Droites et plans

Cette section rappelle les équations des droites et des plans. Nous commençons par la dimension $2$, et considérons un plan affine ${\cal P}$ et son plan vectoriel associé $P$.

Soit $A$ un point de ${\cal P}$ et $\vec{u}$ un vecteur non nul de $P$. La droite de vecteur directeur $\vec{u}$ passant par $A$ est l'ensemble des points $A+\lambda \vec{u}$, où $\lambda$ parcourt $\mathbb{R}$.

$${\cal D} = \{A+\lambda \vec{u} ,\;\lambda\in\mathbb{R}\}\;.$$

Supposons le plan muni d'un repère $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$. Notons $x_A$ et $y_A$ les coordonnées de $A$ dans le repère $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$, $x_u$ et $y_u$ les coordonnées de $\vec{u}$ dans la base $(\vec{\imath},\vec{\jmath})$. Les coordonnées $x,y$ de $M=A+\lambda\vec{u}$ sont :

$$\left\{ \begin{array}{lcl} x=x_A+\lambda x_u y=y_A+\lambda y_u\;. \end{array} \right.$$ (2)

Les équations ci-dessus sont les équations paramétriques de la droite ${\cal D}$. On obtient son équation implicite (on dit aussi «cartésienne») en notant que le point $M$ appartient à la droite $\mathcal D$ si et seulement si les vecteurs $\vec {AM}$ et $\vec u$ sont colinéaires, ce qui se traduit, à l'aide du déterminant par l'équation :

$$\left\vert\begin{matrix} x-x_A&x_u\\ y-y_A&y_u \end{matrix}\right\vert=0\;,$$

c'est-à-dire :

$$y_ux-x_uy-(y_ux_A-x_uy_A)=0\;.$$

La proposition suivante montre que, réciproquement, toute équation de ce type définit bien une droite.

Proposition 7   Soient $a$ et $b$ deux réels, dont un au moins est non nul. Pour tout réel $c$ l'ensemble des points de coordonnées $(x,y)$ telles que :

$$ax+by+c = 0\;,$$ (3)

est une droite dont un vecteur directeur a pour coordonnées $(-b,a)$.

Démonstration : Sans perte de généralité, nous pouvons supposer $a\neq 0$. Soit $A$ un point dont les coordonnées $(x_A,y_A)$ vérifient (3) (par exemple $x_A=-c/a$ et $y_A=0$). Nous devons démontrer que, pour tout point $M$ dont les coordonnées vérifient (3), le vecteur $\overrightarrow{AM}$ et le vecteur $\vec{u}$ de coordonnées $(-b,a)$ sont colinéaires. Ecrivons :

$$\begin{array}{rrrcl} ax&+by&+c&=&0\\ ax_A&+by_A&+c&=&0\;, \end{array}$$

et soustrayons les deux équations. On obtient:

$$a(x-x_A)+b(y-y_A)=0\;.$$

Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AM}$ sont $(x-x_A,y-y_A)$. Posons $\lambda = -a$ et $\mu=y-y_A$. On vérifie que

$$\lambda(x-x_A)+\mu(-b)=0$$   et$$\quad \lambda(y-y_A)+\mu(a) = 0\;,$$

soit

$$\lambda\overrightarrow{AM}+\mu \vec{u} = \vec{0}\;.$$

Réciproquement, soit $M$ un point tel que $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires. Soient $x$ et $y$ les coordonnées de $M$: il existe un réel $\lambda$ tel que,

$$x-x_A = -\lambda b$$   et$$\quad y-y_A=\lambda a\;.$$

Ceci entraîne:

$$a(x-x_A)+b(y-y_A)=0\;,$$

et donc :

$$ax+by+c=0\;.$$

$\square$

En dimension $3$ un plan est déterminé par un point $A$ et deux vecteurs $\vec{u},\vec{v}$ non colinéaires.

$${\cal P} = \{ A+\lambda\vec{u}+\mu\vec{v} ,\;\lambda,\mu\in\mathbb{R} \}\;.$$

Soit $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$ un repère de l'espace. Les trois coordonnées d'un point du plan ${\cal P}$ s'écrivent :

$$\left\{ \begin{array}{lcl} x=x_A+\lambda x_u+\mu x_v y=y_A+\lambda y_u+\mu y_v z=z_A+\lambda z_u+\mu z_v\;. \end{array} \right.$$ (4)

Ce sont les équations paramétriques du plan ${\cal P}$. Pour obtenir son équation implicite, il faut éliminer $\lambda$ et $\mu$ dans les équations paramétriques. C'est moins facile qu'en dimension $2$. L'expression des trois coefficients $a,b,c$ ci-dessous peut paraître arbitraire, mais vous y reconnaîtrez en fait trois déterminants. Nous expliquerons plus loin leur sens mathématique.

$$a=y_uz_v -y_vz_u \;,\quad b=z_ux_v -z_vx_u \;,\quad c=x_uy_v -x_vy_u\;.$$ (5)

Lemme 1   Pour tous réels $x_u,y_y,z_u,x_v,y_v,z_v$, si $a,b,c$ sont définis par (5), alors :

$$ax_u+by_u +cz_u=0 \quad ax_v+by_v +cz_v=0\;.$$ (6)

Démonstration : La vérification, laissée au lecteur, est un peu fastidieuse, mais elle ne présente aucune difficulté.$\square$

Multiplions les équations paramétriques (4) respectivement par $a$, $b$ et $c$, et ajoutons les trois: d'après le lemme 1 $\lambda$ et $\mu$ disparaissent et on obtient :

$$ax+by+cz-(ax_A+by_A+cz_A)=0\;.$$

Réciproquement, toute équation du type $ax+by+cz+d=0$ définit bien un plan, que nous caractériserons à la section suivante.

En dimension $3$, les équations paramétriques de la droite

$${\cal D}=\{ A+\lambda \vec{u} ,\;\lambda\in\mathbb{R} \}\;,$$

sont sans surprise:

$$\left\{ \begin{array}{lcl} x=x_A+\lambda x_u y=y_A+\lambda y_u z=z_A+\lambda z_u\;. \end{array} \right.$$ (7)

Pour éliminer $\lambda$ et obtenir des équations implicites, nous pouvons appliquer la technique déjà utilisée en dimension $2$, par exemple aux deux premières équations, ensuite aux deux dernières. Voici le résultat.

$$\left\{ \begin{array}{l} y_u x-x_u y -(y_ux_A- x_uy_A)=0\\ z_u y-y_u z -(z_uy_A- y_uz_A)=0\;. \end{array}\right.$$

Les deux équations obtenues sont les équations de deux plans dont la droite ${\cal D}$ est l'intersection. Evidemment elles n'ont rien d'uniques. Il existe une infinité de manières d'exprimer une droite comme intersection de deux plans.