Produit vectoriel

Nous utilisons à nouveau les déterminants. La définition 5 semble dépendre du choix d'une base particulière. Nous ne considérons ici que des bases orthonormées. Observons que Det$_{{\cal B}}(\vec{u},\vec{v})$ est le produit scalaire du vecteur $\vec{u}$ par le vecteur $\vec{v}'$, de coordonnées $(y_2,-x_2)$. Or $\vec{v}'$ est l'un des deux vecteurs orthogonaux à $\vec{v}$, de même norme que $\vec{v}$. La proposition 8 montre que le produit scalaire, et donc l'orthogonalité et la norme ne dépendent pas de la base orthonormée dans laquelle on écrit les vecteurs. Ceci entraîne que le calcul de Det$_{{\cal B}'}(\vec{u},\vec{v})$ donnera soit le même résultat, soit l'opposé, si on exprime les vecteurs dans une autre base orthonormée ${\cal B}'$. Ceci permet de définir l'orientation du plan, à partir d'une seule base de référence. Nous supposons désormais que le plan est muni d'une base orthonormée ${\cal B}$, et nous omettons l'indice ${\cal B}$ dans l'écriture des déterminants.

Définition 15   Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non colinéaires. On dit du couple $(\vec{u},\vec{v})$ qu'il est une base directe si $\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec{u},\vec{v})>0$.

Observons que si $(\vec{u},\vec{v})$ est une base directe, alors $(\vec{v},\vec{u})$ ne l'est pas, d'après le point b) de la proposition 2.

La valeur du déterminant s'interprète géométriquement grâce à la formule suivante, qui se déduit immédiatement de (9).

   Det$$(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}) =d(O,A)d(O,B)\sin(\widehat{AOB})\;.$$

On en déduit que la valeur absolue du déterminant est l'aire du parallélogramme de sommets $O,A,B,A+\overrightarrow{OB}$ (figure 6).

Figure 6: La valeur absolue du déterminant est l'aire du parallélogramme.

Nous avons déjà rencontré des déterminants pour établir l'équation implicite d'un plan dans l'espace.

Définition 16   Dans un espace affine de dimension $3$ muni d'un repère orthonormé, considérons deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$. On appelle produit vectoriel de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et on note $\vec{u}\wedge \vec{v}$, le vecteur de coordonnées $a,b,c$ définies par:

$$a=y_uz_v -y_vz_u \;,\quad b=z_ux_v -z_vx_u \;,\quad c=x_uy_v -x_vy_u\;.$$

Pour calculer le produit vectoriel $\vec{u}\wedge \vec{v}$, retenez que sa première coordonnée est le déterminant des deux dernières coordonnées de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, puis écrivez les deux coordonnées suivantes en permutant deux fois circulairement $x\rightarrow y\rightarrow z\rightarrow x$.

Les propriétés du produit vectoriel en dimension $3$ rappellent celles du déterminant en dimension $2$.

Proposition 12    

1. Le produit vectoriel est changé en son opposé si on permute les deux vecteurs
   $$\forall \vec{u},\vec{v} \in E\;,\quad \vec{u}\wedge \vec{v}= -\vec{v}\wedge\vec{u}\;;$$

2. le produit vectoriel est bilinéaire
   $$\forall \vec{u},\vec{v},\vec{w} \in E ,\;\forall\lambda,\mu\in\mathbb{R}\;,$$
   $$\vec{u}\wedge (\lambda\vec{v}+\mu\vec{w}) =\lambda \vec{u}\wedge\vec{v} +\mu \vec{u}\wedge\vec{w}\;;$$
   $$(\lambda\vec{u}+\mu \vec{v})\wedge\vec{w} =\lambda \vec{u}\wedge\vec{w} +\mu \vec{v}\wedge\vec{w}\;;$$

3. Le produit vectoriel $\vec{u}\wedge \vec{v}$ est le vecteur nul si et seulement si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

Nous avons déjà observé que le vecteur $\vec{u}\wedge \vec{v}$ est orthogonal à $\vec{u}$ et $\vec{v}$ (lemme 1). Sa norme est la surface du parallélogramme construit à partir des deux vecteurs (cf. figure 6). Passons maintenant à la dimension $3$. Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $3$ muni d'une base orthonormée ${\cal B}=(\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$. Nous continuons à omettre l'indice ${\cal B}$ dans l'écriture des déterminants. La proposition suivante consiste simplement à écrire la définition 6 à l'aide des produits scalaire et vectoriel.

Proposition 13   Soient $\vec{u},\vec{v},\vec{w}$ trois vecteurs. Le déterminant de $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ est :

$$\mathrm{Det}(\vec{u},\vec{v},\vec{w})= \vec{u}\cdot (\vec{v}\wedge\vec{w})\;.$$

L'expression Det$(\vec{u},\vec{v},\vec{w})= \vec{u}\cdot (\vec{v}\wedge\vec{w})$ permet de donner une interprétation géométrique du déterminant en dimension $3$, analogue à la dimension $2$: la valeur absolue du déterminant de $3$ vecteurs $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$ est le volume du parallélépipède de sommets $O$, $A$, $B$, $C$, $A+\overrightarrow{OB}$, $A+\overrightarrow{OC}$, $B+\overrightarrow{OC}$, $A+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ (figure 7). Le signe est positif si les $3$ vecteurs sont orientés dans le sens direct (comme sur la figure 7), négatif s'il est orienté dans le sens indirect (rappelons que le déterminant change de signe si on permute $2$ des $3$ vecteurs). Le signe du déterminant permet donc d'orienter une base quelconque, par rapport à une base de référence. L'orientation de la base de référence se fait selon la règle du bonhomme d'Ampère, autrement nommé tire-bouchon de Maxwell.

Définition 17   Soit ${\cal E}$ un espace vectoriel de dimension $3$, muni d'une base $(\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$. Soient $\vec{u},\vec{v},\vec{w}$ trois vecteurs non coplanaires. On dit du triplet $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ qu'il est une base directe si ${\rm Det}(\vec{u},\vec{v},\vec{w})>0$.

Figure 7: La valeur absolue du déterminant est le volume du parallélépipède.