Barycentres

La notion de barycentre est essentielle en géométrie affine. Elle joue un rôle identique à celui que tient la notion de combinaison linéaire en algèbre linéaire.

Définition 4 Un système de points pondérés d'un espace affine est une famille finie $(A_i,\lambda_i)_{i=1,\dots,n}$ de couples $(A_i,\lambda_i)$ , où, pour tout , est un élément de et $\lambda_i$ un réel. Le poids total du système est le réel $\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i$ .

À tout système de points pondérés de

, on associe une fonction $\vec{f}$ de

dans $\overrightarrow{E}$ , appelée fonction vectorielle de Leibniz du système, par :

Proposition 3 Soit $(A_i,\lambda_i)_{i=1,\dots,n}$ un sytème de points pondérés d'un espace affine .

Si le poids total du système est nul, la fonction vectorielle de Leibniz associée est constante.
Si le poids total du système n'est pas nul, la fonction vectorielle de Leibniz associée est une bijection de sur $\overrightarrow{E}$ . En particulier, il existe un point de et un seul où cette fonction s'annule.

$\displaystyle \vec{f}(M)=\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i\overrightarrow{MA_i} =\s... ...\left(\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i\right) \overrightarrow{MO} + \vec{f}(O)\; .$

Définition 5 Soit $(A_i,\lambda_i)_{i=1,\dots,n}$ un système de points pondérés d'un espace affine de poids total non nul : $\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i\not =0$ . On appelle barycentre de ce système l'unique point de vérifiant $\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i\overrightarrow{GA_i}=\vec{0}$ .

Le barycentre d'un système de points pondérés n'est donc défini que si le poids total du système n'est pas nul.

Proposition 4

Le barycentre ne dépend pas de l'ordre des points.
Homogénéité : le barycentre d'un système de points pondérés ne change pas lorsque l'on multiplie tous les poids par un même réel non nul.
Associativité : le barycentre d'un système de points pondérés ne change pas lorsque l'on remplace certains de ces points par leur barycentre affecté de la somme des coefficients correspondants (à condition naturellement que cette somme ne soit pas nulle).
Si est le barycentre du système de points pondérés $(A_i,\lambda_i)_{i=1,\dots,n}$ , on a, pour tout point de :

$\displaystyle \overrightarrow{OG}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i\overrightarrow{OA_i}}{\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i} .$

Démonstration : Les deux premières propriétés sont évidentes. Pour démontrer la troisième, soit

le barycentre du système pondéré $(A_i,\lambda_i)_{1\leq i \leq n}$ . Il suffit de considérer (en réordonnant éventuellement les points) le cas où les points que l'on regroupe sont $A_1,\dots, A_p$ avec $\sum_{i=1}^p \lambda_i \not = 0$ . En notant

le barycentre du système pondéré $(A_i,\lambda_i)_{1\leq i \leq p}$ , on a alors $\sum_{i=1}^p \lambda_i \overrightarrow{HA_i}=\vec{0}$ et

$\displaystyle \left(\sum_{i=1}^p \lambda_i \right) \overrightarrow{GH} + \sum_{i=p+1}^n \lambda_i \overrightarrow{GA_i}$	$\displaystyle = \sum_{i=1}^p \lambda_i (\overrightarrow{GA_i}+\overrightarrow{A_iH}) + \sum_{i=p+1}^n \lambda_i \overrightarrow{GA_i}$
	$\displaystyle =\sum_{i=1}^n \lambda_i \overrightarrow{GA_i} + \sum_{i=1}^p \lambda_i \overrightarrow{A_iH}$
	$\displaystyle =\vec{0} - \sum_{i=1}^p \lambda_i \overrightarrow{HA_i}$
	$\displaystyle =\vec{0}$

$\displaystyle \sum_{i=1}^n \lambda_i \overrightarrow{GA_i}= \sum_{i=1}^n \lambd... ...) \overrightarrow{GO}+\sum_{i=1}^n \lambda_i \overrightarrow{OA_i}=\vec{0} \; .$

Définition 6 On appelle isobarycentre d'une famille finie , ..., de points de le barycentre des points de cette famille affectés de poids tous égaux. En particulier, on appelle milieu d'un couple de points l'isobarycentre de ces deux points.

La notion de milieu est donc purement affine et ne fait pas appel à la notion de distance, ce qui n'empêche naturellement pas le milieu

d'un couple

de points d'être caractérisé, en géométrie euclidienne, par la double égalité

Si $(A_i,\lambda_i)_{i=1,\dots,n}$ est un système de points pondérés d'un espace affine

de poids total $\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i=1$ , le barycentre

de ce système vérifie $\overrightarrow{OG}=\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i\overrightarrow{OA_i}$ pour tout point

. On le notera $G=\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i A_i$ .

On définit ainsi sans se référer à une origine un calcul sur les points qui satisfait aux règles habituelles du calcul vectoriel. Par exemple, si

est l'isobarycentre des sommets d'un triangle

, on peut écrire

Mais attention : cette notation (parfois appelée notation de Grassmann) n'a de sens que pour un système de points pondérés de poids total 1. L'écriture

(où

est un point) n'a pas de sens.

On a par ailleurs vu, en étudiant la fonction vectorielle de Leibniz, que si $(A_i,\alpha_i)_{i=1,\dots,n}$ est un système de points pondérés de poids total nul : $\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i=0$ , le vecteur $\u$ défini par $\u=\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i\overrightarrow{OA_i}$ ne dépend pas du choix de

. On peut donc noter également $\u=\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i A_i$ . Par exemple, si

, $\alpha_1=1$ et $\alpha_2=-1$ ,

est le vecteur $\overrightarrow{A_2A_1}$ . Mais une expression telle que

, ou

, ou $\dfrac{1}{2}A$ , ne représente ni un point ni un vecteur.