Exercices

Exercice 1   On appelle médianes d'un triangle non aplati $ABC$ les trois droites $(AA')$, $(BB')$, $(CC')$ joignant un sommet de ce triangle au milieu du côté opposé.

1. Écrire l'isobarycentre $G$ d'un triangle $ABC$ comme barycentre des points $A$ et $A'$ (resp. $B$ et $B'$, $C$ et $C'$), où $A'$, $B'$, $C'$ sont les milieux respectifs de $[BC]$, $[CA]$, $[AB]$. Montrer que $\overrightarrow{A'A}=3 \overrightarrow{A'G}$, $\overrightarrow{B'B}=3 \overrightarrow{B'G}$, $\overrightarrow{C'C}=3 \overrightarrow{C'G}$.
2. En déduire que l'isobarycentre d'un triangle non aplati appartient aux trois médianes de ce triangle, qui sont donc concourantes.

Exercice 2   Soient $A$ et $B$ deux points d'un espace affine $E$ et $I$ le milieu du segment $[AB]$. Pour tout point $M$ de $E$, on note $M'$ l'isobarycentre des trois points $A$, $B$, $M$.

1. Comparer les vecteurs $\overrightarrow{IM}$ et $\overrightarrow{IM'}$.
2. En déduire la nature géométrique de l'application de $E$ dans $E$ qui à tout point $M$ associe le point $M'$.

Exercice 3   Triangle des milieux

Soit $ABC$ un triangle, $A'$, $B'$, $C'$ les milieux des segments $[BC]$, $[CA]$, $[AB]$, $G$ l'isobarycentre des points $A$, $B$, $C$.

1. Montrer que $G$ est l'isobarycentre des trois points $A'$, $B'$, $C'$.
2. En déduire que le triangle $A'B'C'$ (qu'on appellera triangle des milieux du triangle $ABC$) est l'image du triangle $ABC$ par une homothétie dont on précisera le centre et le rapport.
3. Montrer que $\overrightarrow{BC}=-2 \overrightarrow{B'C'}$, $\overrightarrow{CA}=-2 \overrightarrow{C'A'}$, $\overrightarrow{AB}=-2 \overrightarrow{A'B'}$.
4. Étant donné un triangle $A'B'C'$, montrer qu'il existe un triangle $ABC$ et un seul dont il est le triangle des milieux. Donner, dans le cas où le triangle $A'B'C'$ n'est pas aplati, une construction du triangle $ABC$ ne faisant intervenir que des tracés de parallèles.

Exercice 4   Quadrilatère des milieux

Soit, dans un plan affine $E$, $ABCD$ un quadrilatère, $I$, $J$, $K$, $L$, $M$, $N$ les milieux respectifs des segments $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$, $[DA]$, $[AC]$, $[BD]$.

1. Montrer que les segments $[IK]$, $[JL]$ et $[MN]$ ont tous pour milieu l'isobarycentre des quatre points $A$, $B$, $C$, $D$.
2. En déduire que $IJKL$, $IMKN$ et $JMLN$ sont des parallélogrammes.
3. Retrouver ces résultats en exprimant les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$, $\overrightarrow{LK}$, $\overrightarrow{IM}$, $\overrightarrow{NK}$, $\overrightarrow{JM}$, $\overrightarrow{NL}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{BA}$.

Exercice 5   Soit dans l'espace $ABCD$ un tétraèdre non aplati. On appelle bimédianes de ce tétraèdre les trois segments joignant les milieux de deux arêtes opposées et médianes les quatre segments $[AA']$, $[BB']$, $[CC']$, $[DD']$ joignant un sommet à l'isobarycentre des trois autres sommets. Montrer que l'isobarycentre $G$ des points $A$, $B$, $C$, $D$ est le milieu des trois bimédianes et qu'il appartient aux quatre médianes. Comparer les vecteurs $\overrightarrow{A'G}$ et $\overrightarrow{A'A}$ (resp. $\overrightarrow{B'G}$ et $\overrightarrow{B'B}$, $\overrightarrow{C'G}$ et $\overrightarrow{C'C}$, $\overrightarrow{D'G}$ et $\overrightarrow{D'D}$).

Exercice 6   Soit, dans l'espace affine de dimension 3, $D_1$ une droite définie par un point $A$ et un vecteur directeur $\u$ et $D_2$ une droite définie par un point $B$ et un vecteur directeur $\v$. Montrer que $D_1$ et $D_2$ sont coplanaires si et seulement si les trois vecteurs $\u$, $\v$ et $\overrightarrow{AB}$ sont liés.

Exercice 7   Soit, dans l'espace affine de dimension 3 rapporté à un repère cartésien, $P$ un plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ et $D$ une droite de vecteur directeur $\u(\alpha,\beta,\gamma)$. Donner une condition pour que $D$ soit parallèle à $P$.

Exercice 8   L'espace de dimension 3 est rapporté à un repère cartésien. Écrire l'équation du plan passant par le point $(0,1,0)$ et parallèle au plan d'équation $x+y-z+3=0$.

Exercice 9   Soit, dans l'espace affine de dimension 3 rapporté à un repère cartésien, $D$ la droite d'équations $x+y-z+3=0$, $2x+z-2=0$. Donner l'équation du plan $P$ contenant $D$ et passant par le point $(1,1,1)$.

Exercice 10   Soient $P_1$, $P_2$, $P_3$ trois plans de l'espace de dimension trois, deux à deux non parallèles. Montrer que les trois droites $D_1=P_2\cap P_3$, $D_2=P_3\cap P_1$, $D_3=P_1\cap P_2$ sont parallèles ou concourantes.

Exercice 11   Dans l'espace affine de dimension 3 rapporté à un repère cartésien, soit $D$ la droite de vecteur directeur $(3,-1,1)$ passant par le point de coordonnées $(2,0,1)$, $P$ le plan passant par le point $(1,-1,1)$ et de vecteurs directeurs $(2,-3,1)$ et $(1,2,0)$, $P'$ le plan passant par le point $(-5,3,0)$ et de vecteurs directeurs $(-1,1,1)$ et $(0,3,1)$. Déterminer $P\cap D$ et $D\cap P'$.

Exercice 12  

1. Montrer que trois droites $D$, $D'$, $D''$ du plan affine, d'équations respectives $ax+by+c=0$, $a'x+b'y+c'=0$, $a''x+b''y+c''=0$ dans un repère cartésien, sont concourantes ou parallèles si et seulement si
   $$\begin{vmatrix} a&b&c\ a'&b'&c'\ a''&b''&c'' \end{vmatrix}=0\; .$$

2. En déduire le théorème de Céva : soit $ABC$ un triangle, $P$, $Q$, $R$ trois points situés respectivement sur les droites $(BC)$, $(AC)$, $(AB)$, distincts des sommets de ce triangle ; alors les droites $(AP)$, $(BQ)$, $(CR)$ sont concourantes ou parallèles si et seulement si
   $$\dfrac{\overline{PB}}{\overline{PC}}\times\dfrac{\overline{QC}}{\overline{QA}} \times\dfrac{\overline{RA}}{\overline{RB}}=-1 .$$

Exercice 13   Soit $ABC$ un triangle non aplati du plan affine $E$ et $(\vec{i},\vec{j})$ une base de $\overrightarrow{E}$. On note, pour tout couple $(\u,\v)$ de vecteurs de $\overrightarrow{E}$, $\mathrm{det}(\u,\v)$ le déterminant de ce couple de vecteurs dans la base $(\vec{i},\vec{j})$.

1. Montrer que $\mathrm{det}(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\mathrm{det}(\overrighta... ...{BC},\overrightarrow{BA})=\mathrm{det}(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})$.

   On appellera aire orientée du triangle $ABC$, l'unité d'aire étant l'aire du parallélogramme construit sur les vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$, le nombre $\dfrac{1}{2}\mathrm{det}(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$.

2. Soit $M$ un point de $E$ de coordonnées barycentriques réduites $(\alpha,\beta,\gamma)$ dans le repère $(A,B,C)$. Exprimer les vecteurs $\overrightarrow{MB}$ et $\overrightarrow{MC}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$. En déduire une expression de $\mathrm{det}(\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MC})$ en fonction $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ et $\mathrm{det}(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$.
3. Montrer que les médianes d'un triangle partagent ce triangle en six petits triangles de même aire.

Exercice 14   Soient $A$, $B$, $C$ trois points distincts d'une droite affine. Montrer que l'un, et l'un seulement, de ces points appartient au segment défini par les deux autres.

Exercice 15   Soit $(A,B,C)$ un repère affine du plan affine $E$. Montrer que trois points $M_1,M_2,M_3$ de $E$ de coordonnées barycentriques réduites respectives $(\alpha_1,\beta_1,\gamma_1)$, $(\alpha_2,\beta_2,\gamma_2)$, $(\alpha_3,\beta_3,\gamma_3)$ dans le repère affine $(A,B,C)$ sont alignés si et seulement si

$$\left\vert\begin{array}{ccc} \alpha_1&\beta_1&\gamma_1\\ \alpha_2&\beta_2&\gamma_2\\ \alpha_3&\beta_3&\gamma_3 \end{array}\right\vert=0 \; .$$

Exercice 16  

1. Soit $E$ un espace affine, $F_1$ et $F_2$ deux sous-espaces affines de $E$ et $k$ un réel. Montrer que l'ensemble $F$ des points $kM_1+(1-k)M_2$, pour $M_1$ parcourant $F_1$ et $M_2$ parcourant $F_2$, est un sous-espace affine de $E$.
2. Préciser la nature de $F$ quand $F_1$ et $F_2$ sont deux droites de l'espace affine de dimension 3 (on discutera selon la position de ces droites).

Exercice 17   Montrer que l'enveloppe convexe de trois points $A$, $B$, $C$ non alignés du plan est la réunion des segments $[A,M]$ pour $M$ parcourant le segment $[B,C]$. Représenter cette enveloppe convexe sur un dessin.

Exercice 18   Soient $\cal A$ et $\cal B$ deux parties non vides d'un espace affine $E$. On appelle jonction de $\cal A$ et $\cal B$, et on note $\Jonc (\cal A ,\cal B)$ la réunion de tous les segments joignant un point quelconque de $\cal A$ à un point quelconque de $\cal B$, i. e. l'ensemble des $M \in E$ tels qu'il existe $P \in \cal A$ et $Q \in \cal B$ tels que $M \in [PQ]$.

1. Soit $\cal P$ une partie non vide de $E$. Comparer $\Conv (\cal P)$ et $\Jonc (\cal P ,\cal P)$. Dessiner $\Conv (\cal P)$ et $\Jonc (\cal P ,\cal P)$ lorsque $\cal P$ est un ensemble de trois points non alignés.
2. Soit $\cal A$ et $\cal B$ deux convexes d'un espace affine $E$. Comparer $\Jonc (\cal A ,\cal B)$ et $\Conv (\cal A \cup \cal B)$.
3. Dans $\mathbb{R}^2$, déterminer $\Conv (\cal P)$ lorsque $\cal P$ est la réunion de la droite d'équation $y=0$ et du point $(0,1)$.

Exercice 19   Cônes convexes

Soit $C$ un convexe d'un espace affine $E$ et $O$ un point de $E$. Montrer que la réunion des demi-droites fermées d'origine $O$ passant par $M$, pour $M$ décrivant $C$, est un convexe.

Exercice 20   Régionnement du plan par les droites portant les côtés d'un triangle

On considère dans le plan affine un triangle non aplati $ABC$ et on note $(\alpha,\beta,\gamma)$ les coordonnées barycentriques réduites d'un point $M$ dans le repère affine $(A,B,C)$.

1. Montrer que les droites $(BC)$, $(CA)$, $(AB)$ portant les côtés du triangle $ABC$ ont respectivement comme équations barycentriques $\alpha=0$, $\beta=0$, $\gamma=0$.
2. Montrer que ces trois droites divisent le plan en 7 régions, qu'on caractérisera par les signes des coordonnées barycentriques réduites d'un point.

Exercice 21   Régionnement de l'espace par les plans portant les faces d'un tétraèdre

On considère dans l'espace un tétraèdre non aplati $ABCD$ et on note $(\alpha,\beta,\gamma,\delta)$ les coordonnées barycentriques réduites d'un point $M$ dans le repère affine $(A,B,C,D)$.

1. Montrer que les plans $(BCD)$, $(CDA)$, $(DAB)$, $(ABC)$ portant les faces du tétraèdre ont respectivement comme équations barycentriques $\alpha=0$, $\beta=0$, $\gamma=0$, $\delta=0$.
2. Montrer que ces quatre plans divisent l'espace en 15 régions, qu'on caractérisera par les signes des coordonnées barycentriques réduites d'un point.

Exercice 22   Montrer que l'image d'un parallélogramme par une transformation affine est un parallélogramme. L'image par une transformation affine d'un quadrilatère qui n'est pas un parallélogramme peut-elle être un parallélogramme ?

Exercice 23   Soient $A$ et $A'$ deux points d'un espace affine $E$.

1. Montrer qu'il existe une unique symétrie centrale qui envoie $A$ sur $A'$. Déterminer son centre.
2. Montrer que, pour tout $\lambda\not=1$, il existe une unique homothétie de rapport $\lambda$ qui envoie $A$ sur $A'$. Déterminer son centre.

Exercice 24   Soit, dans le plan affine, $ABC$ un triangle, $A'$, $B'$, $C'$ les milieux respectifs de $[BC]$, $[CA]$ et $[AB]$, $s_{A'}$, $s_{B'}$, $s_{C'}$ les symétries centrales de centres ces points. Déterminer la nature géométrique des transformations $s_{B'}\circ s_{A'}$ et $s_{C'}\circ s_{B'}\circ s_{A'}$ (on pourra déterminer l'image de $B$ par ces deux transformations).

Exercice 25   Déterminer le sous-groupe du groupe affine $GA(E)$ d'un espace affine $E$ engendré par les symétries centrales.

Exercice 26   Soit, dans le plan affine, $D$ et $D'$ deux droites sécantes en un point $A$, et $I$ un point n'appartenant à aucune de ces droites. Construire un triangle $ABC$ tel que $B$ appartienne à $D$, $C$ appartienne à $D'$ et $I$ soit le milieu de $[BC]$ :

a)

en considérant les parallèles à $D$ et $D'$ menées par $I$ ;

b)

en considérant la droite symétrique de $D'$ par rapport à $I$.

Exercice 27   Conjuguée d'une translation

1. Soit $E$ un espace affine, $f$ une transformation affine de $E$ et $\u$ un vecteur de $\overrightarrow{E}$. Montrer que $f\circ t_{\u}\circ f^{-1}$ est la translation de vecteur $\vec{f}(\u)$.
2. En déduire que le centre du groupe affine est réduit à l'identité.

Exercice 28   Soit $E$ un espace affine, $O$ un point de $E$ et $f$ un élément de $GA(E)$. Montrer que l'application $g\longmapsto f\circ g\circ f^{-1}$ est un isomorphisme de $\Stab (O)$ sur $\Stab (f(O))$.

Il en résulte que les stabilisateurs de tous les points de $E$ sont des sous-groupes conjugués de $GA(E)$.

Exercice 29   Soit $f$ une transformation affine d'un espace affine $E$ dont la partie linéaire $\vec{f}$ est une homothétie vectorielle de rapport $\lambda\not=1$.

1. Soit $A$ un point quelconque de $E$. Montrer que le barycentre $O$ du système de points pondérés $[(A,\lambda),(f(A),-1)]$ est fixe par $f$.
2. En déduire (sans utiliser la proposition 35) que $f$ est l'homothétie affine de centre $O$ et de rapport $\lambda$.

Exercice 30  

1. Déterminer les droites globalement invariantes par une translation de vecteur non nul (resp. par une homothétie de rapport différent de $1$).
2. En déduire que la composée de deux homothéties de centres distincts $A$ et $B$ est
   • soit une translation de vecteur proportionnel à $\overrightarrow{AB}$ ;
   • soit une homothétie dont le centre appartient à la droite $(AB)$.

Exercice 31   Soient $A$ et $B$ deux points d'un espace affine $E$ et $f$ l'application de $E$ dans $E$ qui à tout point $M$ de $E$ associe le point $f(M)$ défini par

$$\overrightarrow{Mf(M)}=4\; \overrightarrow{AM}-2\; \overrightarrow{BM} .$$

1. Comparer les vecteurs $\overrightarrow{f(M)f(N)}$ et $\overrightarrow{MN}$ pour tout couple $(M,N)$ de points de $E$.
2. En déduire que $f$ est affine. Expliciter sa partie linéaire.
3. En déduire la nature géométrique de $f$. Préciser ses points fixes.

Exercice 32   Soit, dans le plan affine, $(D_1,D_2,D_3)$ et $(D'_1,D'_2,D'_3)$ deux triplets constitués chacun de trois droites distinctes concourantes en un point $O$ (resp. $O'$). Le but de l'exercice est de montrer qu'il existe une transformation affine du plan transformant le premier triplet en le second.

1. Soit $A$ (resp. $A'$) un point de $D_1$ (resp. $D'_1$) distinct de $O$ (resp. $O'$), $B$ (resp. $B'$) son projeté sur $D_2$ (resp. $D'_2$) dans la direction de $D_3$ (resp. $D'_3$), $C$ (resp. $C'$) son projeté sur $D_3$ (resp. $D'_3$) dans la direction de $D_2$ (resp. $D'_2$). Montrer que $(O,\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC})$ (resp. $(O',\overrightarrow{O'B'},\overrightarrow{O'C'})$) est un repère cartésien du plan. Donner les coordonnées du point $A$ (resp. $A'$) dans ce repère.
2. En déduire qu'il existe une transformation affine $f$ et une seule du plan vérifiant $f(O)=O'$, $f(B)=B'$, $f(C)=C'$, $f(A)=A'$.
3. Montrer que $f(D_i)=D'_i$ pour $i=1,2,3$.
4. Si $f$ et $g$ sont deux transformations affines du plan vérifiant $f(D_i)=D'_i$ et $g(D_i)=D'_i$ pour $i=1,2,3$, montrer que $h=f^{-1}\circ g$ est une homothétie de centre $O$ (on pourra considérer les images des points $O$, $A$, $B$, $C$ par $h$).

Exercice 33   Soit $\mathcal F$ une partie d'un espace affine possédant deux centres de symétrie distincts $A$ et $B$.

1. Montrer qu'il existe une translation de vecteur non nul laissant $\mathcal F$ globalement invariante, puis qu'il existe une infinité de telles translations.
2. En déduire que $\mathcal F$ ne peut être bornée.
3. Montrer que $\mathcal F$ possède une infinité de centres de symétrie.

Exercice 34   Soit $f$ une application affine d'un espace affine $E$ dans lui-même et $\mathcal F=\{M_1,\cdots ,M_n\}$ un ensemble fini de points de $E$. On suppose que $f(\mathcal F)=\mathcal F$. Montrer que $f$ admet au moins un point fixe.

Exercice 35   Soit $G$ un sous-groupe fini de $GA(E)$. Montrer qu'il existe au moins un point de $E$ qui est fixe par tout élément de $G$. (On pourra considérer l'isobarycentre de la famille $f(M)$ où $M$ est un point de $E$ et $f$ parcourt $G$.)

Exercice 36   Le trapèze

Soit $ABCD$ un trapèze de bases $AB$ et $CD$. On note $K$ et $L$ les milieux des segments $[AB]$ et $[CD]$ et on suppose que les droites $(AD)$ et $(BC)$ se coupent en un point $I$ et les droites $(AC)$ et $(BD)$ en un point $J$.

1. Montrer que l'homothétie $h_I$ de centre $I$ et de rapport $\dfrac{\overline {IA}}{\overline {ID}}$ transforme $D$ en $A$, $C$ en $B$ et $L$ en $K$. En déduire que les points $I$, $K$, $L$ sont alignés.
2. Montrer de même, en considérant l'homothétie $h_J$ de centre $J$ et de rapport $\dfrac{\overline {JC}}{\overline {JA}}$, que les points $J$, $K$, $L$ sont alignés.
3. Montrer que la composée $h_J\circ h_I$ de ces deux homothéties est la symétrie centrale de centre $L$.
4. En déduire que :
   $$\frac{\overline{IK}}{\overline{IL}}\frac{\overline{JL}}{\overline{JK}} = -1 \quad .$$

Exercice 37   Un cas particulier du théorème de Desargues

Montrer que deux triangles non aplatis du plan affine se déduisent l'un de l'autre par une homothétie ou une translation si et seulement si leurs côtés sont deux à deux parallèles.

On verra en compléments (section 3.4) le théorème de Desargues dans toute sa généralité.

Exercice 38   Un problème de construction

Soient $D_1$ et $D_2$ deux droites sécantes du plan affine $E$ et $M$ un point de $E$ n'appartenant à aucune de ces droites. On suppose que le point d'intersection $O$ de $D_1$ et $D_2$ est situé hors du cadre de la figure. Donner une construction de la droite $(OM)$ (on pourra s'inspirer de la figure).

Exercice 39   Deux cas particuliers du théorème de Pappus

1. Soient $D$ et $D'$ deux droites parallèles du plan affine, $A$, $B$, $C$ trois points de $D$, $A'$, $B'$, $C'$ trois points de $D'$. On suppose $(AB')$ et $(BA')$ parallèles, ainsi que $(AC')$ et $(CA')$. Montrer que $(BC')$ et $(CB')$ sont parallèles. (On pourra comparer les vecteurs $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{C'B'}$.)
2. Même question en supposant les droites $D$ et $D'$ sécantes en un point $O$ (distinct des points $A$, $B$, $C$, $A'$, $B'$, $C'$). (On pourra utiliser le théorème de Thalès.)

Exercice 40   Le tourniquet dans le triangle

Par un point $D$ du côté $AB$ d'un triangle $ABC$ on trace la parallèle à $(BC)$ qui coupe $(AC)$ en $E$ ; par $E$ on trace la parallèle à $(AB)$ qui coupe $(CB)$ en $F$ ; par $F$ on trace la parallèle à $(CA)$ qui coupe $(BA)$ en $G$ ; par $G$ on trace la parallèle à $(BC)$ qui coupe $(AC)$ en $H$ ; par $H$ on trace la parallèle à $(AB)$ qui coupe $(CB)$ en $I$ ; par $I$ on trace la parallèle à $(CA)$ qui coupe $(BA)$ en $J$.

La figure GeoGebra vous permet de déplacer le point $D$ sur la droite $(AB)$ (même en-dehors du segment $[AB]$) et de déformer le triangle $ABC$. installer Java.

1. Montrer que l'application $f$ de la droite $(AB)$ dans elle-même qui au point $D$ associe le point $J$ est affine.
2. Déterminer les images des points $A$ et $B$ par $f$.
3. En déduire que $J=D$.
4. Redémontrer ce résultat en utilisant le théorème de Thalès.

Exercice 41   Théorème de Ménélaüs

Soit $ABC$ un triangle non aplati, $P$, $Q$, $R$ trois points situés respectivement sur les droites $(BC)$, $(CA)$ et $(AB)$ et distincts des sommets $A$, $B$, $C$. Alors les points $P$, $Q$, $R$ sont alignés si et seulement si :

$$\dfrac{\overline {PB}}{\overline {PC}} \dfrac{\overline {QC}}{\overline {QA}} \dfrac{\overline {RA}}{\overline {RB}} =1 .$$

Indication : pour la partie directe, on pourra projeter sur une droite (par exemple $BC$) dans la direction de la droite $PQR$.

Exercice 42   Le théorème de Ménélaüs en dimension quelconque

Soit $(A_0,A_1,\ldots,A_n)$ un repère affine d'un espace affine $E$ de dimension $n$. On pose $A_{n+1}=A_0$. Soit, pour $i=0,\ldots,n$, $M_i$ un point de la droite $(A_iA_{i+1})$ distinct de $A_i$ et $A_{i+1}$. Montrer que les points $M_i$ ( $i=0,\ldots,n$) appartiennent à un même hyperplan si et seulement si :

$$\prod_{i=0}^n \frac{\overline{M_iA_i}}{\overline{M_iA_{i+1}}}=1$$

(on pourra considérer la composée des homothéties de centre $M_i$ transformant $A_i$ en $A_{i+1}$).

Exercice 43   Théorème de Ceva

Soit $ABC$ un triangle non aplati, $P$, $Q$, $R$ trois points situés respectivement sur les droites $(BC)$, $(CA)$ et $(AB)$ et distincts des sommets $A$, $B$, $C$. Alors les droites $(AP)$, $(BQ)$ et $(CR)$ sont concourantes ou parallèles si et seulement si :

$$\dfrac{\overline {PB}}{\overline {PC}} \dfrac{\overline {QC}}{\overline {QA}} \dfrac{\overline {RA}}{\overline {RB}} =-1 .$$

Indication : dans le cas des droites concourantes, on pourra par exemple appliquer le théorème de Ménélaüs à des triangles et des sécantes bien choisis.

Exercice 44   Soit $ABC$ un triangle non aplati, $A'$ le symétrique de $A$ par rapport à $B$, $B'$ le symétrique de $B$ par rapport à $C$, $C'$ le symétrique de $C$ par rapport à $A$. Le but de l'exercice est de reconstruire le triangle $ABC$ à partir du seul triangle $A'B'C'$.

1. Soit $A_1$ l'intersection des droites $(AB)$ et $(B'C')$, $B_1$ l'intersection des droites $(BC)$ et $(C'A')$, $C_1$ l'intersection des droites $(CA)$ et $(A'B')$, $A_2$ l'intersection de la droite $(B'C')$ et de la parallèle à $(AB)$ menée par $C$, $B_2$ l'intersection de la droite $(C'A')$ et de la parallèle à $(BC)$ menée par $A$, $C_2$ l'intersection de la droite $(A'B')$ et de la parallèle à $(CA)$ menée par $B$. Montrer en utilisant le théorème de Thalès que $A_1$ est le milieu de $[C'A_2]$ et que $A_2$ est le milieu de $[B'A_1]$. Démontrer des relations analogues pour les autres côtés du triangle $A'B'C'$.
2. En déduire une construction du triangle $ABC$ à partir du triangle $A'B'C'$.

Exercice 45   Soit, dans le plan affine $E$, $ABC$ un triangle non aplati, $\Delta_A$, $\Delta_B$, $\Delta_C$ les médianes de ce triangle issues de $A$, $B$ et $C$. On note

• $s_1$ la symétrie par rapport à $\Delta_A$ dans la direction de $(BC)$
• $s_2$ la symétrie par rapport à $\Delta_B$ dans la direction de $(CA)$
• $s_3$ la symétrie par rapport à $\Delta_C$ dans la direction de $(AB)$
• $f=s_3\circ s_2 \circ s_1$ la composée de ces trois symétries.

1. Déterminer les images par $s_1$, $s_2$, $s_3$ et $f$ des points $A$, $B$, $C$.
2. En déduire la nature géométrique de $f$.

Exercice 46   Soit, dans un plan affine $E$ rapporté à un repère cartésien $(O,\vec{i},\vec{j})$, $D$ la droite d'équation $x-y+2=0$ et $\v$ le vecteur de composantes $(2,1)$. Exprimer les coordonnées $(x',y')$ du projeté $M'$ d'un point $M$ de $E$ sur la droite $D$ dans la direction du vecteur $\v$ en fonction des coordonnées $(x,y)$ de $M$.

Exercice 47   Le plan affine est rapporté à un repère cartésien. Déterminer la nature géométrique des applications affines données en coordonnées par les formules :

1. $$\begin{cases}x'=y\ y'=x\end{cases}$$
2. $$\begin{cases}x'=-x-2y-2\ y'=x+2y+1\end{cases}$$
3. $$\begin{cases}x'=3x-4\ y'=3y+3\end{cases}$$

Exercice 48   Le plan affine est rapporté à un repère cartésien $(O,\vec{i},\vec{j})$. Donner l'expression en coordonnées des applications affines suivantes :

• la symétrie centrale de centre $A (a,b)$ ;
• la symétrie par rapport à la droite d'équation $x+y=1$, dans la direction du vecteur $\vec{i}$ ;
• l'affinité de base la droite d'équation $x-y-1=0$, de direction $\v\;(2,1)$ et de rapport $2$.

Exercice 49   Soit, dans l'espace affine $E$ de dimension 3 rapporté à un repère cartésien $(0,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, $P$ le plan d'équation $2x-3y+8z-4=0$ et $\overrightarrow{D}$ la droite vectorielle de vecteur directeur $\u=3\vec{i}-2\vec{j}-\vec{k}$. Donner l'expression en coordonnées de la projection sur $P$ dans la direction $\overrightarrow{D}$, puis, pour tout réel $\lambda$, de l'affinité de base $P$, de direction $\overrightarrow{D}$ et de rapport $\lambda$.

Exercice 50   Soit $s$ une application affine d'un espace affine $E$ dans lui-même vérifiant $s\circ s=id_E$.

1. Montrer que $s$ est bijective.
2. Montrer que pour tout point $M$ de $E$, le milieu du segment $[Ms(M)]$ est fixe par $s$.
3. Montrer que la partie linéaire $\vec s$ de $s$ est une symétrie vectorielle de $\overrightarrow{E}$.
4. Conclure que $s$ est une symétrie affine de $E$.
5. Montrer par un contre-exemple qu'une transformation affine de $E$ dont la partie linéaire est une symétrie vectorielle de $\overrightarrow{E}$ n'est pas nécessairement une symétrie affine.