Plan d'étude

Nous résumons ici l'ensemble des techniques vues dans ce chapitre pour l'étude de l'intégrale d'une fonction $f$ sur un intervalle non borné de $\mathbb{R}$, la fonction étant éventuellement non bornée au voisinage d'un ou plusieurs points de l'intervalle. Pour illustrer le plan d'étude, nous détaillerons l'exemple introductif :

$$I = \int_{-\infty}^{+\infty} \vert t\vert^{-3/2} \sin(t) \mathrm{d}t\;.$$

1. Identifier le ou les points incertains
   La fonction $\vert t\vert^{-3/2}\sin(t)$ est impaire, elle tend vers 0 en oscillant quand t tend vers $-\infty$ et $+\infty$, elle tend vers $-\infty$ en $0^-$ et vers $+\infty$ en $0^+$ (cf. figure 1). Il y a donc 4 points incertains à étudier.
2. Isoler les points incertains
   Pour cela, il faut découper l'intervalle d'étude en autant de sous-intervalles qu'il y a de points incertains, de manière à ce que les problèmes soient tous situés sur une borne de chaque intervalle. Dans notre exemple, on divisera en 4 intervalles.
   $$I_1 = \int_{-\infty}^{-1} \vert t\vert^{-3/2} \sin(t) \mathrm{d}t\;,\quad I_2 = \int_{-1}^{0} \vert t\vert^{-3/2} \sin(t) \mathrm{d}t\;,$$
   $$I_3 = \int_{0}^{1} \vert t\vert^{-3/2} \sin(t) \mathrm{d}t\;,\quad I_4 = \int_{1}^{+\infty} \vert t\vert^{-3/2} \sin(t) \mathrm{d}t\;,$$
   Chacune des intégrales obtenues doit être étudiée séparément. L'intégrale $I$ n'est définie que si chacun des morceaux converge.
3. Se ramener à une intégrale sur $[a,+\infty[$ ou sur $]a,b]$
   Pour cela, il suffit d'effectuer le changement de variable $t\mapsto-t$. Dans notre cas, puisque la fonction est impaire, $I_1=I_4$ et $I_2=I_3$.
4. Calculer une primitive si c'est possible
   Ayant une primitive, le problème est ramené à un calcul de limite (définition 1). Si on n'a pas de primitive explicite, alors :
5. Si la fonction est de signe constant
   Changer éventuellement le signe pour se ramener à une fonction positive. Calculer un équivalent au voisinage du point incertain et utiliser le théorème 2 ou 4. Si l'équivalent ne donne pas la réponse directement, utiliser le théorème de comparaison 1 ou 3. Dans notre exemple, l'intégrale $I_3$ est celle d'une fonction positive, tendant vers $+\infty$ en $0^+$.
   $$t^{-3/2} \sin(t) \;\mathop{\sim}_{0^+}\; t^{-1/2}\;.$$
   Or l'intégrale $\int_0^1 t^{-1/2} \mathrm{d}t$ converge, donc $I_3$ converge.
6. Si la fonction n'est pas de signe constant
   Commencer par étudier l'intégrale de $\vert f\vert$, comme dans le cas précédent (équivalent ou comparaison). Si elle converge, l'intégrale étudiée est absolument convergente, donc convergente. Si l'intégrale n'est pas absolument convergente, il faut essayer de mettre la fonction sous forme d'un produit pour appliquer le théorème d'Abel 6. Dans notre exemple, l'intégrale $I_4$ est absolument convergente : on le déduit du théorème de comparaison, car
   $$t^{-3/2} \vert\sin(t)\vert\leqslant t^{-3/2}\;,$$
   et l'intégrale de Riemann $\int_1^{+\infty} t^{-3/2} \mathrm{d}t$ est convergente. On pourrait aussi appliquer le théorème d'Abel 6 avec $f(t) = t^{-3/2}$ et $g(t) = \sin(t)$.