Systèmes de coordonnées

En dimension $2$, il faut voir un système de coordonnées comme une application de l'ensemble des couples de réels $\mathbb{R}^2$ (ou un de ses sous-ensembles) vers l'ensemble des points du plan: à un couple de réels l'application associe un point du plan et un seul. Moyennant le choix d'un repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$, l'application qui à un couple de réels $(x,y)$ associe le point $A$ du plan tel que :

$$\overrightarrow{OA} = x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}\;,$$

est une application de $\mathbb{R}^2$ vers le plan. Cette application est bijective: à tout point du plan correspond un unique couple de réels.

De même dans un espace de dimension $3$ muni d'un repère $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$, l'application qui à un triplet de réels $(x,y,z)$ associe le point $A$ tel que :

$$\overrightarrow{OA} = x\vec{\imath}+ y\vec{\jmath}+z\vec{k}\;,$$

est une bijection de $\mathbb{R}^3$ vers l'espace. Ces applications sont les systèmes de coordonnées cartésiennes.

On rencontre souvent en physique des situations où les calculs s'effectuent plus simplement en utilisant d'autres systèmes de coordonnées. Nous allons présenter les plus courants: les coordonnées polaires dans le plan, les coordonnées cylindriques et sphériques en dimension $3$. Elles sont définies par référence aux coordonnées cartésiennes. Les coordonnées polaires sont la traduction géométrique de la forme trigonométrique des nombres complexes. Supposons le plan muni d'un repère $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$. Voici l'application qui aux coordonnées polaires associe les coordonnées cartésiennes (figure 8).

$$\begin{array}{ccl} \mathbb{R}^+\times [0,2\pi[&\longrightarr... ...(x,y)\\ &&x=\rho\cos\theta ,\;y=\rho\sin\theta\;. \end{array}$$

Les réels $\rho$ et $\theta$ sont le module et l'argument de l'affixe du point de coordonnées cartésiennes $(x,y)$: $\rho$ est la distance de l'origine au point et $\theta$ est l'angle orienté entre le vecteur $\vec{\imath}$ et le vecteur $\overrightarrow{A}$. Observons que l'application ainsi définie n'est pas (tout à fait) bijective: tout couple $(x,y)$ a un antécédent unique, sauf $(0,0)$ qui a pour antécédents tous les couples $(0,\theta)$. Si on la restreint aux valeurs de $\rho$ strictement positives, l'application définie ci-dessus est bien une bijection de $]0,+\infty[\times [0,2\pi[$ vers le plan privé de l'origine.

Figure 8: Coordonnées polaires d'un point du plan.

Les coordonnées cylindriques remplacent les deux premières des trois coordonnées cartésiennes par les coordonnées polaires correspondantes, en conservant la troisième (figure 9)

$$\begin{array}{ccl} \mathbb{R}^+\times [0,2\pi[\times \mathbb... ...,y,z)\\ &&x=\rho\cos\theta ,\;y=\rho\sin\theta\;. \end{array}$$

Cette application n'est toujours pas une bijection, puisque l'image réciproque de $(0,0,z)$ est l'ensemble des triplets de la forme $(0,\theta,z)$, $\theta\in[0,2\pi[$.

Figure 9: Coordonnées cylindriques d'un point de l'espace.

Les coordonnées sphériques suivent la même logique que les coordonnées polaires: la première des trois est la distance de l'origine au point. Les deux autres sont deux angles, correspondant à la longitude et la co-latitude terrestres (figure 10).

$$\begin{array}{ccl} \mathbb{R}^+\times [0,2\pi[\times [0,\pi]... ...phi ,\;y=r\sin\theta\sin\phi ,\;z=r\cos\theta\;. \end{array}$$

Figure 10: Coordonnées sphériques d'un point de l'espace.

Cette application n'est pas plus bijective que les précédentes (la latitude et la longitude ne sont pas définies de façon unique au centre de la terre).