Continuité en un point

Une fonction $f$ est continue en $a$ quand elle admet $f(a)$ comme limite en $a$.

Définition 5   Soit $a$ un réel et $f$ une fonction définie au voisinage de $a$. On dit que $f$ est :

1. continue en $a$ si
   $$\lim_{x\rightarrow a} f(x)=f(a)$$
   soit :
   $$\forall \varepsilon >0 ,\;\exists \eta>0\;,\quad \vert x-a\vert\leqslant \eta \;\Longrightarrow \vert f(x)-f(a)\vert\leqslant\varepsilon$$

2. continue à gauche en $a$ si
   $$\lim_{x\rightarrow a-} f(x)=f(a)$$
   soit :
   $$\forall \varepsilon >0 ,\;\exists \eta>0\;,\quad 0\leqslant a-x\leqslant \eta \;\Longrightarrow \vert f(x)-f(a)\vert\leqslant\varepsilon$$

3. continue à droite en $a$ si
   $$\lim_{x\rightarrow a+} f(x)=f(a)$$
   soit :
   $$\forall \varepsilon >0 ,\;\exists \eta>0\;,\quad 0\leqslant x-a\leqslant \eta \;\Longrightarrow \vert f(x)-f(a)\vert\leqslant\varepsilon$$

Par exemple la fonction partie entière $x\mapsto \lfloor x\rfloor$ est continue en $a$ si $a$ n'est pas un entier. Elle est continue à droite (mais pas à gauche) en $a$ si $a$ est entier : voir figure 2.

On déduit du théorème 1 une caractérisation de la continuité en termes de suites.

Théorème 9   La fonction $f$ est continue en $a$, si et seulement si pour toute suite de réels $(x_n)$ telle que $\forall n ,\;x_n\in{\cal D}_f$ et convergeant vers $a$, la suite $(f(x_n))$ converge vers $f(a)$.

Observons que si une fonction est continue en un point, elle est nécessairement définie en ce point. Nous avons vu qu'une fonction $f$ pouvait admettre une limite en $a$, sans être définie en $a$. Si c'est le cas, on appelle prolongement par continuité de $f$ en $a$, la fonction $\overline{f}$, définie sur ${\cal D}_f\cup \{a\}$, et telle que

$$\forall x\in {\cal D}_f\;,\;\overline{f}(x)=f(x)$$   et$$\quad \overline{f}(a) = \lim_{x\rightarrow a} f(x)$$

Par exemple,

$$\begin{array}{rcl} &f&\\ \mathbb{R}^*&\longrightarrow&\mathbb{R}\\ x&\longmapsto&f(x)=x\sin(1/x) \end{array}$$

Cette fonction peut être prolongée par continuité en 0 :

$$\begin{array}{rcl} &\overline{f}&\\ \mathbb{R}&\longrightar... ...ox{ si } x\neq 0\\ 0&\longmapsto&\overline{f}(0)=0 \end{array}$$

Des théorèmes 2 et 3, on déduit que la somme, le produit, la composée de deux fonctions continues sont continues.

Théorème 10   Soient $f$ et $g$ deux fonctions. Soit $a$ un réel.

1. Si $f$ et $g$ sont continues en $a$, alors $f+g$ et $fg$ sont continues en $a$.
2. Si $f$ est continue en $a$ et $g$ est continue en $f(a)$, alors $g\circ f$ est continue en $a$.

Ce théorème permet de démontrer la continuité de toutes les fonctions que vous aurez à examiner, à condition d'admettre la continuité des «briques de base»  que sont les fonctions usuelles.

Toutes les fonctions usuelles sont continues en tout point où elles sont définies

Ceci concerne les fonctions puissances, exponentielle, logarithme, sinus, cosinus, mais exclut bien sûr la partie entière et la partie décimale.

À titre d'exemple, nous allons le démontrer pour la fonction $x\mapsto 1/x$.

Proposition 7   La fonction $f$ qui à $x$ associe $1/x$ est continue en tout point de $\mathbb{R}^*$.

Démonstration : Soit $a$ un réel non nul. Soit $\varepsilon >0$. Notons

$$\eta = \min\{\varepsilon a^2/2, \vert a\vert/2\}$$

Si $\vert x-a\vert\leqslant \eta$, alors $\vert x\vert\geqslant \vert a\vert/2$. Donc :

$$\left\vert \frac{1}{x}-\frac{1}{a}\right\vert=\frac{\vert x-a\vert}{\vert a\vert \vert x\vert}\leqslant \frac{\vert x-a\vert}{a^2/2}$$

Donc, $\vert x-a\vert\leqslant \eta$ entraîne $\vert f(x)-f(a)\vert\leqslant \varepsilon$.$\square$ Les fonctions constantes, ainsi que la fonction identité $x\mapsto x$ sont évidemment continues en tout point de $\mathbb{R}$. Du théorème 10, on déduit qu'il en est de même pour les fonctions polynômes. En utilisant la proposition 7, on obtient que toute fraction rationnelle (quotient de deux fonctions polynômes) est continue en tout point où son dénominateur ne s'annule pas.