Limites à connaître

Les limites étudiées dans cette section permettent de comparer exponentielles, logarithmes et puissances de $x$. Vous connaissez certainement déjà le comportement de ces fonctions au voisinage de 0 et de $+\infty$.

$$\lim_{x\rightarrow +\infty} \ln(x) = \lim_{x\rightarrow +\infty} x = \lim_{x\rightarrow +\infty} \mathrm{e}^{x} = +\infty$$

Vous connaissez sans doute aussi le résultat suivant.

Proposition 4   Soit $b$ un réel strictement positif.

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\mathrm{e}^{-bx} = 0\;.$$

Démonstration : Posons $f(x)=\mathrm{e}^{-bx}$. La fonction $f$ est décroissante, donc elle admet une limite en $+\infty$. Pour identifier cette limite, il suffit de trouver la limite de la suite $(\mathrm{e}^{-bx_n})$, où $(x_n)$ est une suite particulière tendant vers $+\infty$. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, posons $x_n=n\ln(2)/b$. Comme $\ln(2)\simeq 0.69$ et $b$ sont positifs, $(x_n)$ tend vers $+\infty$. On a $\mathrm{e}^{-bx_n}=2^{-n}$, qui tend vers 0 quand $n$ tend vers l'infini.$\square$

Proposition 5   Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs.

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}x^a \mathrm{e}^{-bx} = 0\;.$$

Démonstration : Posons $f(x)=x^a \mathrm{e}^{-bx}$. L'étude des variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}^+$, montre qu'elle est croissante sur $[0,a/b]$, décroissante sur $[a/b,+\infty[$. Comme elle est minorée par 0, elle admet une limite en $+\infty$. Comme $f(x)\geqslant 0$ sur $]0,+\infty[$, la limite de $f$ en $+\infty$ est positive ou nulle. Il nous reste à montrer qu'elle est nulle. Pour cela observons que ce que nous avons dit de $f$ reste vrai si on remplace $b$ par $b/2$ : la fonction qui à $x$ associe $x^a\mathrm{e}^{-(b/2)x}$ admet un maximum en $x=2a/b$. On a donc :

$$f(x) = x^a\mathrm{e}^{-bx} = x^a \mathrm{e}^{-(b/2)x} \mathrm{e}^{-(b/2)x}\leqslant (2a/b)^a \mathrm{e}^{-a} \mathrm{e}^{-(b/2)x}$$

Or $\mathrm{e}^{-(b/2)x}$ tend vers 0 quand $x$ tend vers $+\infty$ (proposition 4). D'où le résultat.$\square$ Ce résultat peut paraître paradoxal : si $a=100$, $x^{100}$ croît très vite ( $2^{100}\simeq 10^{30}$), et si $b=0.01$, $\mathrm{e}^{-bx}$ décroît lentement ( $\mathrm{e}^{-0.02}\simeq 0.98$). Pourtant, c'est l'exponentielle qui finit par l'emporter et la limite en $+\infty$ est nulle.

On retiendra que :

l'exponentielle l'emporte sur les puissances de $x$,
les puissances de $x$ l'emportent sur le logarithme.

C'est un moyen mnémotechnique de lever des indéterminations du type $0\times \infty$ dans les calculs de limite : si l'un des facteurs «l'emporte»  sur l'autre, c'est lui qui dicte la limite. Par exemple, dans la proposition 5, la limite de $x^a\mathrm{e}^{-bx}$ est la même que celle de $\mathrm{e}^{-bx}$, bien que $x^a$ tende vers $+\infty$. Nous rassemblons dans la proposition ci-après quelques exemples de limites du même type que celle de la proposition 5. Toutes s'en déduisent par des changements de variables : c'est un exercice facile que nous vous conseillons.

Proposition 6   Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs.

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}x^a \mathrm{e}^{-bx} = 0\quad \lim_{x\rightarrow+\infty}x^{-a} \mathrm{e}^{bx} = +\infty\quad$$

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}\vert x\vert^a \mathrm{e}^{bx} = 0\quad \lim_{x\rightarrow-\infty}\vert x\vert^{-a} \mathrm{e}^{-bx} = +\infty$$

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}(\ln(x))^a x^{-b} = 0\quad \lim_{x\rightarrow+\infty}(\ln(x))^{-a} x^b = +\infty\quad$$

$$\lim_{x\rightarrow 0^+}\vert\ln(x)\vert^a x^b = 0\quad \lim_{x\rightarrow 0^+}\vert\ln(x)\vert^{-a} x^{-b} = +\infty\;.$$