Suites de Cauchy

Est-il possible de savoir si une suite converge (vers une limite finie), sans connaître sa limite ? La notion de suite de Cauchy répond à cette question. Elle traduit l'idée intuitive que les termes d'une suite convergente doivent être proches les uns des autres à partir d'un certain rang.

Définition 10   Soit $(u_n)$ une suite de réels. On dit que $(u_n)$ est une suite de Cauchy si pour tout $\varepsilon >0$ les distances entre termes $\vert u_{n+k}-u_n\vert$ sont inférieures à $\varepsilon$ à partir d'un certain rang :

$$\forall \varepsilon >0 ,\;\exists n_0 ,\;\forall n\geqslant n_0... ...\forall k\in\mathbb{N}\;,\quad \vert u_{n+k}-u_n\vert\leqslant \varepsilon \;.$$

Il n'est pas surprenant qu'une suite convergente soit une suite de Cauchy.

Théorème 7   Si une suite de réels converge vers une limite finie, alors c'est une suite de Cauchy.

Démonstration : En utilisant l'inégalité triangulaire, écrivons :

$$\vert u_{n+k}-u_n\vert=\vert u_{n+k}-l+l-u_n\vert\leqslant \vert u_{n+k}-l\vert+\vert l-u_n\vert\;.$$

Fixons $\varepsilon >0$. Il existe un entier $n_0$ à partir duquel $\vert u_n-l\vert<\varepsilon /2$, donc aussi $\vert u_{n+k}-l\vert\leqslant \varepsilon /2$. On a donc, pour tout $n\geqslant n_0$ et pour tout $k\in \mathbb{N}$ :

$$\vert u_{n+k}-u_n\vert\leqslant \vert u_{n+k}-l\vert+\vert l-u_n\vert \leqslant \frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon \;.$$

$\square$

L'intérêt de cette notion est qu'elle caractérise les suites réelles convergentes : la réciproque du théorème précédent est vraie dans $\mathbb{R}$.

Théorème 8   Dans $\mathbb{R}$, toute suite de Cauchy converge.

Nous donnerons une démonstration de ce théorème en complément du cours (section 3.2).