Exemples

Comme exemple d'intégrales dont la primitive est explicitement calculable, observons que l'on peut généraliser les intégrales de Riemann et de Bertrand.

   Si $$\gamma\leqslant 1\quad \int_3^{+\infty}t^{-1} (\ln(t))^{-1}(\ln(\ln(t)))^{-\gamma} \mathrm{d}t \;$$ diverge,

   si $$\gamma > 1\quad \int_3^{+\infty} t^{-1}(\ln(t))^{-1}(\ln(\ln(t)))^{-\gamma} \mathrm{d}t \;$$ converge.

Pour des intégrales au voisinage de 0 :

   Si $$\beta\leqslant 1\quad \int_0^{1/2} t^{-1} (-\ln(t))^{-\beta} \mathrm{d}t \;$$ diverge,

   si $$\beta> 1\quad \int_0^{1/2} t^{-1} (-\ln(t))^{-\beta} \mathrm{d}t \;$$ converge.

Voici maintenant des applications des théorèmes de comparaison 1 et 3. L'idée intuitive à retenir est la suivante. Quand une fonction est un produit de plusieurs fonctions du type exponentielle, puissances de $x$, puissances de logarithmes, l'une de ces fonctions ``l'emporte'' sur les autres : l'exponentielle l'emporte sur les puissances de $x$ et les puissances de $x$ l'emportent sur le logarithme.

Dans les exemples suivants, $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ désignent des réels strictement positifs. Les intégrales suivantes sont convergentes.

$$\int_1^{+\infty} \mathrm{e}^{-\alpha t} t^{\beta} \mathrm{d}t\... ...pha t} t^{\beta} (\ln(t))^\gamma \vert\sin(t)\vert^\delta \mathrm{d}t\;.$$

La démonstration est la même que pour $\int_1^{+\infty} t^\alpha \mathrm{e}^{-t} \mathrm{d}t$. Nous en rappelons le principe, en le généralisant.

Proposition 2   Soient $\alpha$ et $\alpha'$ deux réels tels que $0<\alpha'<\alpha$. Soit $f$ une fonction continue sur $[a,+\infty[$ telle que $\mathrm{e}^{-(\alpha-\alpha') t}f(t)$ soit bornée. Alors l'intégrale

$$\int_a^{+\infty} \mathrm{e}^{-\alpha t}f(t) \mathrm{d}t\;$$ est absolument convergente.

Démonstration : Par hypothèse, il existe $M$ tel que pour tout $t>a$,

$$\vert\mathrm{e}^{-(\alpha-\alpha') t} f(t)\vert \leqslant M\;.$$

En multipliant par $\mathrm{e}^{-\alpha' t}$, on obtient

$$\vert\mathrm{e}^{-\alpha t} f(t)\vert \leqslant \mathrm{e}^{-\alpha' t} M\;.$$

D'où le résultat par le théorème de comparaison 1, puisque $\int_a^{+\infty} \mathrm{e}^{-\alpha' t} \mathrm{d}t$ converge.$\square$ Le même raisonnement vaut quand c'est une puissance de $t$ qui est dominante. Par exemple, pour tout $\alpha>1$ et pour tout $\beta$,

$$\int_2^{+\infty} t^{-\alpha} (\ln(t))^\beta \mathrm{d}t\;$$ converge.

Proposition 3   Soient $\alpha$ et $\alpha'$ deux réels tels que $1<\alpha'<\alpha$ et soit $f$ une fonction telle que $t^{-(\alpha-\alpha')}f(t)$ soit bornée. Alors l'intégrale

$$\int_a^{+\infty} t^{-\alpha}f(t) \mathrm{d}t\;$$ est absolument convergente.

Démonstration : Par hypothèse, il existe $M$ tel que pour tout $t>a$,

$$\vert t^{-(\alpha-\alpha')} f(t)\vert \leqslant M\;.$$

En multipliant par $t^{-\alpha'}$, on obtient

$$\vert t^{-\alpha} f(t)\vert \leqslant t^{-\alpha'}M\;.$$

D'où le résultat par le théorème de comparaison 1, puisque $\int_a^{+\infty} t^{-\alpha'} \mathrm{d}t$ converge.$\square$