Vrai ou faux

Vrai-Faux 1 Soit un espace affine et $\overrightarrow{E}$ l'espace vectoriel associé. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

$\square\;$ Pour tout vecteur $\v$ de $\overrightarrow{E}$ , il existe un couple de points de et un seul tel que $\overrightarrow{AB}=\v$ .
$\boxtimes\;$ Pour tout vecteur $\v$ de , il existe un couple de points de tel que $\overrightarrow{AB}=\v$ .
$\boxtimes\;$ Pour tout point de et tout vecteur $\v$ de $\overrightarrow{E}$ , il existe un point de et un seul tel que $\overrightarrow{AB}=\v$ .
$\boxtimes\;$ Pour tout couple de points de , il existe un unique vecteur $\v$ de $\overrightarrow{E}$ tel que $\v=\overrightarrow{AB}$ .
$\square\;$ Pour tout triplet de points de , on a $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$ .
$\boxtimes\;$ Pour tout point de et tout vecteur $\v$ de $\overrightarrow{E}$ , il existe un unique point de tel que $\overrightarrow{AB}=\v$ .
$\square\;$ Pour tout couple de points de , il existe un unique point de tel que $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}$ .

Vrai-Faux 2 Soit un espace affine et , , trois points de . Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

$\boxtimes\;$ Le vecteur $\overrightarrow{OA}-2 \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ ne dépend pas du point de .
$\square\;$ Le point défini par $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}-2 \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ ne dépend pas du point de .
$\boxtimes\;$ Le point défini par $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ ne dépend pas du point de .
$\boxtimes\;$ Le point défini par $4 \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+2 \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ ne dépend pas du point de .
$\square\;$ Le vecteur $\v$ défini par $3 \v=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ ne dépend pas du point de .

Vrai-Faux 3 Soit un espace affine, et deux entiers strictement positifs, $A_1,\dots,A_n$ et $B_1,\dots,B_m$ des points de , l'isobarycentre des points $A_1,\dots,A_n$ , l'isobarycentre des points $B_1,\dots,B_m$ , l'isobarycentre des points $A_1,\dots,A_n,B_1,\dots,B_m$ . Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

$\square\;$ est toujours le milieu du segment .
$\boxtimes\;$ appartient toujours au segment .
$\square\;$ $n \overrightarrow{KG}=m \overrightarrow{KH}$ .
$\boxtimes\;$ $n \overrightarrow{KG}+m \overrightarrow{KH}=\vec{0}$ .
$\boxtimes\;$ appartient à la droite (en supposant $G\not = K$ ).
$\square\;$ appartient au segment .
$\boxtimes\;$ $n \overrightarrow{KG}=\sum\limits_{i=1}^n \overrightarrow{KA_i}$ .
$\boxtimes\;$ si et seulement si .

Vrai-Faux 4 Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

$\boxtimes\;$ Tout segment est convexe.
$\square\;$ Une droite privée d'un point est convexe.
$\square\;$ Un plan privé d'un point est convexe.
$\square\;$ Le graphe d'une fonction convexe de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est convexe.
$\boxtimes\;$ Le graphe d'une fonction affine de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est convexe.
$\boxtimes\;$ L'enveloppe convexe de la réunion de deux droites sécantes est le plan contenant ces droites.
$\boxtimes\;$ L'enveloppe convexe d'une partie bornée du plan est bornée.
$\square\;$ L'enveloppe convexe de la réunion de deux droites non coplanaires de l'espace de dimension est .

Vrai-Faux 5 Soit, dans un espace affine , une homothétie de centre et de rapport $\lambda\not=1$ et une transformation affine de telle que $f(A)\not =A$ . Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

$\square\;$ $f\circ h=h\circ f$ .
$\boxtimes\;$ $f\circ h \circ f^{-1}$ est une homothétie de rapport $\lambda$ .
$\square\;$ $f\circ h \circ f^{-1}$ est une homothétie de centre .
$\boxtimes\;$ $h^{-1}$ est une homothétie de centre .
$\square\;$ $h\circ f \circ h^{-1}$ est une homothétie de centre .

Vrai-Faux 6 Le cadre est un espace affine de dimension trois. Dire pour chacune des affirmations suivantes si elle est vraie ou fausse (en justifiant votre réponse).

$\square\;$ Si deux droites sont parallèles à un même plan, elles sont parallèles entre elles.
$\boxtimes\;$ Si deux plans sont parallèles, toute droite qui coupe l'un coupe l'autre.
$\square\;$ Si une droite est parallèle à un plan , tout plan non parallèle à rencontre .
$\boxtimes\;$ Étant donnés deux plans sécants, toute droite parallèle à ces deux plans est parallèle à leur intersection.
$\boxtimes\;$ Étant données deux droites non coplanaires, il existe toujours au moins un plan tel que ces deux droites soient parallèles à ce plan.
$\boxtimes\;$ Étant donnés deux plans sécants, deux droites parallèles à chacun de ces deux plans sont nécessairement parallèles entre elles.
$\boxtimes\;$ Soient et deux droites non parallèles de l'espace ; il existe un plan et un seul contenant tel que soit parallèle à .

Vrai-Faux 7 Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

$\boxtimes\;$ Toute transformation affine qui transforme toute droite en une droite parallèle est une homothétie ou une translation.
$\boxtimes\;$ Toute transformation affine dont la partie linéaire est est une symétrie centrale.
$\square\;$ Toute transformation affine admettant un point fixe et un seul est une homothétie.
$\boxtimes\;$ Toute transformation affine dont la partie linéaire est l'identité est une translation.
$\square\;$ Toute transformation affine qui transforme deux droites parallèles quelconques en deux droites parallèles est une homothétie ou une translation.
$\boxtimes\;$ Toute transformation affine transforme un parallélogramme non aplati en un parallélogramme non aplati.

Vrai-Faux 8 Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

$\boxtimes\;$ Une figure bornée du plan ne peut pas admettre deux centres de symétrie distincts.
$\square\;$ Une figure bornée du plan ne peut pas admettre deux axes de symétrie distincts.
$\square\;$ Toute transformation affine du plan conservant globalement une droite possède au moins un point fixe.
$\boxtimes\;$ Toute transformation affine du plan conservant globalement un ensemble fini de points possède au moins un point fixe.
$\boxtimes\;$ Toute application affine du plan dans lui-même vérifiant $p\circ p=p$ est une projection.
$\square\;$ Toute application affine du plan dans lui-même vérifiant $\vec p\circ \vec p=\vec p$ est une projection.
$\square\;$ Si est une symétrie de l'espace par rapport à une droite dans la direction d'un plan , pour tout couple de points n'appartenant pas à les droites et sont parallèles.
$\boxtimes\;$ Toute application affine de l'espace affine dans lui-même vérifiant $s \circ s=id_{E}$ est une symétrie affine .