Une fois qu'on a choisi un repère, le plan s'identifie à
(resp. l'espace à
), autrement dit à un espace vectoriel de dimension 2 (resp. 3) sur
muni d'une base particulière (la base canonique de
ou
). On pourrait donc se contenter de faire de la géométrie dans
ou dans
. Mais cette identification repose sur le choix d'un repère et il est souvent plus agréable et plus clair de raisonner de manière intrinsèque. De plus, se fixer un repère une fois pour toutes n'est souvent pas la meilleure solution : il est préférable, même quand on calcule en coordonnées, d'avoir la liberté de choisir un repère bien adapté au problème posé. De fait, le cadre naturel pour faire de la géométrie serait un espace homogène, dont tous les points jouent le même rôle, ce qui n'est pas le cas dans un espace vectoriel, où le vecteur nul joue un rôle particulier et tient naturellement lieu d'origine. Moralement, un espace affine n'est rien d'autre que cela : un espace vectoriel dont on a oublié où se trouve l'origine. Cette définition est naturellement beaucoup trop vague pour être utilisable telle quelle. Nous allons commencer par lui donner un sens précis. Nous verrons alors que tout espace vectoriel est naturellement muni d'une structure d'espace affine et que, inversement, tout espace affine s'identifie à un espace vectoriel dès qu'on y choisit une origine (mais cette identification dépend du choix de l'origine).
Mathématiquement, la définition est la suivante :
On appelle dimension de l'espace affine la dimension de l'espace vectoriel
.
Dans le cadre de la géométrie élémentaire usuelle, le corps de base est toujours le corps
des nombres réels. On supposera donc toujours dans ce qui suit que
(cette hypothèse sera même indispensable dès qu'on abordera les notions de convexité), mais la plupart des résultats restent vrais si
est le corps des nombres complexes ou même un corps fini.
Exemple fondamental.
Tout espace vectoriel
est muni d'une structure naturelle d'espace affine sur lui-même.
Il suffit de prendre dans la définition
et de définir l'application de
dans
par
.
Plus généralement, l'image
d'un sous-espace vectoriel
d'un espace vectoriel
par une translation de vecteur
est un espace affine de direction
. Il suffit ici aussi de considérer l'application
.
Réciproquement, le choix d'une origine permet de munir un espace affine d'une structure d'espace vectoriel : si est l'origine, il suffit d'identifier un point
de
et le vecteur
. Mais attention : cette structure dépend du choix de l'origine ; on ne peut définir la somme de deux points d'un espace affine sans se référer explicitement à une origine, c'est pourquoi on n'additionnera jamais des points.
Exemples en algèbre et en analyse
La structure d'espace affine ne se rencontre pas qu'en géométrie : elle intervient de manière naturelle dans tous les problèmes linéaires. L'ensemble des solutions d'un sytème linéaire avec second membre en constitue l'exemple type : ce n'est pas un espace vectoriel, mais c'est un espace affine de direction l'espace vectoriel des solutions du système homogène associé. De même l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire avec second membre constitue un espace affine de direction l'espace vectoriel des solutions du système homogène associé, l'ensemble des suites vérifiant une relation de récurrence du type
constitue un espace affine de direction l'espace vectoriel des suites vérifiant la relation de récurrence
, l'ensemble des fonctions
d'une variable réelle vérifiant
est un espace affine de direction l'espace vectoriel des fonctions nulles en 0.
Ce dernier exemple est un espace affine de dimension infinie. Nous ne nous intéresserons ici qu'à des espaces affines de dimension finie (principalement 2 ou 3). Dans toute la suite de ce chapitre, espace affine signifiera donc toujours espace affine de dimension finie.
On emploiera parfois le terme espace (sans autre qualificatif) pour désigner un espace affine de dimension 3, comme dans l'expression géométrie dans l'espace.
Conséquences immédiates de la définition
Démonstration : 1) En faisant dans la relation de Chasles, on voit que
pour tout point
, d'où
. Réciproquement, si
, il résulte de la relation
et de l'injectivité de l'application
que
.
2) En faisant dans la relation de Chasles, on obtient
3) Par la relation de Chasles et la propriété précédente
Translations
Soit un espace affine de direction
. Pour tout point
de
, l'application
est une bijection de
sur
. Pour tout vecteur
de
, il existe donc un point
de
et un seul tel que
.
Avec cette notation, la relation de Chasles s'écrit sous la forme suivante : pour tout point et tout couple
de vecteurs, on a :
En effet, en posant et
, on a
,
et
.
Démonstration : La translation de vecteur nul est l'identité, qui appartient donc à . La relation de Chasles implique, comme on l'a vu
La relation montre que l'application
est un morphisme du groupe additif de
sur
. Ce morphisme est surjectif par définition de
et il est injectif car son noyau est réduit à
: la translation
est l'identité si et seulement si
.
Remarque : la proposition précédente montre que le groupe additif
opère sur l'ensemble
au moyen des translations ; cette opération est transitive et fidèle.
Bipoints, équipollence
En géométrie élémentaire classique, on commence par introduire les points et on définit ensuite les vecteurs à partir des points. On suit donc la démarche inverse de la nôtre.
Dans ce cadre, les vecteurs sont introduits de la manière suivante. On appelle bipoint un couple de deux points, i.e. un élément du produit cartésien
, où
est le plan ou l'espace. On dit que deux bipoints
et
sont équipollents si le quadrilatère
est un parallélogramme, i.e. si les bipoints
et
ont même milieu. On verra plus loin que cette condition équivaut à la relation
, qui signifie que c'est la même translation qui transforme
en
et
en
. On montre alors que la relation d'équipollence est une relation d'équivalence sur
et on définit l'ensemble
des vecteurs comme l'ensemble quotient de
par cette relation d'équivalence.
Dans notre approche, il est immédiat que la relation
définie sur l'ensemble
par
si et seulement si
est une relation d'équivalence et que l'ensemble quotient de
par cette relation d'équivalence est en bijection avec
: à la classe d'équivalence d'un bipoint
, on associe le vecteur
.