Comparaison de suites

Le résultat de base pour comparer deux suites est le suivant.

Théorème 3   Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de réels convergentes. Si pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n\leqslant v_n$, alors :

$$\lim_{n\rightarrow\infty}u_n \leqslant \lim_{n\rightarrow\infty}v_n\;.$$

Démonstration : Supposons $\lim u_n> \lim v_n$. Alors la limite de la suite $(u_n-v_n)$ est strictement positive. Notons $l$ cette limite. Pour $n$ assez grand, $u_n-v_n\in [\frac{l}{2},\frac{3l}{2}]$, donc $u_n-v_n>0$, ce qui contredit l'hypothèse.$\square$

Observons que la conclusion reste vraie si au lieu d'être comparables pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n$ et $v_n$ le sont «à partir d'un certain rang». Ceci vaut d'ailleurs pour tous les résultats de cette section. Par contre le fait de supposer $u_n<v_n$ implique seulement $\lim u_n\leqslant \lim v_n$ : bien que $1/n<2/n$, les deux suites $(1/n)$ et $(2/n)$ ont la même limite. Le théorème 3 ne permet pas de démontrer que l'une des deux suites $(u_n)$ ou $(v_n)$ converge. Pour cela, on utilise souvent le résultat suivant.

Théorème 4   Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de réels telles que $(v_n)$ tend vers 0. Si pour tout $n\in \mathbb{N}$, $\vert u_n\vert\leqslant \vert v_n\vert$, alors $u_n$ tend vers 0.

Démonstration : Pour tout $\varepsilon >0$, il existe $n_0$ tel que pour $n>n_0$ :

$$\vert u_n\vert\leqslant \vert v_n\vert\leqslant \varepsilon \;,$$

d'où le résultat.$\square$

On en déduit le corollaire suivant que l'on trouve dans certains livres sous le nom de «théorème des gendarmes».

Corollaire 1   Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites de réels telles que $(u_n)$ et $(w_n)$ convergent vers la même limite $l$, et pour tout $n\in \mathbb{N}$,

$$u_n\leqslant v_n\leqslant w_n\;.$$

alors $(v_n)$ converge vers $l$.

Démonstration : Il suffit d'appliquer le théorème 4 aux deux suites $(w_n-v_n)$ et $(w_n-u_n)$. $\square$

Voici un exemple d'application. Soit

$$u_n=\frac{n+(-1)^n}{n+2}\;.$$

Comme $(-1)^n$ vaut $+1$ ou $-1$, on a l'encadrement suivant.

$$\frac{n-1}{n+2}\leqslant u_n\leqslant \frac{n+1}{n+2}\;.$$

Les deux bornes de cette double inégalité tendent vers $1$, donc $\lim u_n=1$. La comparaison vaut aussi pour les limites infinies.

Théorème 5   Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de réels telles que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n\leqslant v_n$.

1. Si $u_n$ tend vers $+\infty$ alors $v_n$ tend vers $+\infty$.
2. Si $v_n$ tend vers $-\infty$ alors $u_n$ tend vers $-\infty$.

Démonstration : Pour tout $A$, il existe $n_0$ tel que pour $n\geqslant n_0$ :

$$v_n\geqslant u_n\geqslant A\;,$$

donc $v_n$ tend vers $+\infty$ si $u_n$ tend vers $+\infty$. La démonstration de l'autre affirmation est analogue.$\square$

On dispose d'un vocabulaire adapté à la comparaison des suites.

Définition 9   Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de réels.

1. On dit que la suite $(u_n)$ est dominée par la suite $(v_n)$ si :
   $$\exists M\in\mathbb{R} ,\; \forall n\in\mathbb{N}\;,\quad \vert u_n\vert\leqslant M\vert v_n\vert\;.$$
   On écrit $u_n=O(v_n)$, qui se lit «$u_n$ est un grand O de $v_n$».
2. On dit que la suite $(u_n)$ est négligeable devant la suite $(v_n)$ si :
   $$\forall \varepsilon >0 ,\;\exists n_0 ,\; \forall n\geqslant n_0\;,\quad \vert u_n\vert\leqslant \varepsilon \vert v_n\vert\;.$$
   On écrit $u_n=o(v_n)$, qui se lit «$u_n$ est un petit o de $v_n$».
3. On dit que la suite $(u_n)$ est équivalente à la suite $(v_n)$ si :
   $$\forall \varepsilon >0 ,\;\exists n_0 ,\; \forall n\geqslant n_0 \;,\quad \vert u_n-v_n\vert\leqslant \varepsilon \vert v_n\vert\;.$$
   On écrit $u_n\sim v_n$, qui se lit «$u_n$ est équivalent à $v_n$».

Très souvent, on appliquera ces définitions pour une suite $(v_n)$ non nulle ; dans ce cas, la comparaison se lit sur le rapport $u_n/v_n$.

Proposition 3   Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de réels. On suppose que les $v_n$ sont tous non nuls. Alors :

1. $(u_n)$ est dominée par $(v_n)$ si et seulement si $(u_n/v_n)$ est bornée :
   $$\exists M\in\mathbb{R} ,\; \forall n\in\mathbb{N}\;,\quad \left\vert\frac{u_n}{v_n}\right\vert\leqslant M\;.$$

2. $(u_n)$ est négligeable devant $(v_n)$ si et seulement si $(u_n/v_n)$ tend vers 0 :
   $$\forall \varepsilon >0 ,\;\exists n_0 ,\; \forall n\geqslant n_0\;,\quad \left\vert\frac{u_n}{v_n}\right\vert\leqslant \varepsilon \;.$$

3. $(u_n)$ est équivalente à $(v_n)$ si et seulement si $(u_n/v_n)$ tend vers $1$ :
   $$\forall \varepsilon >0 ,\;\exists n_0 ,\; \forall n\geqslant n_0 \;,\quad \left\vert\frac{u_n}{v_n}-1\right\vert\leqslant \varepsilon \;.$$

Par exemple :

$$\sqrt{4n^2+1}=O(n)\;,\; \sqrt{4n^2+1}=o(n^2)\;,\; \sqrt{4n^2+1}\sim 2n\;.$$

L'équivalent de $n!$ donné par la formule de Stirling est souvent utile :

$$n!\;\sim\;\left(\frac{n}{\mathrm{e}}\right)^n\sqrt{2\pi n}\;.$$

Observons que $u_n=o(v_n)$ entraîne $u_n+v_n\sim v_n$, ce qui permet de calculer les équivalents de toutes les fonctions polynomiales de $n$. Les équivalents sont souvent utilisés pour le calcul de limites de produits ou de quotients, car si $u_n\sim v_n$, et $u'_n\sim v'_n$ alors $u_nu'_n\sim v_nv'_n$. Voici un exemple.

$$u_n = \frac{\sqrt{n^2+n+1}}{\sqrt[3]{8n^3+n^2}}\;.$$

Comme $1+n=o(n^2)$, $n^2+n+1\sim n^2$, donc $\sqrt{n^2+n+1}\sim n$. Pour le dénominateur, $\sqrt[3]{8n^3+n^2}\sim 2n$, donc $\lim u_n =1/2$.

Attention, il ne faut pas utiliser des équivalents pour des sommes. Par exemple :

$$u_n=n+(-1)^n\sim n$$   et$$\quad v_n=-n+(-1)^n\sim -n$$

Pourtant, $u_n+v_n$ n'est pas équivalent à 0. Voici trois résultats de comparaison de suites tendant vers l'infini, à connaître par cur.

Théorème 6   Soit $a$ un réel strictement positif et $r$ un réel strictement supérieur à $1$. Alors :

1. $r^n = o(n!)$ ;
2. $n^a = o(r^n)$ ;
3. $\ln(n)=o(n^a)$.

Démonstration : 

1. Ecrivons le rapport de $r^n$ à $n!$ comme suit.
   $$\frac{r^n}{n!} = \prod_{k=1}^n \frac{r}{k}\;.$$
   La suite $(r/k)_{k\in\mathbb{N}}$ tend vers 0. Donc il existe $k_0$ tel que pour tout $k\geqslant k_0$, $r/k\leqslant 1/2$. Donc pour $n\geqslant k_0$ :
   $$\frac{r^n}{n!}\leqslant \left(\prod_{k=1}^{k_0}\frac{r}{k}\right) \left(\frac{1}{2}\right)^{n-k_0}\;.$$
   La suite $(1/2)^{n-k_0}$ tend vers 0, d'où le résultat.
2. Posons $r=1+h$, avec $h>0$, et écrivons la formule du binôme de Newton :
   $$r^n = (1+h)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} h^k\;.$$
   Pour tout $k=1,\ldots,n$, on peut minorer $r^n$ par $\binom{n}{k}h^k$. Fixons $k=\lfloor a\rfloor+1$. Pour $n>2k$, le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ peut être minoré comme suit.
   $$\binom{n}{k} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}> \left(\frac{n}{2}\right)^k \frac{1}{k!}\;.$$
   Donc pour tout $n>2k$ :
   $$\frac{n^a}{r^n}<\left(\frac{2^k k!}{h^k}\right) \left(\frac{1}{n}\right)^{k-a}\;.$$
   Le membre de droite tend vers 0, car par définition $k=\lfloor a\rfloor +1>a$.
3. Pour tout $n>0$, posons :
   $$k_n = \lfloor \ln(n)\rfloor$$   et$$\quad \alpha_n = \ln(n)-k_n\;.$$
   La suite $(k_n)$ est une suite d'entiers qui tend vers l'infini, car $k_n> \ln(n)-1$. Les $\alpha_n$ sont des réels compris entre 0 et $1$. Ecrivons :
   $$\frac{\ln(n)}{n^a} = \frac{k_n+\alpha_n}{\mathrm{e}^{a(k_n+\alpha... ... \leqslant \frac{k_n}{(\mathrm{e}^a)^{k_n}}+ \frac{1}{(\mathrm{e}^a)^{k_n}}\;.$$
   Dans le membre de droite, le premier terme peut-être vu comme une suite extraite de la suite $n/r^n$, avec $r=\mathrm{e}^a$. Nous avons vu que cette suite tend vers 0 au point 2. Donc toute suite extraite tend aussi vers 0. Le dénominateur du second terme tend vers l'infini. Donc $\ln(n)/n^a$ est majoré par la somme de deux suites qui convergent vers 0. D'où le résultat.

$\square$ Il est bon d'avoir en tête une échelle des «infiniment petits» et des «infiniment grands», c'est-à-dire des suites qui tendent vers 0 ou vers $+\infty$. Pour présenter ces échelles sous forme synthétique, nous utilisons la notation $u_n\ll v_n$, qui est équivalente à $u_n=o(v_n)$.

1. Infiniment petits 
   $$\frac{1}{n!} \ll \frac{1}{10^n} \ll \frac{1}{2^n} \ll \frac{1}{n^... ...{1}{n}\ll \frac{1}{\sqrt{n}} \ll\frac{1}{\ln(n)}\ll\frac{1}{\ln(\ln(n))}\ll 1$$

2. Infiniment grands 
   $$1\ll \ln(\ln(n))\ll \ln(n) \ll \sqrt{n}\ll n \ll n^2 \ll 2^n \ll 10^n \ll n!$$