Déterminants

Dans cette section, nous définissons la notion de déterminant, puis nous en déduisons un critère pratique pour reconnaître une base, dans un espace vectoriel de dimension 2 ou 3. Nous commençons par la dimension 2.

Définition 5   Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $2$ et soit ${\cal B}=(\vec{\imath},\vec{\jmath} )$ une base de $E$. Soient $\vec{u}=x_1\vec{\imath}+y_1\vec{\jmath}$ et $\vec{v}=x_2\vec{\imath}+y_2\vec{\jmath}$ des éléments de $E$. On appelle déterminant de $(\vec{u},\vec{v})$ dans la base ${\cal B}$ le nombre réel :

$$\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec{u},\vec{v})=\left\vert\begin{matrix} x_1&x_2\\ y_1&y_2 \end{matrix}\right\vert =x_1y_2-y_1x_2\;.$$

Proposition 2   Soit ${\cal B}=(\vec{\imath},\vec{\jmath} )$ une base de $E$. Le déterminant vérifie les assertions suivantes:

1. Pour tout vecteur $\vec{u}$ de $E$,
   $$\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec{u},\vec{u})=0\;.$$

2. Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ de $E$,
   $$\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec{u},\vec{v}) =-\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec{v},\vec{u})\;.$$

3. Soient $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ des éléments de $E$, $\lambda$ et $\mu$ des nombres réels.
   

   $$\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec{u},\lambda\vec{v}+\mu\vec{w}) = \lambda\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec{u},\vec{v}) +\mu\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec{u},\vec{w}),$$

   $$\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\lambda\vec{u}+\mu\vec{v},\vec{w}) = \lambda\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec{u},\vec{w}) +\mu\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec{v},\vec{w});$$

   
   
4. Si ${\cal B}'=(\vec{\imath}',\vec{\jmath}')$ est une base de $E$, alors :
   $$\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec{u},\vec{v})= \mathrm{Det}_{{\cal B}'}(\vec{u},\vec{v}) \mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec{\imath}',\vec{\jmath}' )\;.$$

Démonstration : Soient $x_1$ et $y_1$ deux réels.

$$\left\vert\begin{matrix} x_1&x_1\\ y_1&y_1 \end{matrix}\right\vert= x_1y_1-y_1x_1=0\;.$$

Donc, pour tout $\vec{u}$ de $E$, $\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec{u},\vec{u})=0$, ce qui démontre a). De même, la relation

$$\left\vert\begin{matrix} x_2&x_1\\ y_2&y_1 \end{matrix}\right\ve... ...y_1-y_2x_1=-\left\vert\begin{matrix} x_1&x_2\\ y_1&y_2 \end{matrix}\right\vert$$

entraîne l'assertion b).

Soient $x_1$, $x_2$, $x_3$, $y_1$, $y_2$, $y_3$, $\lambda$ et $\mu$ des nombres réels. L'assertion c) découle des égalités :

$$\left\vert\begin{matrix} x_1&\lambda x_2+\mu x_3\\ y_1&\lambda y_2+\mu y_3 \end{matrix}\right\vert = x_1(\lambda y_2+\mu y_3) -y_1(\lambda x_2+\mu x_3)$$

$$= \lambda(x_1y_2-y_1x_2) +\mu(x_1y_3-y_1x_3)$$

$$= \lambda \left\vert\begin{matrix} x_1&x_2\\ y_1&y_2 \end{matrix}\... ...vert+\mu \left\vert\begin{matrix} x_1&x_3\\ y_1&y_3 \end{matrix}\right\vert\;.$$

Reprenons les notations de l'assertion d). Soient $x_1'$, $y_1'$ (resp. $x_2'$, $y_2'$) les coordonnées de $\vec{u}$ (resp. $\vec{v}$) dans la base ${\cal B}'$.

$$\vec{u}=x'_1\vec{\imath}'+y'_1\vec{\jmath}'$$   et$$\quad \vec{v}=x'_2\vec{\imath}'+y'_2\vec{\jmath}'\;.$$

En appliquant c), b) et a) on obtient :

$$\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec{u},\vec{v}) = \mathrm{Det}_{{\cal B}}(x'_1\vec{\imath}'+y'_1\vec{\jmath}', x'_2\vec{\imath}'+y'_2\vec{\jmath}')$$

$$= x'_1\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec{\imath}',x'_2 \vec{\imath}'+y'_2... ...y'_1\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec{\jmath}',x'_2 \vec{\imath}'+y'_2\vec{\jmath}')$$

$$= x'_1y'_2\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec{\imath}',\vec{\jmath}') +y'_1x'_2\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec{\jmath}',\vec{\imath}')$$

$$= \mathrm{Det}_{{\cal B}'}(\vec{u},\vec{v}) \mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec{\imath}',\vec{\jmath}')\;.$$

$\square$

Corollaire 1   Soit ${\cal B}=(\vec{\imath},\vec{\jmath} )$ une base de $E$. Pour tous $\vec{u}$, $\vec{v}$ de $E$, $\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec{u},\vec{v})=0$ si et seulement si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires.

Démonstration : Si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires, alors il existe $\lambda\in\mathbb{R}$ tel que $\vec u=\lambda\vec v$ ou $\vec v=\lambda\vec u$. Dans les deux cas, il résulte des assertions a) et c) de la proposition que $\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec u,\vec v)=0$.

Si $\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas colinéaires, alors la famille ${\cal B}'=(\vec u,\vec v)$ est une base de $E$. Par la relation d), on obtient que :

$$\mathrm{Det}_{{\cal B}'}(\vec\imath,\vec\jmath) \mathrm{Det}_{{\c... ...,\vec\jmath)=\left\vert \begin{matrix} 1&0\\ 0&1 \end{matrix}\right\vert=1\;.$$

Par conséquent, $\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec u,\vec v)\neq 0$.$\square$

Passons maintenant à la dimension 3. Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $3$ (par exemple $E=\mathbb{R}^3$). Soient $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$ des vecteurs de $E$. La famille $(\vec u,\vec v,\vec w)$ est liée si et seulement si les trois vecteurs sont coplanaires, ou encore si et seulement si un de ces vecteurs est une combinaison linéaire des deux autres.

Définition 6   Soit ${\cal B}=(\vec \imath,\vec \jmath,\vec k)$ une base de l'espace vectoriel $E$. Soient $\vec u_1$, $\vec u_2$ et $\vec u_3$ des vecteurs de $E$. Pour $i\in\{1,2,3\}$, on note $(x_i,y_i,z_i)$ des coordonnées de $\vec u_i$ dans la base ${\cal B}$. On appelle déterminant de $(\vec u_1,\vec u_2,\vec u_3)$ dans la base ${\cal B}$ le nombre réel :

$$\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec u_1,\vec u_2,\vec u_3) = \left\vert\begin{matrix} x_1&x_2&x_3\\ y_1&y_2&y_3\\ z_1&z_2&z_3 \end{matrix}\right\vert$$

$$= x_1y_2z_3+x_2y_3z_1+x_3y_1z_2 -z_1y_2x_3-z_2y_3x_1-z_3y_1x_2$$

$$= x_1\left\vert\begin{matrix} y_2&y_3\\ z_2&z_3 \end{matrix}\right... ... +z_1\left\vert\begin{matrix} x_2&x_3\\ y_2&y_3 \end{matrix}\right\vert\;\cdot$$

Pour calculer le déterminant de trois vecteurs, on peut utiliser la règle de Sarrus: on réécrit les deux premières lignes du déterminant en dessous de celui-ci, puis on effectue tous les produits en diagonale. On affecte du signe $+$ les diagonales descendantes, du signe $-$ les diagonales montantes, et on ajoute le tout (figure 2). Par exemple:

$$\left\vert \begin{array}{crc} 1&2&3\\ 2&-1&1\\ 3&-2&2 \end{array}\right\vert = +(-2)+(-12)+(+6)-(-9)-(-2)-(+8) = -5$$

Figure 2: Règle de Sarrus.

Proposition 3   Soit ${\cal B}=(\vec \imath,\vec \jmath,\vec k)$ une base de l'espace vectoriel $E$. Le déterminant de trois vecteurs de $E$ vérifie les assertions suivantes :

1. Soient $\vec u$ et $\vec v$ des éléments de $E$.
   $$\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec u,\vec u,\vec v) =\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec u,\vec v,\vec u) =\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec u,\vec v,\vec v)=0.$$

2. Soient $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$ des éléments de $E$.
   $$\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec u,\vec v,\vec w) =-\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec v,\vec u,\vec w) =\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec v,\vec w,\vec u).$$

3. Soient $\vec u$, $\vec v$, $\vec w$ et $\vec x$ des éléments de $E$, $\lambda$ et $\mu$ des nombres réels. Les relations suivantes sont vraies.
   

   $$\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\lambda\vec u+\mu\vec v,\vec w,\vec x) = \lambda\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec u,\vec w,\vec x) +\mu\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec v,\vec w,\vec x)$$

   $$\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec u,\lambda\vec v+\mu\vec w,\vec x) = \lambda\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec u,\vec v,\vec x) +\mu\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec u,\vec w,\vec x)$$

   $$\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec u,\vec v,\lambda\vec w+\mu\vec x) = \lambda\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec u,\vec v,\vec w) +\mu\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec u,\vec v,\vec x)\;.$$

   
   
4. Si ${\cal B}'=(\vec\imath',\vec\jmath',\vec k')$ est une base de $E$, alors pour tout triplet $(\vec u,\vec v,\vec w)$ de vecteurs de $E$,
   $$\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec u,\vec v,\vec w)= \mathrm{Det}_{{\ca... ... u,\vec v,\vec w) \mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec\imath',\vec\jmath',\vec k')\;.$$

Démonstration : Ces assertions se montrent par des calculs élémentaires comme dans le cas du déterminant de deux vecteurs.$\square$

Corollaire 2   Soit ${\cal B}=(\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec k)$ une base de $E$. Pour tout triplet $(\vec{u},\vec{v},\vec w)$ de vecteurs de $E$, $\mathrm{Det}_{{\cal B}}(\vec{u},\vec{v},\vec w)=0$ si et seulement si les vecteurs $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$ sont coplanaires.