Fonctions positives, intervalle borné

Nous traitons ici le cas où la fonction à intégrer tend vers l'infini en l'une des bornes de l'intervalle d'intégration. Le traitement est tout à fait analogue au cas précédent.

Quitte à réduire l'intervalle d'intégration, et à changer éventuellement le signe de $f$, nous pouvons supposer que la fonction est positive ou nulle sur l'intervalle d'intégration $]a,b]$, et tend vers $+\infty$ en $a$ (figure 2).

Figure 4: Intégrale d'une fonction positive non bornée.

Rappelons que par définition,

$$\int_a^b f(t) \mathrm{d}t = \lim_{x\rightarrow a^+} \int_x^b f(t) \mathrm{d}t\;.$$

Observons que si la fonction $f$ est positive, alors $\int_x^b f(t) \mathrm{d}t$ croît quand $x$ décroît vers $a$ : soit $\int_x^b f(t) \mathrm{d}t$ est bornée, et l'intégrale $\int_a^b f(t) \mathrm{d}t$ est convergente, soit $\int_x^b f(t) \mathrm{d}t$ tend vers $+\infty$.

Si on ne peut pas (ou si on ne veut pas) calculer une primitive de $f$, on étudie la convergence en comparant avec des intégrales dont la convergence est connue, grâce au théorème suivant.

Théorème 3   Soient $f$ et $g$ deux fonctions positives et continues sur $]a,b]$. Supposons que $f$ soit majorée par $g$ au voisinage de $a$ :

$$\exists \varepsilon ,\; \forall t\in ]a,a+\varepsilon]\;,\quad f(t)\leqslant g(t)\;.$$

$\bullet$

Si $\int_a^b g(t) \mathrm{d}t$ converge alors $\int_a^b f(t) \mathrm{d}t$ converge.

$\bullet$

Si $\int_a^b f(t) \mathrm{d}t$ diverge alors $\int_a^b g(t) \mathrm{d}t$ diverge.

Démonstration : Comme nous l'avons observé, la convergence des intégrales ne dépend pas de la borne de droite de l'intervalle, et nous pouvons nous contenter d'étudier $\int_x^{a+\varepsilon} f(t) \mathrm{d}t$ et $\int_x^{a+\varepsilon} g(t) \mathrm{d}t$. Or en utilisant la monotonie des intégrales, on obtient que pour tout $x\in]a,a+\varepsilon]$ :

$$\int_x^{a+\varepsilon} f(t) \mathrm{d}t \leqslant \int_x^{a+\varepsilon} g(t) \mathrm{d}t\;.$$

Si $\int_a^{a+\varepsilon} g(t) \mathrm{d}t$ converge, alors $\int_x^{a+\varepsilon} f(t) \mathrm{d}t$ croît quand $x$ décroît vers $a$ et est majorée par $\int_a^{a+\varepsilon} g(t) \mathrm{d}t$, elle converge donc. Inversement, si $\int_x^{a+\varepsilon} f(t) \mathrm{d}t$ tend vers $+\infty$, alors $\int_x^{a+\varepsilon} g(t) \mathrm{d}t$ tend vers $+\infty$ également.$\square$ Voici une application typique du théorème de comparaison des intégrales 3. Nous allons montrer que l'intégrale

$$\int_0^1 \frac{(-\ln(t))^\alpha}{\sqrt{t}} \mathrm{d}t\;$$ converge,

pour tout réel $\alpha$. Pour cela nous écrivons :

$$\frac{(-\ln(t))^\alpha}{\sqrt{t}} = ((-\ln(t))^\alpha t^{1/4}) t^{-3/4}\;.$$

On sait que

$$\lim_{t\rightarrow 0^+} \ln(t)^\alpha t^{1/4}=0\;,$$

pour tout $\alpha$ (les puissances de $t$ l'emportent sur le logarithme). En particulier, il existe un réel $\varepsilon>0$ tel que :

$$\forall t\in]0,\varepsilon] ,\; (-\ln(t))^\alpha t^{1/4}\leqslant 1\;.$$

En multipliant les deux membres de l'inégalité par $t^{-3/4}$ on obtient :

$$\forall t\in]0,\varepsilon] ,\; \frac{(-\ln(t))^\alpha}{\sqrt{t}}\leqslant t^{-3/4}\;.$$

Or l'intégrale $\int_0^1 t^{-3/4} \mathrm{d}t$ converge. En effet :

$$\int_x^1 t^{-3/4} \mathrm{d}t = \Big[4 t^{1/4}\Big]_x^1 = 4-4x^{1/4}$$    et $$\lim_{x\rightarrow 0^+} (4-4x^{1/4}) = 4\;.$$

On peut donc appliquer le théorème de comparaison 3 : puisque $\int_0^1 t^{-3/4} \mathrm{d}t$ converge, on en déduit que $\int_0^1 \frac{(-\ln(t))^\alpha}{\sqrt{t}} \mathrm{d}t$ converge aussi. Grâce au théorème de comparaison 3, on peut remplacer la fonction à intégrer par un équivalent au voisinage de $a$ pour étudier la convergence d'une intégrale.

Théorème 4   Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues et strictement positives sur $]a,b]$, équivalentes au voisinage de $a$ :

$$\lim_{t\rightarrow a^+}\frac{f(t)}{g(t)} = 1\;.$$

L'intégrale $\int_a^b f(t) \mathrm{d}t$ converge si et seulement si $\int_a^b g(t) \mathrm{d}t$ converge.

Démonstration : Dire que deux fonctions sont équivalentes au voisinage de $a$, c'est dire que le rapport tend vers $1$, ou encore :

$$\forall \varepsilon>0 ,\;\exists \eta ,\; \forall t\in]a,a+\eta]\;,\quad \left\vert\frac{f(t)}{g(t)}-1\right\vert<\varepsilon\;,$$

soit encore :

$$\forall \varepsilon>0 ,\;\exists\eta ,\; \forall t\in]a,a+\eta]\;,\quad (1-\varepsilon)g(t)<f(t)<(1+\varepsilon)g(t)\;.$$

Fixons $\varepsilon>0$, et appliquons le théorème de comparaison 3 sur l'intervalle $]a,a+\eta]$. Si l'intégrale $\int_a^{a+\eta} f(t) \mathrm{d}t$ converge, alors l'intégrale $\int_a^{a+\eta} (1-\varepsilon)g(t) \mathrm{d}t$ converge, donc l'intégrale $\int_a^{a+\eta} g(t) \mathrm{d}t$ aussi par la linéarité (proposition 1). Inversement, si $\int_a^{a+\eta} f(t) \mathrm{d}t$ diverge, alors $\int_a^{a+\eta} (1+\varepsilon) g(t) \mathrm{d}t$ diverge, donc $\int_a^{a+\eta} g(t) \mathrm{d}t$ diverge aussi. $\square$ Par exemple, l'intégrale

$$\int_0^1 \sqrt{\frac{-\ln(t)+1}{\sin(t)}} \mathrm{d}t\;$$ converge.

En effet,

$$\sqrt{\frac{-\ln(t)+1}{\sin(t)}} \;\mathop{\sim}_{0^+}\; \frac{(-\ln(t))^{1/2}}{\sqrt{t}}\;,$$

et nous avons déjà montré que l'intégrale $\int_0^1 \frac{(-\ln(t))^{1/2}}{\sqrt{t}} \mathrm{d}t$ converge.

L'utilisation des équivalents permet ainsi de ramener l'étude de la convergence d'une intégrale pour laquelle on n'a pas de primitive, à un catalogue d'intégrales dont la convergence est connue. Les plus classiques sont du type $\int_0^1 t^{-\alpha} \mathrm{d}t$, mais attention, la convergence en fonction du paramètre $\alpha$ est inversée par rapport aux intégrales de Riemann.

   Si $$\alpha < 1\quad \int_0^1 t^{-\alpha} \mathrm{d}t \;$$ converge,

   si $$\alpha \geqslant 1\quad \int_0^1 t^{-\alpha} \mathrm{d}t \;$$ diverge.