Comparaison de suites

Le résultat de base pour comparer deux suites est le suivant.

Théorème 3 Soient et deux suites de réels convergentes. Si pour tout $n\in \mathbb{N}$ , $u_n\leqslant v_n$ , alors :

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}u_n \leqslant \lim_{n\rightarrow\infty}v_n\;.$

Démonstration : Supposons $\lim u_n> \lim v_n$ . Alors la limite de la suite

est strictement positive. Notons

cette limite. Pour

assez grand, $u_n-v_n\in [\frac{l}{2},\frac{3l}{2}]$ , donc

, ce qui contredit l'hypothèse. $\square$

Observons que la conclusion reste vraie si au lieu d'être comparables pour tout $n\in \mathbb{N}$ , et le sont «à partir d'un certain rang». Ceci vaut d'ailleurs pour tous les résultats de cette section. Par contre le fait de supposer implique seulement $\lim u_n\leqslant \lim v_n$ : bien que , les deux suites et ont la même limite. Le théorème 3 ne permet pas de démontrer que l'une des deux suites ou converge. Pour cela, on utilise souvent le résultat suivant.

Théorème 4 Soient et deux suites de réels telles que tend vers 0. Si pour tout $n\in \mathbb{N}$ , $\vert u_n\vert\leqslant \vert v_n\vert$ , alors tend vers 0.

Démonstration : Pour tout $\varepsilon >0$ , il existe

tel que pour

$\displaystyle \vert u_n\vert\leqslant \vert v_n\vert\leqslant \varepsilon \;,$

d'où le résultat. $\square$

On en déduit le corollaire suivant que l'on trouve dans certains livres sous le nom de «théorème des gendarmes».

Corollaire 1 Soient , et trois suites de réels telles que et convergent vers la même limite , et pour tout $n\in \mathbb{N}$ ,

$\displaystyle u_n\leqslant v_n\leqslant w_n\;.$

alors converge vers .

Démonstration : Il suffit d'appliquer le théorème 4 aux deux suites

. $\square$

Voici un exemple d'application. Soit

$\displaystyle u_n=\frac{n+(-1)^n}{n+2}\;.$

Comme

vaut

, on a l'encadrement suivant.

$\displaystyle \frac{n-1}{n+2}\leqslant u_n\leqslant \frac{n+1}{n+2}\;.$

Les deux bornes de cette double inégalité tendent vers

, donc $\lim u_n=1$ . La comparaison vaut aussi pour les limites infinies.

Théorème 5 Soient et deux suites de réels telles que pour tout $n\in \mathbb{N}$ , $u_n\leqslant v_n$ .

Si tend vers $+\infty$ alors tend vers $+\infty$ .
Si tend vers $-\infty$ alors tend vers $-\infty$ .

Démonstration : Pour tout

, il existe

tel que pour $n\geqslant n_0$ :

$\displaystyle v_n\geqslant u_n\geqslant A\;,$

donc

tend vers $+\infty$ si

tend vers $+\infty$ . La démonstration de l'autre affirmation est analogue. $\square$

On dispose d'un vocabulaire adapté à la comparaison des suites.

Définition 9 Soient et deux suites de réels.

On dit que la suite est dominée par la suite si :

$\displaystyle \exists M\in\mathbb{R} ,\; \forall n\in\mathbb{N}\;,\quad \vert u_n\vert\leqslant M\vert v_n\vert\;.$
On écrit , qui se lit « est un grand O de ».
On dit que la suite est négligeable devant la suite si :

$\displaystyle \forall \varepsilon >0 ,\;\exists n_0 ,\; \forall n\geqslant n_0\;,\quad \vert u_n\vert\leqslant \varepsilon \vert v_n\vert\;.$
On écrit , qui se lit « est un petit o de ».
On dit que la suite est équivalente à la suite si :

$\displaystyle \forall \varepsilon >0 ,\;\exists n_0 ,\; \forall n\geqslant n_0 \;,\quad \vert u_n-v_n\vert\leqslant \varepsilon \vert v_n\vert\;.$
On écrit $u_n\sim v_n$ , qui se lit « est équivalent à ».

Très souvent, on appliquera ces définitions pour une suite

non nulle ; dans ce cas, la comparaison se lit sur le rapport

Proposition 3 Soient et deux suites de réels. On suppose que les sont tous non nuls. Alors :

est dominée par si et seulement si est bornée :

$\displaystyle \exists M\in\mathbb{R} ,\; \forall n\in\mathbb{N}\;,\quad \left\vert\frac{u_n}{v_n}\right\vert\leqslant M\;.$
est négligeable devant si et seulement si tend vers 0 :

$\displaystyle \forall \varepsilon >0 ,\;\exists n_0 ,\; \forall n\geqslant n_0\;,\quad \left\vert\frac{u_n}{v_n}\right\vert\leqslant \varepsilon \;.$
est équivalente à si et seulement si tend vers :

$\displaystyle \forall \varepsilon >0 ,\;\exists n_0 ,\; \forall n\geqslant n_0 \;,\quad \left\vert\frac{u_n}{v_n}-1\right\vert\leqslant \varepsilon \;.$

Par exemple :

$\displaystyle \sqrt{4n^2+1}=O(n)\;,\; \sqrt{4n^2+1}=o(n^2)\;,\; \sqrt{4n^2+1}\sim 2n\;.$

L'équivalent de

donné par la formule de Stirling est souvent utile :

$\displaystyle n!\;\sim\;\left(\frac{n}{\mathrm{e}}\right)^n\sqrt{2\pi n}\;.$

Observons que

entraîne $u_n+v_n\sim v_n$ , ce qui permet de calculer les équivalents de toutes les fonctions polynomiales de

. Les équivalents sont souvent utilisés pour le calcul de limites de produits ou de quotients, car si $u_n\sim v_n$ , et $u'_n\sim v'_n$ alors $u_nu'_n\sim v_nv'_n$ . Voici un exemple.

$\displaystyle u_n = \frac{\sqrt{n^2+n+1}}{\sqrt[3]{8n^3+n^2}}\;.$

Comme

, $n^2+n+1\sim n^2$ , donc $\sqrt{n^2+n+1}\sim n$ . Pour le dénominateur, $\sqrt[3]{8n^3+n^2}\sim 2n$ , donc $\lim u_n =1/2$ .

Attention, il ne faut pas utiliser des équivalents pour des sommes. Par exemple :

$\displaystyle u_n=n+(-1)^n\sim n$ et $\displaystyle \quad v_n=-n+(-1)^n\sim -n$

Pourtant,

n'est pas équivalent à 0. Voici trois résultats de comparaison de suites tendant vers l'infini, à connaître par c $\oe$ ur.

Théorème 6 Soit un réel strictement positif et un réel strictement supérieur à . Alors :

;
;
$\ln(n)=o(n^a)$ .

Démonstration :

Ecrivons le rapport de à comme suit.

$\displaystyle \frac{r^n}{n!} = \prod_{k=1}^n \frac{r}{k}\;.$
La suite $(r/k)_{k\in\mathbb{N}}$ tend vers 0. Donc il existe tel que pour tout $k\geqslant k_0$ , $r/k\leqslant 1/2$ . Donc pour $n\geqslant k_0$ :

$\displaystyle \frac{r^n}{n!}\leqslant \left(\prod_{k=1}^{k_0}\frac{r}{k}\right) \left(\frac{1}{2}\right)^{n-k_0}\;.$
La suite $(1/2)^{n-k_0}$ tend vers 0, d'où le résultat.
Posons , avec , et écrivons la formule du binôme de Newton :

$\displaystyle r^n = (1+h)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} h^k\;.$
Pour tout $k=1,\ldots,n$ , on peut minorer par $\binom{n}{k}h^k$ . Fixons $k=\lfloor a\rfloor+1$ . Pour , le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ peut être minoré comme suit.

$\displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}> \left(\frac{n}{2}\right)^k \frac{1}{k!}\;.$
Donc pour tout :

$\displaystyle \frac{n^a}{r^n}<\left(\frac{2^k k!}{h^k}\right) \left(\frac{1}{n}\right)^{k-a}\;.$
Le membre de droite tend vers 0, car par définition $k=\lfloor a\rfloor +1>a$ .
Pour tout , posons :

$\displaystyle k_n = \lfloor \ln(n)\rfloor$ et $\displaystyle \quad \alpha_n = \ln(n)-k_n\;.$
La suite est une suite d'entiers qui tend vers l'infini, car $k_n> \ln(n)-1$ . Les $\alpha_n$ sont des réels compris entre 0 et . Ecrivons :

$\displaystyle \frac{\ln(n)}{n^a} = \frac{k_n+\alpha_n}{\mathrm{e}^{a(k_n+\alpha... ... \leqslant \frac{k_n}{(\mathrm{e}^a)^{k_n}}+ \frac{1}{(\mathrm{e}^a)^{k_n}}\;.$
Dans le membre de droite, le premier terme peut-être vu comme une suite extraite de la suite , avec $r=\mathrm{e}^a$ . Nous avons vu que cette suite tend vers 0 au point 2. Donc toute suite extraite tend aussi vers 0. Le dénominateur du second terme tend vers l'infini. Donc $\ln(n)/n^a$ est majoré par la somme de deux suites qui convergent vers 0. D'où le résultat.

$\square$ Il est bon d'avoir en tête une échelle des «infiniment petits» et des «infiniment grands», c'est-à-dire des suites qui tendent vers 0 ou vers $+\infty$ . Pour présenter ces échelles sous forme synthétique, nous utilisons la notation $u_n\ll v_n$ , qui est équivalente à

Infiniment petits

$\displaystyle \frac{1}{n!} \ll \frac{1}{10^n} \ll \frac{1}{2^n} \ll \frac{1}{n^... ...{1}{n}\ll \frac{1}{\sqrt{n}} \ll\frac{1}{\ln(n)}\ll\frac{1}{\ln(\ln(n))}\ll 1$
Infiniment grands

$\displaystyle 1\ll \ln(\ln(n))\ll \ln(n) \ll \sqrt{n}\ll n \ll n^2 \ll 2^n \ll 10^n \ll n!$