2. Soit $E$ un espace affine de dimension $n$ rapporté à un repère cartésien $(O,\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$. Donner l'équation de la direction d'un hyperplan affine d'équation $a_0+a_1 x_1+\dots +a_n x_n=0$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que deux hyperplans affines d'équations respectives $a_0+a_1 x_1+\dots +a_n x_n=0$ et $a'_0+a'_1 x_1+\dots +a'_n x_n=0$ soient parallèles.

3. Donner deux caractérisations de l'enveloppe convexe d'une partie non vide d'un espace affine.

4. Donner la nature géométrique de la composée de deux homothéties.

5. Montrer qu'une application affine $f$ d'un espace affine $E$ dans lui-même dont la partie linéaire est $-id_{\overrightarrow{E}}$ est une symétrie centrale.

Exercice 1 : Dans l'espace affine $E$ de dimension $3$ rapporté à un repère cartésien $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, soit $\Pi$ le plan d'équation $2x-3y+z+1=0$ et $\v$ le vecteur de composantes $(2,1,-2)$. On note $p$ la projection sur $\Pi$ dans la direction du vecteur $\v$ et $s$ la symétrie par rapport au plan $\Pi$ dans la direction de $\v$.

1. Écrire les coordonnées $(x',y',z')$ du point $M'=p(M)$ en fonction des coordonnées $(x,y,z)$ du point $M$.
2. En déduire la matrice $P$ dans la base $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ de la partie linéaire $\vec p$ de $p$.
3. Calculer la matrice $P^2$. Quel est le rang de $P$ ?
4. Écrire les coordonnées $(x'',y'',z'')$ du point $M''=s(M)$ en fonction des coordonnées $(x,y,z)$ du point $M$.
5. En déduire la matrice $S$ dans la base $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ de la partie linéaire $\vec s$ de $s$. Calculer $S^2$.
6. Soit $\alpha$ un réel. On rappelle que l'affinité $a$ de base $\Pi$, de direction la droite vectorielle $\mathbb{R}\v$ engendrée par $\v$ et de rapport $\alpha$ est l'application de $E$ dans $E$ définie par $\overrightarrow{p(M)a(M)}=\alpha \overrightarrow{p(M)M}$ pour tout point $M$ de $E$. Écrire, pour tout couple $(M,N)$ de points de $E$, le vecteur $\overrightarrow{a(M)a(N)}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{p(M)p(N)}$.
7. En déduire que $a$ est affine et exprimer sa partie linéaire $\vec a$ en fonction de $\vec p$ et de $id_{\overrightarrow{E}}$. Exprimer la matrice $A$ de $\vec a$ en fonction de la matrice $P$ et de la matrice identité.
8. Déterminer un polynôme du second degré annulant $A$.

Exercice 2 :

Le but de l'exercice est d'étudier l'application $m$ qui à un $n$-uplet $(A_1,\dots,A_n)$ de points d'un espace affine $E$ associe le $n$-uplet $(B_1,\dots,B_n)$, où $n\geq 2$ est un entier fixé et, pour $i=1,\dots,n-1$, $B_i$ est le milieu du segment $[A_iA_{i+1}]$ et $B_n$ est le milieu du segment $[A_nA_1]$. On note, pour tout point $A$ de $E$, $s_A$ la symétrie centrale de centre $A$.

1. Montrer que la composée $s_B\circ s_A$ de deux symétries centrales est une translation dont on exprimera le vecteur en fonction de $A$ et $B$. En déduire que la composée d'un nombre pair de symétries centrales est une translation.
2. Montrer que la composée d'un nombre impair de symétries centrales est une symétrie centrale.
3. Soit $(A_1,\dots,A_n)$ un $n$-uplet de points de $E$ et $(B_1,\dots,B_n)$ les points définis précédemment. On définit, pour $k=1,\dots,n$, des applications $f_k$ de $E$ dans $E$ par $f_1=s_{B_1}$ et $f_k=s_{B_k}\circ f_{k-1}$ pour $k\geq 2$. Déterminer $f_k(A_1)$ pour $1\leq k \leq n$.
4. On suppose $n$ impair.

   a)

   Montrer que $f_n$ est une symétrie centrale dont on précisera le centre. En déduire que l'application $m$ est une bijection de l'ensemble des $n$-uplets de points de $E$ sur lui-même.

   b)

   Donner une construction des points $A_i$ connaissant les points $B_i$.

5. On suppose $n$ pair.

   a)

   Montrer que $f_n$ est une translation dont on écrira le vecteur en fonction des points $B_1,\dots,B_n$. En déduire une relation vérifiée par ces points.

   b)

   Déterminer l'image de l'application $m$. Cette application est-elle injective ?