Limite sup et limite inf

Quand on définit une notion mathématique, le fait qu'elle refuse de s'appliquer à certains objets la rend aussitôt suspecte. La suite $((-1)^n)$ ne converge pas. Serait-ce que la notion de limite est insuffisante ?

Au contraire de la limite d'une suite, la borne supérieure et la borne inférieure d'un ensemble existent toujours (elles peuvent être infinies).

Soit $(u_n)$ une suite de réels. Considérons la suite d'ensembles $(U_n)$ où $U_n$ est défini par :

$$U_n=\{u_{m} ,\;m\geqslant n\}\;.$$

Posons alors :

$$\underline{u}_n = \inf U_n$$   et$$\quad \overline{u}_n = \sup U_n \;,$$

Comme les ensembles $U_n$ sont emboîtés ( $U_{n+1}\subset U_n$), la suite $(\underline{u}_n)$ est croissante, donc elle admet une limite (éventuellement infinie), par le théorème 2. Sa limite est la limite inférieure de la suite $(u_n)$. La limite supérieure est la limite de la suite (décroissante) $\overline{u}_n$.

Définition 11    

1. On appelle limite inférieure de la suite $(u_n)$, et on note $\liminf u_n$ ou $\underline{\lim} u_n$, la quantité
   $$\liminf u_n = \sup \{\underline{u}_n ,\;n\in\mathbb{N}\}$$   où$$\quad \underline{u}_n =\inf\{u_{m} ,\;m\geqslant n\}\;.$$

2. On appelle limite supérieure de la suite $(u_n)$, et on note $\limsup u_n$ ou $\overline{\lim} u_n$, la quantité
   $$\limsup u_n = \inf \{\overline{u}_n ,\;n\in\mathbb{N}\}$$   où$$\quad \overline{u}_n =\sup\{u_{m} ,\;m\geqslant n\}\;.$$

On retient de façon abrégée que

$$\liminf u_n =\sup_{n\in\mathbb{N}} \inf_{m\geqslant n} u_m$$   et$$\quad \limsup u_n =\inf_{n\in\mathbb{N}} \sup_{m\geqslant n} u_m\;.$$

La $\liminf$ et la $\limsup$ existent pour toute suite réelle. Voici trois exemples.

$$\begin{array}{\vert c\vert cc\vert} \hline u_n&\liminf u_n&\... ...in(n)& -\infty&+\infty\\ \sin(n)/n& 0& 0\\ \hline \end{array}$$

On peut voir la $\liminf$ comme la plus petite limite d'une suite extraite de la suite $(u_n)$, et la $\limsup$ comme la plus grande. Elles peuvent éventuellement être infinies. On peut toujours extraire de $(u_n)$ deux sous-suites qui convergent vers ces deux limites. Elles fournissent une caractérisation de la convergence : une suite converge si et seulement si sa $\liminf$ est égale à sa $\limsup$.

Proposition 5   Une suite de réels $(u_n)$ converge vers $l$ si et seulement si

$$\liminf u_n = \limsup u_n = l\;.$$

Démonstration : Ce résultat reste vrai si la suite tend vers $\pm \infty$. Nous le démontrons pour une limite finie. Rappelons la construction de $\liminf$ et $\limsup$, comme limite des suites $\underline{u}_n$ et $\overline{u}_n$, où

$$\underline{u}_n = \inf U_n$$   et$$\quad \overline{u}_n = \sup U_n \;,$$

avec

$$U_n = \{ u_m ,\;m\geqslant n\}\;.$$

Démontrons d'abord la condition suffisante. Par construction, la suite $(u_n)$ est encadrée par les suites $\underline{u}_n$ et $\overline{u}_n$.

$$\underline{u}_n\leqslant u_n\leqslant \overline{u}_n\;.$$

Si les deux suites $(\underline{u}_n)$ et $(\overline{u}_n)$ ont la même limite, alors $(u_n)$ converge vers cette limite, par le théorème des gendarmes (corollaire 1).

Réciproquement, si la suite $(u_n)$ converge, alors pour tout $\varepsilon >0$, il existe un entier $n_0$ à partir duquel tous les ensembles $U_n$ sont inclus dans l'intervalle $[l-\varepsilon ,l+\varepsilon ]$, ce qui implique :

$$l-\varepsilon \leqslant \underline{u}_n\leqslant \overline{u}_n \leqslant l+\varepsilon \;.$$

Donc,

$$l-\varepsilon \leqslant \liminf u_n \leqslant \limsup{u}_n \leqslant l+\varepsilon \;.$$

Cet encadrement étant vrai pour tout $\varepsilon >0$, il entraîne :

$$l=\liminf u_n =\limsup{u}_n\;.$$

$\square$

Nous avons maintenant les bons outils pour démontrer le théorème 8 :

Dans $\mathbb{R}$, toute suite de Cauchy converge. Démonstration : Soit $(u_n)$ une suite de Cauchy dans $\mathbb{R}$. Commençons par montrer que $(u_n)$ est bornée. Fixons $\varepsilon >0$. Soit $n_0$ tel que pour tout $n\geqslant n_0$ et pour tout $k\in \mathbb{N}$ :

$$\vert u_{n+k}-u_n\vert\leqslant \varepsilon \;.$$

En particulier, pour tout $k\in \mathbb{N}$,

$$u_{n_0}-\varepsilon \leqslant u_{n_0+k}\leqslant u_{n_0}+\varepsilon \;.$$

La suite $(u_n)$ est bornée à partir du rang $n_0$, donc bornée tout court. Donc pour tout $n$, l'ensemble $U_n=\{u_m ,\;m\geqslant n\}$ est borné et les quantités $\underline{u}_n=\inf U_n$ et $\overline{u}_n=\sup U_n$ sont finies. Nous avons déjà observé que $(\underline{u}_n)$ est une suite croissante et $(\overline{u}_n)$ une suite décroissante, car les ensembles $U_n$ sont emboîtés. Nous allons démontrer que les suites $(\underline{u}_n)$ et $(\overline{u}_n)$ sont adjacentes, c'est-à-dire que

$$\lim_{n\rightarrow\infty} \overline{u}_n -\underline{u}_n = 0\;.$$

Fixons $\varepsilon >0$. Soit $n_0$ tel que pour tout $n\geqslant n_0$ et pour tout $k\in \mathbb{N}$ :

$$\vert u_{n+k}-u_n\vert\leqslant \frac{\varepsilon }{2}\;.$$

En particulier, pour tout $k\in \mathbb{N}$,

$$u_{n_0}-\frac{\varepsilon }{2}\leqslant u_{n_0+k}\leqslant u_{n_0}+\frac{\varepsilon }{2}\;.$$

Donc pour tout $n\geqslant n_0$, $u_{n_0}-\varepsilon$ est un minorant de l'ensemble $U_n$ et $u_{n_0}+\varepsilon$ en est un majorant. Par définition des bornes inférieure et supérieure :

$$u_{n_0}-\frac{\varepsilon }{2} \leqslant \underline{u}_n \leqslant \overline{u}_n \leqslant u_{n_0}+\frac{\varepsilon }{2}\;.$$

Donc $\overline{u}_n -\underline{u}_n<\varepsilon$, ce que nous voulions démontrer.$\square$