Corrigé du devoir

Questions de cours :  

1. Le point $M$ ayant $(1,-1,1)$ comme coordonnées barycentriques normalisées dans le repère affine $(A,B,C)$, on a, pour tout point $O$ de $E$ :
   $$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC} .$$
   En particulier, pour $O=A$, on a $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BC}$, ce qui montre que $ABCM$ est un parallélogramme.

2. La direction de l'hyperplan affine d'équation $a_0+a_1 x_1+\dots +a_n x_n=0$ est l'hyperplan vectoriel d'équation $a_1 x_1+\dots +a_n x_n=0$ dans la base $(\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$. Deux hyperplans affines d'équations respectives $a_0+a_1 x_1+\dots +a_n x_n=0$ et $a'_0+a'_1 x_1+\dots +a'_n x_n=0$ sont parallèles si et seulement si leurs directions sont confondues, i.e. si et seulement si il existe un réel $\lambda$ non nul tel que $a'_i=\lambda a_i$ pour tout $i=1,\dots,n$.

3. L'enveloppe convexe d'une partie $A$ d'un espace affine $E$ est le plus petit convexe de $E$ contenant $A$. C'est l'intersection de tous les convexes de $E$ contenant $A$. C'est aussi l'ensemble de tous les barycentres de systèmes de points pondérés de $A$ affectés de coefficients tous positifs.

4. La composée de deux homothéties de rapports respectifs $\lambda$ et $\mu$ est une homothétie de rapport $\lambda \mu$ si $\lambda \mu \not = 1$ et une translation si $\lambda \mu= 1$.

5. Soit $A$ un point quelconque de $E$ et $O$ le milieu du segment $[Af(A)]$. La relation
   $$\overrightarrow{f(O)f(A)}=\vec{f}(\overrightarrow{OA})=-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{Of(A)}$$
   montre que $f(O)=O$. On a alors
   $$\overrightarrow{Of(M)}=\overrightarrow{f(O)f(M)}=\vec{f}(\overrightarrow{OM})=-\overrightarrow{OM}$$
   pour tout point $M$ de $E$, ce qui montre que $f$ est la symétrie centrale de centre $O$.

   On pouvait naturellement aussi se contenter d'appliquer la proposition 32 au cas particulier $k=-1$.

Exercice 1 :  

1. Le point $p(M)$ est l'intersection de la droite passant par $M$ de vecteur directeur $\v$ et du plan $\Pi$. Il existe donc un réel $t$ tel que $\overrightarrow{Mp(M)}=t\v$. Les coordonnées de $p(M)$ sont $(x+2t,y+t,z-2t)$ et le point $p(M)$ appartient au plan $\Pi$, d'où la relation $2(x+2t)-3(y+t)+(z-2t)+1=0$. On en déduit $t=2x-3y+z+1$ et
   $$\begin{cases} x'&=5x-6y+2z+2\\ y'&=2x-2y+z+1\\ z'&=-4x+6y-z-2 \; . \end{cases}$$

2. La matrice de $\vec p$ dans la base $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ est donc
   $$P=\begin{pmatrix} 5 & -6 & 2\\ 2 & -2 & 1\\ -4 & 6 & -1 \end{pmatrix}$$

3. La relation $p\circ p=p$ implique $\vec p\circ \vec p=\vec p$, d'où $P^2=P$, ce qui peut naturellement se vérifier par le calcul. L'image de $\vec p$ est le plan vectoriel $\overrightarrow{\Pi}$ direction du plan $\Pi$. La matrice $P$ est donc de rang $2$.

4. Le symétrique $s(M)$ du point $M$ vérifie $\overrightarrow{Ms(M)}=2\overrightarrow{Mp(M)}=2t\v$, où $t=2x-3y+z+1$ est le réel défini à la question 1, d'où
   $$\begin{cases} x''&=9x-12y+4z+4\\ y''&=4x-5y+2z+2\\ z''&=-8x+12y-3z-4 \; . \end{cases}$$
   On pouvait aussi remarquer que $s(M)$ est le symétrique de $M$ par rapport à $p(M)$, d'où les relations $x''=2x'-x$, $y''=2y'-y$, $z''=2z'-z$.

5. La matrice de $\vec s$ dans la base $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ est donc
   $$S=2P-I=\begin{pmatrix} 9 & -12 & 4\\ 4 & -5 & 2\\ -8 & 12 & -3 \end{pmatrix}$$
   Comme $s$ est une symétrie, $s\circ s=id_E$, d'où $\vec s\circ \vec s=id_{\overrightarrow{E}}$ et $S^2=I$.

6. Par la relation de Chasles

   $$\overrightarrow{a(M)a(N)} =\overrightarrow{a(M)p(M)}+\overrightarrow{p(M)p(N)}+\overrightarrow{p(N)a(N)}$$

   $$=\alpha \overrightarrow{Mp(M)}+\overrightarrow{p(M)p(N)}+\alpha\overrightarrow{p(N)N}$$

   $$=\alpha(\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{p(M)p(N)})+\overrightarrow{p(M)p(N)}$$

   $$=\alpha\overrightarrow{MN}+(1-\alpha)\overrightarrow{p(M)p(N)}$$

   $$=[\alpha id_{\overrightarrow{E}}+(1-\alpha)\vec p ](\overrightarrow{MN})\; .$$

   
   

7. Il en résulte que $a$ est affine de partie linéaire $\vec a= \alpha id_{\overrightarrow{E}}+(1-\alpha)\vec p$. D'où $A=\alpha I +(1-\alpha) P$.

8. De la relation $P^2=P$ découle

   $$A^2 =\alpha^2 I + 2\alpha (1-\alpha)P+(1-\alpha)^2 P^2$$

   $$=\alpha^2 I +(1-\alpha^2) P$$

   
   
   d'où $A^2-(1+\alpha)A+\alpha I=0$. En particulier, pour $\alpha=-1$ on retrouve la relation $S^2=I$ et pour $\alpha=0$ la relation $P^2=P$.

Exercice 2 :

1. La composée $t=s_B\circ s_A$ de deux symétries centrales est une translation, puisque c'est une transformation affine de partie linéaire l'identité. L'image par $t$ de $A$ est $A'=s_B(A)$. Il en résulte que $t$ est la translation de vecteur $\overrightarrow{AA'}=2\overrightarrow{AB}$.

   Il en résulte immédiatement par récurrence que la composée d'un nombre pair de symétries centrales est une translation.

2. La composée d'un nombre impair $k$ de symétries centrales est une symétrie centrale puisque sa partie linéaire est l'homothétie vectorielle de rapport $(-1)^k=-1$.
3. Les points $A_1$ et $A_2$ sont symétriques par rapport à $B_1$, puisque $B_1$ est le milieu de $[A_1A_2]$. On a donc $f_1(A_1)=s_{B_1}(A_1)=A_2$.

   Montrons par récurrence sur $k$ que $f_k(A_1)=A_{k+1}$ pour $k=1,\dots,n-1$. On vient de voir que la propriété est vraie pour $k=1$. Si elle est vraie pour $k\leq n-2$, comme $B_{k+1}$ est le milieu de $[A_{k+1}A_{k+2}]$, on a $s_{B_{k+1}}(A_{k+1})=A_{k+2}$, d'où $f_{k+1}(A_1)=s_{B_{k+1}}(A_{k+1})=A_{k+2}$. De même $f_n(A_1)=s_{B_n}(A_n)=A_1$.

4. a)

   Comme $n$ est impair, $f_n$ est une symétrie centrale. On vient de voir que $f_n(A_1)=A_1$. Il en résulte que $A_1$ est le centre de $f_n$, puisque le centre d'une symétrie centrale est son seul point fixe.

   L'application $f_n$ étant entièrement déterminée par les points $B_1,\dots,B_n$, il en résulte que la donnée de ces points détermine $A_1$ et, par récurrence, tous les points $A_k$, puisque $A_{k+1}=f_k(A_1)$. L'application $m$ est donc injective.

   Elle est également surjective, puisque, si $A_k$ sont les points précédemment définis, $B_k$ est le milieu de $[A_kA_{k+1}]$ pour tout $k=1,\dots,n-1$, et $B_n$ le milieu de $[A_nA_1]$. L'application $m$ est donc bijective.

   b)

   Pour construire les points $A_i$ connaissant les points $B_i$, il suffit de construire $A_1$, les autres points $A_i$ s'en déduisant par les symétries successives de centres $B_1,B_2,\dots,B_{n-1}$. Mais $A_1$ est le centre de la symétrie centrale $f_n$, donc le milieu du segment $[Mf_n(M)]$ pour tout point $M$ de $E$. On l'obtient donc en choisissant n'importe quel point $M$ de $E$ (par exemple $B_1$), en construisant son image $f_n(M)$ et en prenant le milieu du segment $[Mf_n(M)]$.

5. a)

   Comme $n$ est pair, $f_n$ est une translation de vecteur la somme des vecteurs des translations $s_{B_{2k}}\circ s_{B_{2k-1}}$ pour $k=1,\dots,n/2$, i.e. $2\sum\limits_{k=1}^{n/2} \overrightarrow{B_{2k-1}B_{2k}}$. Par ailleurs, la relation $f_n(A_1)=A_1$ montre que $f_n$ a un point fixe, c'est donc l'identité. Le vecteur de la translation $f_n$ est donc nul :

   $$2 \sum_{k=1}^{n/2} \overrightarrow{B_{2k-1}B_{2k}} = \vec{0} \qquad\qquad (*)\; .$$

   b)

   Il en résulte que l'application $m$ n'est pas surjective, puisque son image est contenue dans l'ensemble des $n$-uplets de points $(B_1,\dots,B_n)$ vérifiant la relation $(*)$.

   Soit $(B_1,\dots,B_n)$ un $n$-uplet de points vérifiant la relation $(*)$ et $A_1$ un point quelconque de $E$. Définissons par récurrence des points $A_2,\dots,A_n$ par $A_{k+1}=s_{B_k}(A_k)$ pour $k=1,\dots,n-1$. Pour tout $k=1,\dots,n-1$, $B_k$ est donc le milieu de $[A_kA_{k+1}]$ et il résulte de la relation $(*)$ que $f_n$ est l'identité, d'où $f_n(A_1)=s_{B_n}(A_n)=A_1$. $B_n$ est donc le milieu de $[A_nA_1]$ et le $n$-uplet $(B_1,\dots,B_n)$ est l'image par $m$ du $n$-uplet $(A_1,\dots,A_n)$.

   Il en résulte que l'image de $m$ est exactement l'ensemble des $n$-uplets de points $(B_1,\dots,B_n)$ vérifiant la relation $(*)$.

   L'application $m$ n'est pas injective puisque le choix de $A_1$ dans la construction précédente est arbitraire.