Limites à connaître

Les limites étudiées dans cette section permettent de comparer exponentielles, logarithmes et puissances de

. Vous connaissez certainement déjà le comportement de ces fonctions au voisinage de 0 et de $+\infty$ .

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \ln(x) = \lim_{x\rightarrow +\infty} x = \lim_{x\rightarrow +\infty} \mathrm{e}^{x} = +\infty$

Vous connaissez sans doute aussi le résultat suivant.

Proposition 4 Soit un réel strictement positif.

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\mathrm{e}^{-bx} = 0\;.$

Démonstration : Posons $f(x)=\mathrm{e}^{-bx}$ . La fonction

est décroissante, donc elle admet une limite en $+\infty$ . Pour identifier cette limite, il suffit de trouver la limite de la suite $(\mathrm{e}^{-bx_n})$ , où

est une suite particulière tendant vers $+\infty$ . Pour tout $n\in\mathbb{N}$ , posons $x_n=n\ln(2)/b$ . Comme $\ln(2)\simeq 0.69$ et

sont positifs,

tend vers $+\infty$ . On a $\mathrm{e}^{-bx_n}=2^{-n}$ , qui tend vers 0 quand

tend vers l'infini. $\square$

Proposition 5 Soient et deux réels strictement positifs.

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}x^a \mathrm{e}^{-bx} = 0\;.$

Démonstration : Posons $f(x)=x^a \mathrm{e}^{-bx}$ . L'étude des variations de la fonction

sur $\mathbb{R}^+$ , montre qu'elle est croissante sur

, décroissante sur $[a/b,+\infty[$ . Comme elle est minorée par 0, elle admet une limite en $+\infty$ . Comme $f(x)\geqslant 0$ sur $]0,+\infty[$ , la limite de

en $+\infty$ est positive ou nulle. Il nous reste à montrer qu'elle est nulle. Pour cela observons que ce que nous avons dit de

reste vrai si on remplace

par

: la fonction qui à

associe $x^a\mathrm{e}^{-(b/2)x}$ admet un maximum en

. On a donc :

$\displaystyle f(x) = x^a\mathrm{e}^{-bx} = x^a \mathrm{e}^{-(b/2)x} \mathrm{e}^{-(b/2)x}\leqslant (2a/b)^a \mathrm{e}^{-a} \mathrm{e}^{-(b/2)x}$

Or $\mathrm{e}^{-(b/2)x}$ tend vers 0 quand

tend vers $+\infty$ (proposition 4). D'où le résultat. $\square$ Ce résultat peut paraître paradoxal : si

, $x^{100}$ croît très vite ( $2^{100}\simeq 10^{30}$ ), et si

, $\mathrm{e}^{-bx}$ décroît lentement ( $\mathrm{e}^{-0.02}\simeq 0.98$ ). Pourtant, c'est l'exponentielle qui finit par l'emporter et la limite en $+\infty$ est nulle.

On retiendra que :

l'exponentielle l'emporte sur les puissances de

,
les puissances de

l'emportent sur le logarithme.

C'est un moyen mnémotechnique de lever des indéterminations du type $0\times \infty$ dans les calculs de limite : si l'un des facteurs «l'emporte» sur l'autre, c'est lui qui dicte la limite. Par exemple, dans la proposition 5, la limite de $x^a\mathrm{e}^{-bx}$ est la même que celle de $\mathrm{e}^{-bx}$ , bien que

tende vers $+\infty$ . Nous rassemblons dans la proposition ci-après quelques exemples de limites du même type que celle de la proposition 5. Toutes s'en déduisent par des changements de variables : c'est un exercice facile que nous vous conseillons.

Proposition 6 Soient et deux réels strictement positifs.

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}x^a \mathrm{e}^{-bx} = 0\quad \lim_{x\rightarrow+\infty}x^{-a} \mathrm{e}^{bx} = +\infty\quad$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty}\vert x\vert^a \mathrm{e}^{bx} = 0\quad \lim_{x\rightarrow-\infty}\vert x\vert^{-a} \mathrm{e}^{-bx} = +\infty$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}(\ln(x))^a x^{-b} = 0\quad \lim_{x\rightarrow+\infty}(\ln(x))^{-a} x^b = +\infty\quad$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}\vert\ln(x)\vert^a x^b = 0\quad \lim_{x\rightarrow 0^+}\vert\ln(x)\vert^{-a} x^{-b} = +\infty\;.$