Droites et plans

Cette section rappelle les équations des droites et des plans. Nous commençons par la dimension

, et considérons un plan affine ${\cal P}$ et son plan vectoriel associé

Soit un point de ${\cal P}$ et $\vec{u}$ un vecteur non nul de . La droite de vecteur directeur $\vec{u}$ passant par est l'ensemble des points $A+\lambda \vec{u}$ , où $\lambda$ parcourt $\mathbb{R}$ .

$\displaystyle {\cal D} = \{A+\lambda \vec{u} ,\;\lambda\in\mathbb{R}\}\;.$

Supposons le plan muni d'un repère $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$ . Notons

les coordonnées de

dans le repère $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$ ,

les coordonnées de $\vec{u}$ dans la base $(\vec{\imath},\vec{\jmath})$ . Les coordonnées

de $M=A+\lambda\vec{u}$ sont :

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcl} x=x_A+\lambda x_u y=y_A+\lambda y_u\;. \end{array} \right.$

(2)

Les équations ci-dessus sont les équations paramétriques de la droite ${\cal D}$ . On obtient son équation implicite (on dit aussi «cartésienne») en notant que le point

appartient à la droite $\mathcal D$ si et seulement si les vecteurs $\vec {AM}$ et $\vec u$ sont colinéaires, ce qui se traduit, à l'aide du déterminant par l'équation :

$\displaystyle \left\vert\begin{matrix} x-x_A&x_u\\ y-y_A&y_u \end{matrix}\right\vert=0\;,$

c'est-à-dire :

$\displaystyle y_ux-x_uy-(y_ux_A-x_uy_A)=0\;.$

La proposition suivante montre que, réciproquement, toute équation de ce type définit bien une droite.

Proposition 7 Soient et deux réels, dont un au moins est non nul. Pour tout réel l'ensemble des points de coordonnées telles que :

$\displaystyle ax+by+c = 0\;,$

(3)

est une droite dont un vecteur directeur a pour coordonnées .

Démonstration : Sans perte de généralité, nous pouvons supposer $a\neq 0$ . Soit

un point dont les coordonnées

vérifient (3) (par exemple

). Nous devons démontrer que, pour tout point

dont les coordonnées vérifient (3), le vecteur $\overrightarrow{AM}$ et le vecteur $\vec{u}$ de coordonnées

sont colinéaires. Ecrivons :

$\begin{displaymath} \begin{array}{rrrcl} ax&+by&+c&=&0\\ ax_A&+by_A&+c&=&0\;, \end{array}\end{displaymath}$

et soustrayons les deux équations. On obtient:

$\displaystyle a(x-x_A)+b(y-y_A)=0\;.$

Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AM}$ sont

. Posons $\lambda = -a$ et $\mu=y-y_A$ . On vérifie que

$\displaystyle \lambda(x-x_A)+\mu(-b)=0$ et $\displaystyle \quad \lambda(y-y_A)+\mu(a) = 0\;,$

soit

$\displaystyle \lambda\overrightarrow{AM}+\mu \vec{u} = \vec{0}\;.$

Réciproquement, soit

un point tel que $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires. Soient

les coordonnées de

: il existe un réel $\lambda$ tel que,

$\displaystyle x-x_A = -\lambda b$ et $\displaystyle \quad y-y_A=\lambda a\;.$

Ceci entraîne:

$\displaystyle a(x-x_A)+b(y-y_A)=0\;,$

et donc :

$\displaystyle ax+by+c=0\;.$

$\square$

En dimension un plan est déterminé par un point et deux vecteurs $\vec{u},\vec{v}$ non colinéaires.

$\displaystyle {\cal P} = \{ A+\lambda\vec{u}+\mu\vec{v} ,\;\lambda,\mu\in\mathbb{R} \}\;.$

Soit $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$ un repère de l'espace. Les trois coordonnées d'un point du plan ${\cal P}$ s'écrivent :

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcl} x=x_A+\lambda x_u+\mu x_v y=y_A+\lambda y_u+\mu y_v z=z_A+\lambda z_u+\mu z_v\;. \end{array} \right.$

(4)

Ce sont les équations paramétriques du plan ${\cal P}$ . Pour obtenir son équation implicite, il faut éliminer $\lambda$ et $\mu$ dans les équations paramétriques. C'est moins facile qu'en dimension

. L'expression des trois coefficients

ci-dessous peut paraître arbitraire, mais vous y reconnaîtrez en fait trois déterminants. Nous expliquerons plus loin leur sens mathématique.

$\displaystyle a=y_uz_v -y_vz_u \;,\quad b=z_ux_v -z_vx_u \;,\quad c=x_uy_v -x_vy_u\;.$

(5)

Lemme 1 Pour tous réels , si sont définis par (5), alors :

$\displaystyle ax_u+by_u +cz_u=0$ et $\displaystyle \quad ax_v+by_v +cz_v=0\;.$

(6)

Démonstration : La vérification, laissée au lecteur, est un peu fastidieuse, mais elle ne présente aucune difficulté. $\square$

Multiplions les équations paramétriques (4) respectivement par , et , et ajoutons les trois: d'après le lemme 1 $\lambda$ et $\mu$ disparaissent et on obtient :

$\displaystyle ax+by+cz-(ax_A+by_A+cz_A)=0\;.$

Réciproquement, toute équation du type

définit bien un plan, que nous caractériserons à la section suivante.

En dimension , les équations paramétriques de la droite

$\displaystyle {\cal D}=\{ A+\lambda \vec{u} ,\;\lambda\in\mathbb{R} \}\;,$

sont sans surprise:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcl} x=x_A+\lambda x_u y=y_A+\lambda y_u z=z_A+\lambda z_u\;. \end{array} \right.$

(7)

Pour éliminer $\lambda$ et obtenir des équations implicites, nous pouvons appliquer la technique déjà utilisée en dimension

, par exemple aux deux premières équations, ensuite aux deux dernières. Voici le résultat.

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l} y_u x-x_u y -(y_ux_A- x_uy_A)=0\\ z_u y-y_u z -(z_uy_A- y_uz_A)=0\;. \end{array}\right. \end{displaymath}$

Les deux équations obtenues sont les équations de deux plans dont la droite ${\cal D}$ est l'intersection. Evidemment elles n'ont rien d'uniques. Il existe une infinité de manières d'exprimer une droite comme intersection de deux plans.