Convergence des fonctions monotones

Comme pour les suites, «la monotonie entraîne l'existence de limites».

Théorème 4 Soit un intervalle ouvert, et une fonction croissante sur . Les limites de à droite en et à gauche en existent et :

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a^{+}} f(x) = \inf(f(]a,b[)) \quad;\quad \lim_{x\rightarrow b^{-}} f(x) = \sup(f(]a,b[))$

Démonstration : Supposons d'abord que

est minorée :

est une partie minorée de $\mathbb{R}$ , elle admet donc une borne inférieure finie, notons-la

. Soit $\varepsilon$ un réel positif fixé. Par définition de la borne inférieure, il existe $c\in]a,b[$ tel que $l\leqslant f(c)\leqslant l+\varepsilon$ . Mais alors, puisque

est croissante,

$\displaystyle a<x\leqslant c\Longrightarrow l\leqslant f(x)\leqslant l+\varepsilon$

Donc

admet

pour limite à droite en

. Si

n'est pas minorée, pour tout

, il existe $c\in]a,b[$ , tel que $f(c)\leqslant A$ . Puisque

est croissante :

$\displaystyle a<x\leqslant c\Longrightarrow f(x)\leqslant f(c)\leqslant A$

Donc la limite à droite de

est $-\infty$ .

Pour la limite à gauche en , on procède de manière analogue, en distinguant le cas où est majorée, du cas où elle ne l'est pas. $\square$ L'énoncé du théorème 4, reste vrai si $a=-\infty$ , ou $b=+\infty$ . Evidemment, le même résultat vaut pour une fonction décroissante, en inversant le rôle de $\sup$ et $\inf$ . On retiendra que

toute fonction monotone sur un intervalle admet une limite à gauche
et une limite à droite en tout point de cet intervalle.

La limite à gauche peut très bien ne pas être égale à la limite à droite. Par exemple, la fonction «partie entière» est croissante sur $\mathbb{R}$ , et pour tout $n\in \mathbb{Z}$ ,

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow n^{-}} \lfloor x\rfloor = n-1$ et $\displaystyle \quad \lim_{x\rightarrow n^{+}} \lfloor x\rfloor = n$

**Figure:** Graphe de la fonction partie entière $x\mapsto \lfloor x\rfloor$ .
$\includegraphics[width=8cm]{floor}$