Fonctions oscillantes, intervalle non borné

Nous considérons ici $\int_a^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t$, où $f(t)$ oscille jusqu'à l'infini entre des valeurs positives et négatives (figure 5).

Figure 5: Intégrale d'une fonction oscillante sur un intervalle non borné.

La définition de la convergence reste la même.

$$\int_a^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t = \lim_{x\rightarrow+\infty} \int_a^x f(t) \mathrm{d}t\;.$$

Contrairement au cas des fonctions positives, où la limite était soit finie, soit égale à $+\infty$, tous les comportements sont possibles ici : les valeurs de $\int_a^x f(t) \mathrm{d}t$ peuvent tendre vers une limite finie, vers $+\infty$ ou $-\infty$ ou bien encore osciller entre deux valeurs finies (comme $\int_a^x \sin(t) \mathrm{d}t$), ou s'approcher alternativement de $+\infty$ et $-\infty$ (comme $\int_a^x t\sin(t) \mathrm{d}t$).

Le cas le plus favorable est celui où la valeur absolue de $f$ converge.

Définition 2   Soit $f$ une fonction continue sur $[a,+\infty[$. On dit que $\int_a^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t$ est absolument convergente si $\int_a^{+\infty} \vert f(t)\vert \mathrm{d}t$ converge.

Le théorème suivant est souvent utilisé pour démontrer la convergence d'une intégrale. Malheureusement, il ne permet pas de calculer la valeur de cette intégrale.

Théorème 5   Si l'intégrale $\int_a^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t$ est absolument convergente, alors elle est convergente.

Démonstration : Rappelons la définition : $\int_a^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t$ converge si et seulement si $\int_a^{x} f(t) \mathrm{d}t$ converge. Posons $F(x)=\int_a^{x} f(t) \mathrm{d}t$. Nous allons démontrer que, pour toute suite $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$, tendant vers l'infini, la suite $(F(x_n))_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite de Cauchy. Sans perte de généralité, nous pouvons supposer que la suite $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement croissante. Par la relation de Chasles, pour tout couple d'entiers $(n,m)$ avec $n<m$ :

$$\vert F(x_m)-F(x_n)\vert=\left\vert\int_{x_n}^{x_m}f(t) \mathrm{d}t\right\vert \leqslant \int_{x_n}^{x_m} \vert f(t)\vert \mathrm{d}t$$

Or par hypothèse, l'intégrale $\int_a^{+\infty} \vert f(t)\vert \mathrm{d}t$ converge. On en déduit que la suite de terme général $\int_a^{x_n} \vert f(t)\vert \mathrm{d}t$ converge : c'est donc une suite de Cauchy. Pour tout $\varepsilon>0$, il existe $n_0$ tel que pour $m>n>n_0$,

$$\vert F(x_m)-F(x_n)\vert \leqslant \int_{x_n}^{x_m} \vert f(t)\vert \mathrm{d}t <\varepsilon\;.$$

La suite $(F(x_n))_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite de Cauchy, donc elle converge. Puisque c'est vrai pour toute suite $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ tendant vers l'infini, la fonction $x\mapsto F(x)$ admet une limite en $+\infty$, d'où le résultat.$\square$ Par exemple,

$$\int_1^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t^2} \mathrm{d}t\;$$ est absolument convergente,

donc convergente. En effet pour tout $t$,

$$\frac{\vert\sin(t)\vert}{t^2}\leqslant \frac{1}{t^2}\;.$$

Or l'intégrale de Riemann $\int_1^{+\infty} t^{-2} \mathrm{d}t$ est convergente. D'où le résultat par le théorème de comparaison 1. Par contre,

$$\int_1^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} \mathrm{d}t\;$$ n'est pas absolument convergente.

Voici un moyen de le vérifier. Comme $\vert\sin(t)\vert\leqslant 1$ pour tout $t$, on a :

$$\frac{\vert\sin(t)\vert}{t} \geqslant \frac{\sin^2(t)}{t} = \frac{1-2\cos(2t)}{2t}\;.$$

En appliquant une intégration par parties à $\frac{\cos(2t)}{t}$, on obtient :

$$\int_1^x \frac{1-2\cos(2t)}{2t} \mathrm{d}t = \frac{1}{2}\Big[\... ...sin(2t)}{t}\right]_1^x +\frac{1}{2}\int_1^x \frac{\sin(2t)}{t^2} \mathrm{d}t.$$

Or $\int_1^{+\infty}\frac{\sin(2t)}{t^2} \mathrm{d}t$ converge absolument, comme nous venons de le voir. Des 3 termes de la somme ci-dessus, les deux derniers convergent, le premier tend vers $+\infty$. Donc l'intégrale diverge, et par le théorème de comparaison 1, l'intégrale $\int_1^{+\infty} \frac{\vert\sin(t)\vert}{t} \mathrm{d}t$ diverge également.

Il se trouve que

$$\int_1^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} \mathrm{d}t\;$$ converge.

Pour le montrer, effectuons une intégration par parties :

$$\int_1^x \frac{\sin(t)}{t} \mathrm{d}t = \left[\frac{-\cos(t)}{t}\right]_1^x - \int_1^x \frac{\cos(t)}{t^2} \mathrm{d}t\;.$$

La fonction $\frac{\cos(t)}{t}$ tend vers 0 (car $\cos(t)$ est borné et $\frac{1}{t}$ tend vers 0). Par comparaison avec l'intégrale de Riemann $\int_1^{+\infty} \frac{1}{t^2} \mathrm{d}t$, on montre que l'intégrale $\int_1^{+\infty} \frac{\cos(t)}{t^2} \mathrm{d}t$ est absolument convergente, donc convergente. Par conséquent, $\int_1^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} \mathrm{d}t$ converge.

Pour montrer qu'une intégrale converge quand elle n'est pas absolument convergente, on dispose du théorème suivant, dit théorème d'Abel.

Théorème 6   Soit $f$ une fonction continûment dérivable sur $[a,+\infty[$, positive, décroissante, ayant une limite nulle en $+\infty$. Soit $g$ une fonction continue sur $[a,+\infty[$, telle que la primitive $\int_a^x g(t) \mathrm{d}t$ soit bornée. Alors l'intégrale

$$\int_a^{+\infty} f(t) g(t) \mathrm{d}t\;$$ converge.

Démonstration : C'est une généralisation de l'exemple précédent. Pour tout $x\geqslant a$, posons $G(x) = \int_a^x g(t) \mathrm{d}t$. Par hypothèse, $G$ est bornée, donc il existe $M$ tel que pour tout $x$, $\vert G(x)\vert\leqslant M$. Effectuons maintenant une intégration par parties.

$$\int_a^x f(t) g(t) \mathrm{d}t = \Big[ f(t) G(t)\Big ]_a^x -\int_a^x f'(t) G(t) \mathrm{d}t\;.$$

Comme $G$ est bornée et $f$ tend vers 0, le premier terme converge. Montrons maintenant que le deuxième converge aussi, en vérifiant que

$$\int_a^{+\infty} f'(t) G(t) \mathrm{d}t\;$$    est absolument convergente.$$$$

On a :

$$\vert f'(t) G(t)\vert =\vert f'(t)\vert \vert G(t)\vert \leqslant (-f'(t)) M\;,$$

car $f$ est décroissante (donc $f'(t)\leqslant 0$) et $\vert G\vert$ est bornée par $M$. Par le théorème de comparaison 1, il suffit donc de montrer que $\int_a^{+\infty} -f'(t) \mathrm{d}t$ est convergente. Or :

$$\int_a^x -f'(t) \mathrm{d}t = f(a)-f(x)$$ et $$\lim_{x\rightarrow+\infty}(f(a)-f(x)) = f(a)\;.$$

$\square$ Comme exemple d'application, si $\alpha$ est un réel strictement positif, et $k$ un entier positif impair, alors l'intégrale

$$\int_1^{+\infty} \frac{\sin^k(t)}{t^\alpha} \mathrm{d}t\;$$ converge.

Remarquons que cette intégrale n'est absolument convergente que pour $\alpha>1$. On vérifie que les hypothèses du théorème 6 sont satisfaites pour $f(t) = t^{-\alpha}$ et $g(t)=\sin^k(t)$. Pour s'assurer que la primitive de $\sin^k$ est bornée, il suffit de penser à une linéarisation, qui transformera $\sin^k(t)$ en une combinaison linéaire des $\sin(h t) ,\;h=1\ldots k$, dont la primitive sera toujours bornée.