QCM

Donnez-vous une heure pour répondre à ce questionnaire. Les 10 questions sont indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont cochées rapporte 2 points.

Question 1   Soit $ABC$ un triangle non aplati, $A'$, $B'$, $C'$ les milieux des segments $[BC]$, $[CA]$, $[AB]$.

$\overrightarrow{BC}=2 \overrightarrow{B'C'}$.

Les droites $(AC)$ et $(A'C')$ sont parallèles.

Il existe une homothétie de rapport 1/2 transformant le triangle $ABC$ en le triangle $A'B'C'$.

Les segments $[A'B']$ et $[CC']$ ont même milieu.

Les segments $[AA']$ et $[BB']$ ont même milieu.

Question 2   Soit $ABC$ un triangle non aplati, $A'$, $B'$, $C'$ les milieux des segments $[BC]$, $[CA]$, $[AB]$, $M$ un point de coordonnées barycentriques réduites $(\alpha,\beta,\gamma)$ dans le repère affine $(A,B,C)$.

$M$ appartient à la droite $(BC)$ si et seulement si $\alpha=1$.

$M$ appartient à la droite $(B'C')$ si et seulement si $\beta=\gamma$.

$M$ appartient à la droite $(AA')$ si et seulement si $\beta=\gamma$.

$M$ appartient à la parallèle à $(BC)$ menée par $A$ si et seulement si $\beta=-\gamma$.

$ABCM$ est un parallélogramme si et seulement si $\beta=-\gamma$.

Question 3   Soit, dans un espace affine de dimension 3 rapporté à un repère cartésien $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, $P_1$, $P_2$, $P_3$ les trois plans d'équations respectives :

$$P_1 \; : \quad 2x-y-z=2$$

$$P_2\; : \quad y-z=1$$

$$P_3 \; : \quad 3x-y-2z=0 \; .$$

Les plans $P_1$ et $P_3$ sont parallèles.

Il existe une droite contenue dans les trois plans $P_1$, $P_2$, $P_3$.

Le vecteur $(1,1,1)$ est un vecteur directeur de l'intersection de $P_1$ et $P_2$.

L'intersection $P_1 \cap P_2 \cap P_3$ des trois plans $P_1$, $P_2$, $P_3$ est réduite à un point.

Les intersections deux à deux des trois plans $P_1$, $P_2$, $P_3$ sont des droites parallèles.

Question 4   Soient $A$, $B$, $C$, $D$ quatre points non coplanaires de l'espace affine de dimension 3, $I$, $J$, $K$, $L$ les milieux respectifs des segments $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[DA]$.

Les centres de gravité des quatre triangles $ABC$, $BCD$, $CDA$ et $DAB$ sont coplanaires.

Le plan défini par les centres de gravité des triangles $ABC$, $ACD$, $ABD$ est parallèle au plan $(BCD)$.

Le quadrilatère $IJKL$ est un parallélogramme.

Le plan défini par les centres de gravité des triangles $ABC$, $ACD$, $ABD$ se déduit du plan $(BCD)$ par une homothétie de centre $A$ et de rapport $1/2$.

La droite $(IK)$ est parallèle à la droite $(AD)$.

Question 5   Les parties suivantes du plan affine $\mathbb{R}^2$ sont convexes :

$\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\geq 1, y\leq 2 \}$ ;

$\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2=1 \}$ ;

$\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2 \leq 1 \}$ ;

$\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2 \geq 1 \}$ ;

$\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y-x^2 \leq 0 \}$.

Question 6   On considère, dans le plan affine euclidien, les figures suivantes :

Il existe une transformation affine du plan transformant le carré $Q$ en :

A.

B.

C.

D.

E.

Question 7   Soient $A$ et $B$ deux points distincts d'un espace affine, $s_A$ et $s_B$ les symétries centrales de centres $A$ et $B$, et $\u=\overrightarrow{AB}$.

$s_A\circ s_B=t_{2\u}$.

$s_A\circ t_{\u}=t_{\u}\circ s_A$.

$s_A\circ t_{\u}$ est une symétrie centrale.

$s_A\circ s_B=s_B \circ s_A$.

$s_A\circ t_{\u}\circ s_A=t_{-\u}$.

Question 8   Soient $f$, $g$, $h$ les applications du plan affine $P$ rapporté à un repère cartésien $(O,\vec{i},\vec{j})$ dans lui-même définies par les formules :

$$f\; : \quad x'=y,\; y'=x \; ;$$

$$g\; : \quad x'=-x-2y-2, \; y'=x+2y+1 \; ;$$

$$h\; : \quad x'=3x-4, \; y'=3y+3.$$

$h$ est une homothétie de rapport 3.

$f$ est une symétrie centrale.

$g\circ g= id_P$.

$f$ est la symétrie par rapport à la droite d'équation $x+y=0$ dans la direction du vecteur $(1,1)$.

$g$ est une projection affine.

Question 9   Soit, dans le plan affine $E$, $ABCD$ un parallélogramme et $I$ le milieu de $[AC]$.

Il existe une translation $t$ et une seule vérifiant $t(A)=B$ et $t(D)=C$.

Il existe une transformation affine $f$ et une seule vérifiant $f(A)=B$ et $f(D)=C$.

L'identité est la seule transformation affine de $E$ conservant globalement l'ensemble $\{A,B,C,D\}$.

Toute transformation affine de $E$ conservant globalement l'ensemble $\{A,B,C,D\}$ laisse fixe $I$.

Pour toute permutation $\sigma$ des quatre points $A,B,C,D$, il existe une transformation affine $f$ de $E$ et une seule vérifiant $f(A)=\sigma(A)$, $f(B)=\sigma(B)$, $f(C)=\sigma(C)$, $f(D)=\sigma(D)$.

Question 10   Soit, dans l'espace affine $E$ de dimension 3, $ABCD$ un tétraèdre non aplati et $G$ l'isobarycentre de ses sommets.

Il n'existe pas de symétrie affine par rapport à un plan conservant globalement le tétraèdre.

Pour toute permutation $\sigma$ des quatre points $A,B,C,D$, il existe une transformation affine $f$ de $E$ et une seule vérifiant $f(A)=\sigma(A)$, $f(B)=\sigma(B)$, $f(C)=\sigma(C)$, $f(D)=\sigma(D)$.

Il existe une symétrie centrale et une seule conservant globalement le tétraèdre.

Il y a exactement 6 symétries affines conservant globalement le tétraèdre.

Toute transformation affine de $E$ conservant globalement le tétraèdre laisse fixe le point $G$.