Applications affines

Les transformations affines sont les transformations géométriques les plus utilisées en géométrie élémentaire. On verra en particulier au chapitre «Géométrie euclidienne» que toute similitude (et en particulier toute isométrie) est une transformation affine. On dira de fait qu'une propriété est affine si elle est conservée par toute transformation affine. En particulier, l'alignement, le parallélisme, le milieu sont des propriétés affines. Par contre l'orthogonalité, les angles, les longueurs ne sont pas des propriétés affines, car elles ne sont pas conservées par toutes les transformations affines (bien qu'elles soient conservées par les isométries).

Définition 19 Soient et deux espaces affines. Une application de dans est dite affine s'il existe une application linéaire $\vec{f}$ de $\overrightarrow{E}$ dans $\overrightarrow{F}$ telle que $\overrightarrow{f(A)f(B)}=\vec{f}(\overrightarrow{AB})$ pour tout couple de points de .

Cette propriété peut encore s'écrire $f(M+\u)=f(M)+\vec{f}(\u)$ pour tout point

et tout vecteur $\u\in\overrightarrow{E}$ .

L'application $\vec{f}$ est alors uniquement déterminée, puisque pour tout vecteur $\u$ de $\overrightarrow{E}$ , il existe un (en fait une infinité de) couple

de points de

tel que $\overrightarrow{AB}=\u$ . On l'appelle application linéaire associée à

, ou partie linéaire de

Une application affine est entièrement déterminée par sa partie linéaire et l'image d'un point, puisque $f(B)=f(A)+\overrightarrow{f(A)f(B)}=f(A)+\vec{f}(\overrightarrow{AB})$ pour tout point

Réciproquement, si

sont deux espaces affines,

un point de

et $\vec{f}$ une application linéaire de $\overrightarrow{E}$ dans $\overrightarrow{F}$ , il existe une (et une seule) application affine

dans

de partie linéaire $\vec{f}$ vérifiant

est une application quelconque de

dans

, on ne peut en général pas lui associer d'application de $\overrightarrow{E}$ dans $\overrightarrow{F}$ indépendamment du choix d'une origine : en effet, on peut bien définir, pour tout point

, une application $\vec{f}_O$ de $\overrightarrow{E}$ dans $\overrightarrow{F}$ par $\vec{f}_O(\u)=\overrightarrow{f(O)f(M)}$ pour tout vecteur $\u$ de $\overrightarrow{E}$ , où

est l'unique point de

tel que $\u=\overrightarrow{OM}$ , mais cette application $\vec{f}_O$ dépend en général du choix de

. Cependant, il suffit que cette application soit linéaire pour un point

pour que

soit affine comme le montre la proposition suivante :

Proposition 20 Soient et deux espaces affines et une application de dans . On suppose qu'il existe un point de tel que l'application $\vec{f}_O$ précédemment définie soit linéaire. Alors est affine et $\vec{f}_O$ est l'application linéaire associée à . En particulier, $\vec{f}_O$ ne dépend alors pas du choix de .

$\displaystyle \overrightarrow{f(A)f(B)}$	$\displaystyle =\overrightarrow{f(O)f(B)}-\overrightarrow{f(O)f(A)}$
	$\displaystyle =\vec{f}_O(\overrightarrow{OB})-\vec{f}_O(\overrightarrow{OA})$
	$\displaystyle =\vec{f}_O(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})$ car $\displaystyle \vec{f}_O$ est linéaire
	$\displaystyle =\vec{f}_O(\overrightarrow{AB})$

Proposition 21 Toute composée d'applications affines est une application affine, et la partie linéaire de la composée est la composée des parties linéaires : $\overrightarrow{g\circ f }=\vec{g}\circ \vec{f}$ .

En particulier, on ne change pas la partie linéaire d'une application affine en la composant (à droite ou à gauche) avec une translation.

Démonstration : Il suffit de remarquer que, pour tout couple

de points de l'espace de départ de

$\displaystyle \overrightarrow{g\circ f(A) g\circ f(B)}=\vec{g}(\overrightarrow{... ...\vec{g}(\vec{f}(\overrightarrow{AB}))=\vec{g}\circ \vec{f}(\overrightarrow{AB})$

Proposition 22 Une application d'un espace affine dans un espace affine est affine si et seulement si elle conserve les barycentres, i.e. si et seulement si, pour tout système $(A_i,\lambda_i)_{i=1,\dots,n}$ de points pondérés de de poids total non nul, l'image du barycentre de ce système par est le barycentre du système de points pondérés $(f(A_i),\lambda_i)_{i=1,\dots,n}$ .

Démonstration : Si

est affine et si

est le barycentre du système $(A_i,\lambda_i)_{i=1,\dots,n}$ , l'égalité

$\displaystyle \sum_{i=1}^n \lambda_i \overrightarrow{f(G)f(A_i)}= \sum_{i=1}^n ... ...GA_i}\right) =\vec{f}(\vec 0_{\overrightarrow{E}}) =\vec 0_{\overrightarrow{F}}$

Réciproquement, montrons que si

conserve les barycentres, l'application $\vec{f}_O$ considérée à la proposition 20 est linéaire pour tout point

. Soient donc $\u$ et $\v$ deux vecteurs de $\overrightarrow{E}$ , $\lambda$ et $\mu$ deux réels,

les points de

définis par $\overrightarrow{OM}=\u$ , $\overrightarrow{ON}=\v$ , et

le point de

défini par $\overrightarrow{OP}=\lambda \u+\mu \v=\lambda \overrightarrow{OM}+\mu \overrightarrow{ON}$ . Le point

est le barycentre du système pondéré $[(O, 1-\lambda-\mu), (M,\lambda), (N,\mu)]$ . Il en résulte que

est le barycentre du système pondéré $[(f(O), 1-\lambda-\mu), (f(M),\lambda), (f(N),\mu)]$ , d'où

$\displaystyle \vec{f}_O(\lambda \u+\mu \v)$	$\displaystyle =\overrightarrow{f(O)f(P)}$
	$\displaystyle =\lambda \overrightarrow{f(O)f(M)}+\mu \overrightarrow{f(O)f(N)}$
	$\displaystyle =\lambda \vec{f}_O(\u)+\mu \vec{f}_O(\v) ,$

Démonstration : Il suffit de remarquer que, d'après la proposition précédente, l'image par une application affine

d'un segment

est le segment

. $\square$

Proposition 23 Soient et deux espaces affines, et une application affine de dans . L'image par d'un sous-espace affine de est un sous-espace affine de , de direction l'image $\vec{f}(\overrightarrow{G})$ de $\overrightarrow{G}$ par $\vec{f}$ .
De même, l'image réciproque $f^{-1}(H)$ par d'un sous-espace affine de est, soit vide, soit un sous-espace affine de de direction $\vec{f}^{-1}(\overrightarrow{H})$ .

Démonstration : Soit

un sous-espace affine de

un point de

. L'égalité $G=\{A+\u\mid \u\in\overrightarrow{G}\}$ implique

$\displaystyle f(G)$	$\displaystyle =\{f(M) \mid M\in G\}$
	$\displaystyle =\{f(A+\u) \mid \u\in \overrightarrow{G}\}$
	$\displaystyle =\{f(A)+\vec{f}(\u) \mid \u\in \overrightarrow{G}\}$
	$\displaystyle =\{f(A)+\v\mid \v\in \vec{f}(\overrightarrow{G})\} \; ,$

Soit

un sous-espace affine de

. Si $f^{-1}(H)$ n'est pas vide, soit

un point de $f^{-1}(H)$ . Un point

appartient à $f^{-1}(H)$ si et seulement si

appartient à

, i.e. si et seulement si $\overrightarrow{f(A)f(M)}=\vec{f}(\overrightarrow{AM})$ appartient à $\overrightarrow{H}$ , ou encore si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ appartient au sous-espace vectoriel $\vec{f}^{-1}(\overrightarrow{H})$ de $\overrightarrow{E}$ , ce qui montre que $f^{-1}(H)$ est le sous-espace affine de

passant par

et de direction $\vec{f}^{-1}(\overrightarrow{H})$ . $\square$

Corollaire 2 Toute application affine conserve l'alignement et le parallélisme (les images par une application affine de deux sous-espaces affines parallèles sont deux sous-espaces affines parallèles).

Proposition 24 Une application affine est injective (resp. surjective, bijective) si et seulement si sa partie linéaire l'est. Il en résulte qu'une application affine d'un espace affine de dimension finie dans lui-même est bijective si et seulement si elle est injective (resp. surjective).

Démonstration : Une application affine

d'un espace affine

dans un espace affine

est injective si et seulement si pour tout couple

de points de

équivaut à

. Mais

équivaut à $\overrightarrow{f(A)f(B)}=\vec{f}(\overrightarrow{AB})=\vec{0}$ , i.e. à $\overrightarrow{AB}\in \mathrm{Ker}(\vec{f})$ et

équivaut à $\overrightarrow{AB}=\vec{0}$ . Il en résulte que

est injective si et seulement si $\mathrm{Ker}(\vec{f})=\{\vec{0}\}$ , i.e. si et seulement si $\vec{f}$ est injective.

De même

est surjective si et seulement si

. Mais

est un sous-espace affine de

de direction $\vec{f}(\overrightarrow{E})=\mathrm{Im}(\vec{f})$ ; c'est donc

si et seulement si $\mathrm{Im}(\vec{f})=\overrightarrow{F}$ , i.e. si et seulement si $\vec{f}$ est surjective. $\square$

Proposition 25 Soient et deux espaces affines, de dimensions respectives et , $\mathcal R = (O,\mathcal B)=(O,\vec{e}_1,\dots,\vec{e}_n)$ un repère cartésien de , $\mathcal R'=(O',\mathcal B')=(O',\vec{e} '\!\!_1,\dots,\vec{e} '\!\!_m)$ un repère cartésien de , et une application affine de dans . Les coordonnées dans $\mathcal R'$ de l'image d'un point de par sont données par , où est la matrice de $\vec{f}$ dans les bases $\mathcal B$ et $\mathcal B'$ , (resp. ) le vecteur colonne des coordonnées de (resp. ) dans $\mathcal R$ (resp. $\mathcal R'$ ), et le vecteur colonne des coordonnées de dans $\mathcal R'$ . Réciproquement, toute application de dans donnée par de telles formules est affine.

$\displaystyle \overrightarrow{O'f(M)}=\overrightarrow{O'f(O)}+\overrightarrow{f(O)f(M)}=\overrightarrow{O'f(O)}+\vec{f}(\overrightarrow{OM}) \; .$

En appliquant cette formule au cas où

, on obtient les formules de changement de repère : si $\mathcal R = (O,\mathcal B)=(O,\vec{e}_1,\dots,\vec{e}_n)$ et $\mathcal R' = (O',\mathcal B')=(O',\vec{e} '\!\!_1,\dots,\vec{e} '\!\!_n)$ sont deux repères cartésiens de

, et si

(resp.

) est le vecteur colonne des coordonnées d'un point

dans le repère $\mathcal R$ (resp. $\mathcal R'$ ), on obtient

, où

est la matrice de passage de la base $\mathcal B$ à la base $\mathcal B'$ et

le vecteur colonne des coordonnées de l'origine

du nouveau repère $\mathcal R'$ dans l'ancien repère $\mathcal R$ . Il suffit pour le voir d'appliquer la formule précédente en prenant

, l'espace

étant au départ muni du repère $\mathcal R'$ , et à l'arrivée du repère $\mathcal R$ . Les vecteurs colonnes de la matrice de passage sont obtenus en exprimant les vecteurs de la nouvelle base $\mathcal B'$ de $\overrightarrow{E}$ dans l'ancienne base $\mathcal B$ .

Proposition 26 Soit et deux espaces affines, $(A_0,\dots,A_n)$ un repère affine de , $(A'_0,\dots,A'_n)$ une famille de points de , où $n=\dim(E)$ . Alors il existe une application affine et une seule de dans qui vérifie pour tout $i=0,1,\dots,n$ . De plus est bijective si et seulement si la famille $(A'_0,\dots,A'_n)$ est un repère affine de .

Démonstration : L'unicité est évidente : si $(\alpha_0,\dots,\alpha_n)$ sont les coordonnées barycentriques normalisées ( $\sum\limits_{i=0}^n \alpha_i=1$ ) du point

dans le repère affine $(A_0,\dots,A_n)$ , son image par

est le point $f(M)=\sum\limits_{i=0}^n \alpha_i A'_i$ de

puisqu'une application affine conserve les barycentres.

Pour démontrer l'existence, il suffit de vérifier que l'application

dans

qui à tout point $M=\sum\limits_{i=0}^n \alpha_i A_i$ (où $\sum\limits_{i=0}^n \alpha_i=1$ ) associe le point $f(M)=\sum\limits_{i=0}^n \alpha_i A'_i$ de

est affine, et pour cela de vérifier qu'elle conserve les barycentres. Cette propriété résulte de l'associativité du barycentre.

L'application

est surjective si et seulement si tout point de

peut s'écrire comme barycentre des points $A'_0,\dots,A'_n$ et elle est injective si et seulement si cette écriture est unique. Ces deux conditions signifient que $(A'_0,\dots,A'_n)$ est un repère affine de

. $\square$

En particulier deux applications affines qui coïncident sur un repère affine sont égales :

Corollaire 3 Soient et deux espaces affines, et deux applications affines de dans , et $(A_0,\dots,A_n)$ un repère affine de . Si pour tout $i=0,1,\dots,n$ , alors .