Définitions et propriétés

Notre but dans ce chapitre est de calculer des intégrales sur des intervalles non bornés (allant jusqu'à $+\infty$ ou $-\infty$), ou bien des intégrales sur un domaine borné, de fonctions ayant une limite infinie en un point de l'intervalle d'intégration. Si on se réfère à l'interprétation intuitive d'une intégrale comme la surface d'un domaine dans le plan, dans les deux cas nous cherchons à calculer des surfaces de domaines non bornés.

Considérons par exemple la fonction $f$ qui à $t\in\mathbb{R}^*$ associe $f(t) = \vert t\vert^{-3/2}\sin(t)$ : son graphe est représenté sur la figure 1.

Figure: Graphe de la fonction $t\mapsto \vert t\vert^{-3/2}\sin(t)$.

Comment donner un sens à l'intégrale de $f$ sur $\mathbb{R}$ ? Nous souhaitons une définition qui respecte les propriétés de base que sont la relation de Chasles, la linéarité et la monotonie.

On commence d'abord par identifier les points incertains, soit $\pm\infty$ d'une part, et d'autre part le ou les points au voisinage desquels la fonction n'est pas bornée ($t=0$ dans notre exemple). On découpe ensuite l'intervalle d'intégration en autant d'intervalles qui faut pour que chacun d'eux ne contienne qu'un seul point incertain, placé à l'une des deux bornes. La relation de Chasles impose que l'intégrale sur l'intervalle complet soit la somme des intégrales sur les intervalles du découpage. Dans l'exemple de la fonction $f(t) = \vert t\vert^{-3/2}\sin(t)$ ci-dessus, il faut découper en 4 sous-intervalles : 2 pour isoler $-\infty$ et $+\infty$, et 2 autres pour le point incertain 0. On pourra écrire par exemple :

$$\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t = \int_{-\infty}^{-1} ... ...m{d}t+ \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d}t+ \int_{1}^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t\;.$$

Le seul but est d'isoler les difficultés : les choix de $-1$ et $1$ comme points de découpage sont arbitraires (par exemple $-3$ et $10$ auraient convenu tout aussi bien). Par ce découpage, on se ramène à des intégrales de 4 types.

1. intégrale sur $]-\infty,a]$,
2. intégrale sur $[a,+\infty[$,
3. intégrale sur $]a,b]$, fonction non bornée en $a$,
4. intégrale sur $[a,b[$, fonction non bornée en $b$,

Le changement de variable $t\mapsto-t$ permet de réduire ces 4 cas à 2 seulement. En effet :

$$\int_{-\infty}^a f(t) \mathrm{d}t = \int_{-a}^{+\infty} f(-u) \mathrm{d}u\;,$$

$$\int_a^b f(t) \mathrm{d}t = \int_{-b}^{-a} f(-u) \mathrm{d}u\;.$$

Nous devons donc définir l'intégrale dans deux cas distincts.

Définition 1    

1. Soit $f$ une fonction continue sur $[a,+\infty[$. On dit que l'intégrale $\int_a^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t$ converge si la limite quand $x$ tend vers $+\infty$ de la primitive $\int_a^{x} f(t) \mathrm{d}t$ existe. Si c'est le cas, on pose :

   $$\int_a^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t = \lim_{x\rightarrow+\infty} \int_a^x f(t) \mathrm{d}t\;.$$ (1)

   
   
   Dans le cas contraire, on dit que l'intégrale diverge.
2. Soit $f$ une fonction continue sur $]a,b]$. On dit que l'intégrale $\int_a^b f(t) \mathrm{d}t$ converge si la limite à droite quand $x$ tend vers $a$ de $\int_x^{b} f(t) \mathrm{d}t$ existe. Si c'est le cas, on pose :

   $$\int_a^{b} f(t) \mathrm{d}t = \lim_{x\rightarrow a^+} \int_x^b f(t) \mathrm{d}t\;.$$ (2)

   
   
   Dans le cas contraire, on dit que l'intégrale diverge.

Observons que la deuxième définition est cohérente avec les propriétés de l'intégrale d'une fonction continue : si la fonction $f$ est continue sur $[a,b]$ tout entier, alors $\int_x^b f(t) \mathrm{d}t$ est une fonction de $x$ continue en $a$, et (2) est vérifié.

Dans $\int_a^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t$, la borne de gauche de l'intervalle d'intégration n'a pas d'influence sur le comportement de l'intégrale. Supposons $f$ continue sur $[a,+\infty[$ et choisissons un réel $a'>a$. Par la relation de Chasles,

$$\int_a^x f(t) \mathrm{d}t = \int_a^{a'} f(t) \mathrm{d}t +\int_{a'}^x f(t) \mathrm{d}t$$

Comme $\int_a^{a'} f(t) \mathrm{d}t$ ne dépend pas de $x$, la limite de $\int_a^x f(t) \mathrm{d}t$ existe si et seulement si celle de $\int_{a'}^x f(t) \mathrm{d}t$ existe aussi. La convergence d'une intégrale ne dépend donc pas du comportement de la fonction sur des intervalles bornés, mais seulement de son comportement au voisinage de $+\infty$.

Si $f$ n'est pas bornée au voisinage de $a$, la convergence de $\int_a^b f(t) \mathrm{d}t$ ne dépend pas de $b$, pour la même raison : elle ne dépend que du comportement de $f$ au voisinage de $a$.

Le résultat suivant est une conséquence immédiate de la linéarité des intégrales et des limites.

Proposition 1    

1. Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a,+\infty[$, et $\alpha,\beta$ deux réels. Si les intégrales $\int_a^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t$ et $\int_a^{+\infty} g(t) \mathrm{d}t$ convergent, alors $\int_a^{+\infty} \alpha f(t)+\beta g(t) \mathrm{d}t$ converge et
   $$\int_a^{+\infty} \alpha f(t)+\beta g(t) \mathrm{d}t = \alpha \int_a^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t +\beta \int_a^{+\infty} g(t) \mathrm{d}t\;.$$

2. Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $]a,b]$, et $\alpha,\beta$ deux réels. Si les intégrales $\int_a^b f(t) \mathrm{d}t$ et $\int_a^b g(t) \mathrm{d}t$ convergent, alors $\int_a^b \alpha f(t)+\beta g(t) \mathrm{d}t$ converge et
   $$\int_a^b \alpha f(t)+\beta g(t) \mathrm{d}t = \alpha \int_a^b f(t) \mathrm{d}t +\beta \int_a^b g(t) \mathrm{d}t\;.$$

Quand on peut calculer une primitive de la fonction à intégrer, l'étude de la convergence se ramène à un calcul de limite. Voici plusieurs exemples. L'intégrale

$$\int_0^{+\infty} \frac{1}{1+t^2} \mathrm{d}t\;$$ converge.

En effet,

$$\int_0^{x} \frac{1}{1+t^2} \mathrm{d}t =\Big[\arctan(t)\Big]_0^x =\arctan(x)$$    et $$\lim_{x\rightarrow+\infty}\arctan(x) = \frac{\pi}{2}\;.$$

On pourra écrire :

$$\int_0^{+\infty} \frac{1}{1+t^2} \mathrm{d}t = \Big[\arctan(t)\Big]_0^{+\infty} =\frac{\pi}{2}\;,$$

à condition de se souvenir que $\Big[\arctan(t)\Big]_0^{+\infty}$ désigne une limite en $+\infty$. Par contre, l'intégrale

$$\int_0^{+\infty} \frac{1}{1+t} \mathrm{d}t\;$$ diverge.

En effet,

$$\int_0^{x} \frac{1}{1+t} \mathrm{d}t = \Big[\ln(1+t)\Big]_0^x =\ln(1+x)$$    et $$\lim_{x\rightarrow+\infty}\ln(1+x) = +\infty\;.$$

L'intégrale

$$\int_0^1 \ln(t) \mathrm{d}t\;$$ converge.

En effet,

$$\int_x^1 \ln(t) \mathrm{d}t = \Big[t\ln(t)-t\Big]_x^1 = x-x\ln(x)-1$$    et $$\lim_{x\rightarrow 0^+} (x-x\ln(x)-1) = -1$$

On pourra écrire :

$$\int_0^1 \ln(t) \mathrm{d}t = \Big[t\ln(t)-t\Big]_0^1 = -1\;.$$

Par contre, l'intégrale

$$\int_0^1 \frac{1}{t} \mathrm{d}t\;$$ diverge.

En effet,

$$\int_x^1 \frac{1}{t} \mathrm{d}t = \Big[\ln(t)\Big]_x^1 = -\ln(x)$$    et $$\lim_{x\rightarrow 0} -\ln(x) = +\infty\;.$$

Figure 2: Différents types d'intégrales : (a) intervalle non borné, fonction de signe constant ; (b) intervalle borné, fonction de signe constant ; (c) intervalle non borné, fonction de signe non constant ; (d) intervalle borné, fonction de signe non constant.

Quand on ne sait pas calculer une primitive, on a recours à deux types de méthodes, selon que la fonction est ou non de signe constant au voisinage du point incertain. Il y a donc 4 cas distincts, selon le type du point incertain, et le signe, constant ou non, de la fonction à intégrer. Ces 4 types sont schématisés dans la figure 2 et leur étude fait l'objet des sections suivantes.