Fonctions positives, intervalle borné

Nous traitons ici le cas où la fonction à intégrer tend vers l'infini en l'une des bornes de l'intervalle d'intégration. Le traitement est tout à fait analogue au cas précédent.

Quitte à réduire l'intervalle d'intégration, et à changer éventuellement le signe de $ f$, nous pouvons supposer que la fonction est positive ou nulle sur l'intervalle d'intégration $ ]a,b]$, et tend vers $ +\infty$ en $ a$ (figure 2).

Figure 4: Intégrale d'une fonction positive non bornée.
\includegraphics[width=8cm]{intcv2}
Rappelons que par définition,

$\displaystyle \int_a^b f(t) \mathrm{d}t = \lim_{x\rightarrow a^+} \int_x^b f(t) \mathrm{d}t\;.
$

Observons que si la fonction $ f$ est positive, alors $ \int_x^b f(t) \mathrm{d}t$ croît quand $ x$ décroît vers $ a$ : soit $ \int_x^b f(t) \mathrm{d}t$ est bornée, et l'intégrale $ \int_a^b f(t) \mathrm{d}t$ est convergente, soit $ \int_x^b f(t) \mathrm{d}t$ tend vers $ +\infty$.

Si on ne peut pas (ou si on ne veut pas) calculer une primitive de $ f$, on étudie la convergence en comparant avec des intégrales dont la convergence est connue, grâce au théorème suivant.

Théorème 3   Soient $ f$ et $ g$ deux fonctions positives et continues sur $ ]a,b]$. Supposons que $ f$ soit majorée par $ g$ au voisinage de $ a$ :

$\displaystyle \exists \varepsilon ,\; \forall t\in ]a,a+\varepsilon]\;,\quad f(t)\leqslant g(t)\;.
$

$ \bullet$
Si $ \int_a^b g(t) \mathrm{d}t$ converge alors $ \int_a^b f(t) \mathrm{d}t$ converge.
$ \bullet$
Si $ \int_a^b f(t) \mathrm{d}t$ diverge alors $ \int_a^b g(t) \mathrm{d}t$ diverge.

Démonstration : Comme nous l'avons observé, la convergence des intégrales ne dépend pas de la borne de droite de l'intervalle, et nous pouvons nous contenter d'étudier $ \int_x^{a+\varepsilon} f(t) \mathrm{d}t$ et $ \int_x^{a+\varepsilon} g(t) \mathrm{d}t$. Or en utilisant la monotonie des intégrales, on obtient que pour tout $ x\in]a,a+\varepsilon]$ :

$\displaystyle \int_x^{a+\varepsilon} f(t) \mathrm{d}t \leqslant \int_x^{a+\varepsilon} g(t) \mathrm{d}t\;.
$

Si $ \int_a^{a+\varepsilon} g(t) \mathrm{d}t$ converge, alors $ \int_x^{a+\varepsilon} f(t) \mathrm{d}t$ croît quand $ x$ décroît vers $ a$ et est majorée par $ \int_a^{a+\varepsilon} g(t) \mathrm{d}t$, elle converge donc. Inversement, si $ \int_x^{a+\varepsilon} f(t) \mathrm{d}t$ tend vers $ +\infty$, alors $ \int_x^{a+\varepsilon} g(t) \mathrm{d}t$ tend vers $ +\infty$ également.$ \square$ Voici une application typique du théorème de comparaison des intégrales 3. Nous allons montrer que l'intégrale

$\displaystyle \int_0^1 \frac{(-\ln(t))^\alpha}{\sqrt{t}} \mathrm{d}t\;$ converge,

pour tout réel $ \alpha$. Pour cela nous écrivons :

$\displaystyle \frac{(-\ln(t))^\alpha}{\sqrt{t}} = ((-\ln(t))^\alpha t^{1/4}) t^{-3/4}\;.
$

On sait que

$\displaystyle \lim_{t\rightarrow 0^+} \ln(t)^\alpha t^{1/4}=0\;,
$

pour tout $ \alpha$ (les puissances de $ t$ l'emportent sur le logarithme). En particulier, il existe un réel $ \varepsilon>0$ tel que :

$\displaystyle \forall t\in]0,\varepsilon] ,\; (-\ln(t))^\alpha t^{1/4}\leqslant 1\;.
$

En multipliant les deux membres de l'inégalité par $ t^{-3/4}$ on obtient :

$\displaystyle \forall t\in]0,\varepsilon] ,\; \frac{(-\ln(t))^\alpha}{\sqrt{t}}\leqslant t^{-3/4}\;.
$

Or l'intégrale $ \int_0^1 t^{-3/4} \mathrm{d}t$ converge. En effet :

$\displaystyle \int_x^1 t^{-3/4} \mathrm{d}t = \Big[4 t^{1/4}\Big]_x^1 =
4-4x^{1/4}$    et $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+} (4-4x^{1/4}) =
4\;.
$

On peut donc appliquer le théorème de comparaison 3 : puisque $ \int_0^1 t^{-3/4} \mathrm{d}t$ converge, on en déduit que $ \int_0^1 \frac{(-\ln(t))^\alpha}{\sqrt{t}} \mathrm{d}t$ converge aussi. Grâce au théorème de comparaison 3, on peut remplacer la fonction à intégrer par un équivalent au voisinage de $ a$ pour étudier la convergence d'une intégrale.

Théorème 4   Soient $ f$ et $ g$ deux fonctions continues et strictement positives sur $ ]a,b]$, équivalentes au voisinage de $ a$ :

$\displaystyle \lim_{t\rightarrow a^+}\frac{f(t)}{g(t)} = 1\;.
$

L'intégrale $ \int_a^b f(t) \mathrm{d}t$ converge si et seulement si $ \int_a^b g(t) \mathrm{d}t$ converge.

Démonstration : Dire que deux fonctions sont équivalentes au voisinage de $ a$, c'est dire que le rapport tend vers $ 1$, ou encore :

$\displaystyle \forall \varepsilon>0 ,\;\exists \eta ,\; \forall t\in]a,a+\eta]\;,\quad
\left\vert\frac{f(t)}{g(t)}-1\right\vert<\varepsilon\;,
$

soit encore :

$\displaystyle \forall \varepsilon>0 ,\;\exists\eta ,\; \forall t\in]a,a+\eta]\;,\quad
(1-\varepsilon)g(t)<f(t)<(1+\varepsilon)g(t)\;.
$

Fixons $ \varepsilon>0$, et appliquons le théorème de comparaison 3 sur l'intervalle $ ]a,a+\eta]$. Si l'intégrale $ \int_a^{a+\eta}
f(t) \mathrm{d}t$ converge, alors l'intégrale $ \int_a^{a+\eta} (1-\varepsilon)g(t) \mathrm{d}t$ converge, donc l'intégrale $ \int_a^{a+\eta} g(t) \mathrm{d}t$ aussi par la linéarité (proposition 1). Inversement, si $ \int_a^{a+\eta}
f(t) \mathrm{d}t$ diverge, alors $ \int_a^{a+\eta}
(1+\varepsilon) g(t) \mathrm{d}t$ diverge, donc $ \int_a^{a+\eta} g(t) \mathrm{d}t$ diverge aussi. $ \square$ Par exemple, l'intégrale

$\displaystyle \int_0^1 \sqrt{\frac{-\ln(t)+1}{\sin(t)}} \mathrm{d}t\;$ converge.

En effet,

$\displaystyle \sqrt{\frac{-\ln(t)+1}{\sin(t)}} \;\mathop{\sim}_{0^+}\;
\frac{(-\ln(t))^{1/2}}{\sqrt{t}}\;,
$

et nous avons déjà montré que l'intégrale $ \int_0^1 \frac{(-\ln(t))^{1/2}}{\sqrt{t}} \mathrm{d}t$ converge.

L'utilisation des équivalents permet ainsi de ramener l'étude de la convergence d'une intégrale pour laquelle on n'a pas de primitive, à un catalogue d'intégrales dont la convergence est connue. Les plus classiques sont du type $ \int_0^1 t^{-\alpha} \mathrm{d}t$, mais attention, la convergence en fonction du paramètre $ \alpha$ est inversée par rapport aux intégrales de Riemann.

   Si $\displaystyle \alpha < 1\quad \int_0^1 t^{-\alpha} \mathrm{d}t
\;$ converge,

   si $\displaystyle \alpha \geqslant 1\quad \int_0^1 t^{-\alpha} \mathrm{d}t
\;$ diverge.


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