Fonctions oscillantes, intervalle borné

Le dernier cas à traiter est celui où la fonction à intégrer oscille au voisinage d'une des bornes, prenant des valeurs arbitrairement proches de $+\infty$ et $-\infty$ (figure 6).

Figure 6: Intégrale d'une fonction positive non bornée.

Le changement de variable $u=1/(t-a)$ permet de se ramener au cas précédent, ce qui nous dispensera de donner autant de détails. Rappelons que par définition,

$$\int_a^b f(t) \mathrm{d}t = \lim_{x\rightarrow a^+} \int_x^b f(t) \mathrm{d}t\;.$$

La notion importante est toujours la convergence absolue.

Définition 3   Soit $f$ une fonction continue sur $]a,b]$. On dit que $\int_a^b f(t) \mathrm{d}t$ est absolument convergente si $\int_a^b \vert f(t)\vert \mathrm{d}t$ est une intégrale convergente.

Nous admettrons le théorème suivant, qui se démontre de la même façon que le théorème 5.

Théorème 7   Si l'intégrale $\int_a^b f(t) \mathrm{d}t$ est absolument convergente, alors elle est convergente.

Par exemple,

$$\int_0^1 \frac{\sin(1/t)}{\sqrt{t}} \mathrm{d}t\;$$ est absolument convergente,

donc convergente. En effet pour tout $t$,

$$\frac{\vert\sin(1/t)\vert}{\sqrt{t}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{t}}\;.$$

Or l'intégrale $\int_0^1 t^{-1/2} \mathrm{d}t$ converge. D'où le résultat par le théorème de comparaison 3. Par contre,

$$\int_0^1 \frac{\sin(1/t)}{t} \mathrm{d}t\;$$ n'est pas absolument convergente,

mais elle est convergente. Pour le voir, effectuons le changement de variable $t\mapsto 1/u$.

$$\int_x^1 \frac{\sin(1/t)}{t} \mathrm{d}t = \int_{1/x}^1 u\sin(u)\frac{-1}{u^2} \mathrm{d}u = \int_1^{1/x} \frac{\sin(u)}{u} \mathrm{d}u\;.$$

Nous avons déjà montré que l'intégrale $\int_1^{+\infty} \frac{\sin(u)}{u} \mathrm{d}u$ est convergente sans être absolument convergente.

On pourrait énoncer un théorème d'Abel analogue au théorème 6, mais cela n'est pas vraiment utile. D'une part les fonctions auxquelles il s'appliquerait se rencontrent rarement, d'autre part, il est en général facile de se ramener à un problème sur $[c,+\infty[$, par le changement de variable $t\mapsto u=1/(t-a)$ : nous l'avons déjà fait pour $\int_0^1 \frac{\sin(1/t)}{t} \mathrm{d}t$.