Convergence des fonctions monotones

Comme pour les suites, «la monotonie entraîne l'existence de limites».

Théorème 4   Soit $]a,b[$ un intervalle ouvert, et $f$ une fonction croissante sur $]a,b[$. Les limites de $f$ à droite en $a$ et à gauche en $b$ existent et :

$$\lim_{x\rightarrow a^{+}} f(x) = \inf(f(]a,b[)) \quad;\quad \lim_{x\rightarrow b^{-}} f(x) = \sup(f(]a,b[))$$

Démonstration : Supposons d'abord que $f$ est minorée : $f(]a,b[)$ est une partie minorée de $\mathbb{R}$, elle admet donc une borne inférieure finie, notons-la $l$. Soit $\varepsilon$ un réel positif fixé. Par définition de la borne inférieure, il existe $c\in]a,b[$ tel que $l\leqslant f(c)\leqslant l+\varepsilon$. Mais alors, puisque $f$ est croissante,

$$a<x\leqslant c\Longrightarrow l\leqslant f(x)\leqslant l+\varepsilon$$

Donc $f$ admet $l$ pour limite à droite en $a$. Si $f$ n'est pas minorée, pour tout $A$, il existe $c\in]a,b[$, tel que $f(c)\leqslant A$. Puisque $f$ est croissante :

$$a<x\leqslant c\Longrightarrow f(x)\leqslant f(c)\leqslant A$$

Donc la limite à droite de $f$ en $a$ est $-\infty$.

Pour la limite à gauche en $b$, on procède de manière analogue, en distinguant le cas où $f$ est majorée, du cas où elle ne l'est pas.$\square$ L'énoncé du théorème 4, reste vrai si $a=-\infty$, ou $b=+\infty$. Evidemment, le même résultat vaut pour une fonction décroissante, en inversant le rôle de $\sup$ et $\inf$. On retiendra que

toute fonction monotone sur un intervalle admet une limite à gauche
et une limite à droite en tout point de cet intervalle.

La limite à gauche peut très bien ne pas être égale à la limite à droite. Par exemple, la fonction «partie entière»  est croissante sur $\mathbb{R}$, et pour tout $n\in \mathbb{Z}$,

$$\lim_{x\rightarrow n^{-}} \lfloor x\rfloor = n-1$$   et$$\quad \lim_{x\rightarrow n^{+}} \lfloor x\rfloor = n$$

Figure: Graphe de la fonction partie entière $x\mapsto \lfloor x\rfloor$.