Limite sup et limite inf

Quand on définit une notion mathématique, le fait qu'elle refuse de s'appliquer à certains objets la rend aussitôt suspecte. La suite

ne converge pas. Serait-ce que la notion de limite est insuffisante ?

Au contraire de la limite d'une suite, la borne supérieure et la borne inférieure d'un ensemble existent toujours (elles peuvent être infinies).

Soit une suite de réels. Considérons la suite d'ensembles où est défini par :

$\displaystyle U_n=\{u_{m} ,\;m\geqslant n\}\;.$

Posons alors :

$\displaystyle \underline{u}_n = \inf U_n$ et $\displaystyle \quad \overline{u}_n = \sup U_n \;,$

Comme les ensembles

sont emboîtés ( $U_{n+1}\subset U_n$ ), la suite $(\underline{u}_n)$ est croissante, donc elle admet une limite (éventuellement infinie), par le théorème 2. Sa limite est la limite inférieure de la suite

. La limite supérieure est la limite de la suite (décroissante) $\overline{u}_n$ .

Définition 11

On appelle limite inférieure de la suite , et on note $\liminf u_n$ ou $\underline{\lim} u_n$ , la quantité

$\displaystyle \liminf u_n = \sup \{\underline{u}_n ,\;n\in\mathbb{N}\}$ où $\displaystyle \quad \underline{u}_n =\inf\{u_{m} ,\;m\geqslant n\}\;.$
On appelle limite supérieure de la suite , et on note $\limsup u_n$ ou $\overline{\lim} u_n$ , la quantité

$\displaystyle \limsup u_n = \inf \{\overline{u}_n ,\;n\in\mathbb{N}\}$ où $\displaystyle \quad \overline{u}_n =\sup\{u_{m} ,\;m\geqslant n\}\;.$

On retient de façon abrégée que

$\displaystyle \liminf u_n =\sup_{n\in\mathbb{N}} \inf_{m\geqslant n} u_m$ et $\displaystyle \quad \limsup u_n =\inf_{n\in\mathbb{N}} \sup_{m\geqslant n} u_m\;.$

La $\liminf$ et la $\limsup$ existent pour toute suite réelle. Voici trois exemples.

$\begin{displaymath} \begin{array}{\vert c\vert cc\vert} \hline u_n&\liminf u_n&\... ...in(n)& -\infty&+\infty\\ \sin(n)/n& 0& 0\\ \hline \end{array}\end{displaymath}$

On peut voir la $\liminf$ comme la plus petite limite d'une suite extraite de la suite

, et la $\limsup$ comme la plus grande. Elles peuvent éventuellement être infinies. On peut toujours extraire de

deux sous-suites qui convergent vers ces deux limites. Elles fournissent une caractérisation de la convergence : une suite converge si et seulement si sa $\liminf$ est égale à sa $\limsup$ .

Proposition 5 Une suite de réels converge vers si et seulement si

$\displaystyle \liminf u_n = \limsup u_n = l\;.$

Démonstration : Ce résultat reste vrai si la suite tend vers $\pm \infty$ . Nous le démontrons pour une limite finie. Rappelons la construction de $\liminf$ et $\limsup$ , comme limite des suites $\underline{u}_n$ et $\overline{u}_n$ , où

$\displaystyle \underline{u}_n = \inf U_n$ et $\displaystyle \quad \overline{u}_n = \sup U_n \;,$

avec

$\displaystyle U_n = \{ u_m ,\;m\geqslant n\}\;.$

Démontrons d'abord la condition suffisante. Par construction, la suite

est encadrée par les suites $\underline{u}_n$ et $\overline{u}_n$ .

$\displaystyle \underline{u}_n\leqslant u_n\leqslant \overline{u}_n\;.$

Si les deux suites $(\underline{u}_n)$ et $(\overline{u}_n)$ ont la même limite, alors

converge vers cette limite, par le théorème des gendarmes (corollaire 1).

Réciproquement, si la suite converge, alors pour tout $\varepsilon >0$ , il existe un entier à partir duquel tous les ensembles sont inclus dans l'intervalle $[l-\varepsilon ,l+\varepsilon ]$ , ce qui implique :

$\displaystyle l-\varepsilon \leqslant \underline{u}_n\leqslant \overline{u}_n \leqslant l+\varepsilon \;.$

Donc,

$\displaystyle l-\varepsilon \leqslant \liminf u_n \leqslant \limsup{u}_n \leqslant l+\varepsilon \;.$

Cet encadrement étant vrai pour tout $\varepsilon >0$ , il entraîne :

$\displaystyle l=\liminf u_n =\limsup{u}_n\;.$

$\square$

Nous avons maintenant les bons outils pour démontrer le théorème 8 :

Dans $\mathbb{R}$ , toute suite de Cauchy converge. Démonstration : Soit

une suite de Cauchy dans $\mathbb{R}$ . Commençons par montrer que

est bornée. Fixons $\varepsilon >0$ . Soit

tel que pour tout $n\geqslant n_0$ et pour tout $k\in \mathbb{N}$ :

$\displaystyle \vert u_{n+k}-u_n\vert\leqslant \varepsilon \;.$

En particulier, pour tout $k\in \mathbb{N}$ ,

$\displaystyle u_{n_0}-\varepsilon \leqslant u_{n_0+k}\leqslant u_{n_0}+\varepsilon \;.$

La suite

est bornée à partir du rang

, donc bornée tout court. Donc pour tout

, l'ensemble $U_n=\{u_m ,\;m\geqslant n\}$ est borné et les quantités $\underline{u}_n=\inf U_n$ et $\overline{u}_n=\sup U_n$ sont finies. Nous avons déjà observé que $(\underline{u}_n)$ est une suite croissante et $(\overline{u}_n)$ une suite décroissante, car les ensembles

sont emboîtés. Nous allons démontrer que les suites $(\underline{u}_n)$ et $(\overline{u}_n)$ sont adjacentes, c'est-à-dire que

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \overline{u}_n -\underline{u}_n = 0\;.$

Fixons $\varepsilon >0$ . Soit

tel que pour tout $n\geqslant n_0$ et pour tout $k\in \mathbb{N}$ :

$\displaystyle \vert u_{n+k}-u_n\vert\leqslant \frac{\varepsilon }{2}\;.$

En particulier, pour tout $k\in \mathbb{N}$ ,

$\displaystyle u_{n_0}-\frac{\varepsilon }{2}\leqslant u_{n_0+k}\leqslant u_{n_0}+\frac{\varepsilon }{2}\;.$

Donc pour tout $n\geqslant n_0$ , $u_{n_0}-\varepsilon$ est un minorant de l'ensemble

et $u_{n_0}+\varepsilon$ en est un majorant. Par définition des bornes inférieure et supérieure :

$\displaystyle u_{n_0}-\frac{\varepsilon }{2} \leqslant \underline{u}_n \leqslant \overline{u}_n \leqslant u_{n_0}+\frac{\varepsilon }{2}\;.$

Donc $\overline{u}_n -\underline{u}_n<\varepsilon$ , ce que nous voulions démontrer. $\square$