Convergence

Nous commençons par la convergence en un point, vers une limite finie. Afin d'éviter les cas pathologiques, nous supposerons toujours que les fonctions étudiées sont définies au voisinage du point considéré (cf. définition 2).

Définition 3   Soit $a$ un réel et $f$ une fonction définie au voisinage de $a$, sauf peut-être en $a$, et à valeurs dans $\mathbb{R}$. Soit $l$ un réel. On dit que $f$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $a$, ou que $f$ a pour limite $l$ en $a$ si

$$\forall \varepsilon >0 ,\;\exists \eta>0\;,\quad (0<\vert x-a\vert\leqslant\eta) \Longrightarrow (\vert f(x)-l\vert\leqslant\varepsilon )$$ (1)

On notera :

$$\lim_{x\rightarrow a} f(x) = l$$   ou bien$$\quad f(x) \xrightarrow[x\rightarrow a]{} l\;.$$

Tout intervalle centré en $l$ contient toutes les valeurs $f(x)$, pour $x$ suffisamment proche de $a$. Observez que $f$ peut très bien ne pas être définie en $a$, et admettre quand même une limite en $a$. Voici un premier exemple (figure 1).

$$\begin{array}{rcl} &f&\\ \mathbb{R}^*&\longrightarrow&\mathbb{R}\\ x&\longmapsto&f(x)=x\sin(1/x) \end{array}$$

Figure: Graphe de la fonction $x\mapsto x\sin(1/x)$.

Pour tout $x\in\mathbb{R}^*$, $-1\leqslant \sin(1/x)\leqslant 1$. Donc si $\vert x\vert\leqslant\varepsilon$ et $x\neq 0$, alors $\vert x\sin(1/x)\vert\leqslant\varepsilon$ : $f(x)$ tend vers 0 quand $x$ tend vers 0.

La convergence peut se caractériser en termes de suites.

Théorème 1   Soit $a$ un réel et $f$ une fonction définie au voisinage de $a$, sauf peut-être en $a$, et à valeurs dans $\mathbb{R}$. Soit $l$ un réel. La fonction $f$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $a$, si et seulement si, pour toute suite $(x_n)$, à valeurs dans ${\cal D}_f\setminus\{a\}$ et convergeant vers $a$, la suite $(f(x_n))$ converge vers $l$.

Démonstration : Montrons d'abord la condition nécessaire : si $f$ tend vers $l$ au sens de la définition 3, alors pour toute suite $(x_n)$ convergeant vers $a$, la suite $(f(x_n))$ tend vers $l$.

Soit $\varepsilon >0$, et $\eta$ tel que si $0<\vert x-a\vert\leqslant \eta$, alors $\vert f(x)-l\vert<\varepsilon$. Soit $(x_n)$ une suite de ${\cal D}_f\setminus\{a\}$ convergeant vers $a$. Il existe $n_0$ tel que pour tout $n\geqslant n_0$, $0<\vert x_n-a\vert\leqslant \eta$. Mais $0<\vert x_n-a\vert\leqslant \eta$ entraîne $\vert f(x_n)-l\vert\leqslant \varepsilon$, par hypothèse. Donc la suite $(f(x_n))$ converge vers $l$.

Voici maintenant la condition suffisante, dont nous allons démontrer la contraposée : si $f$ ne tend pas vers $l$, alors il existe une suite $(x_n)$ convergeant vers $a$ telle que la suite $(f(x_n))$ ne tend pas vers $l$. Ecrivons donc que $f$ ne tend pas vers $l$.

$$\exists \varepsilon >0 ,\;\forall \eta>0\;,\quad \exists x\in{\c... ...,\quad (0<\vert x-a\vert\leqslant \eta)\wedge(\vert f(x)-l\vert> \varepsilon )$$

Posons $\eta=1/n$ :

$$\exists x\in{\cal D}_f\;,\quad (0<\vert x-a\vert\leqslant 1/n)\wedge(\vert f(x)-l\vert> \varepsilon )$$

Notons $x_n$ un des réels dont l'existence est affirmée ci-dessus. La suite $(x_n)$ converge vers $a$ car $\vert x_n-a\vert<1/n$, pourtant la suite $(f(x_n))$ ne tend pas vers $l$, car $\vert f(x_n)-l\vert\geqslant \varepsilon$.$\square$ Voici deux conséquences faciles de la définition.

Proposition 1   Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et $a$ un réel.

1. Si $f(x)$ converge quand $x$ tend vers $a$, alors la limite est unique.
2. Si $a\in {\cal D}_f$ et si $f(x)$ converge vers $l\in \mathbb{R}$ quand $x$ tend vers $a$, alors $f$ est bornée au voisinage de $a$.

Démonstration :  

1. Supposons que $f$ vérifie la définition 3 pour deux réels $l$ et $l'$ distincts. Posons $\varepsilon =\vert l-l'\vert/3$. Alors les intervalles $[l-\varepsilon ,l+\varepsilon ]$ et $[l'-\varepsilon ,l'+\varepsilon ]$ sont disjoints. Pour $x$ suffisamment proche de $a$, le réel $f(x)$ devrait appartenir aux deux intervalles à la fois : c'est impossible.
2. Fixons $\varepsilon >0$, et $\eta$ tel que $f(x)$ reste dans l'intervalle $]l-\varepsilon ,l+\varepsilon [$ pour tout $0<\vert x-a\vert\leqslant \eta$. Alors :
   $$\forall x\in [a-\eta,a+\eta]\cap{\cal D}_f\;,\quad f(x)\leqslant l+\varepsilon$$
   et
   $$\forall x\in [a-\eta,a+\eta]\cap{\cal D}_f\;,\quad f(x)\geqslant l-\varepsilon$$
   Donc $f$ est majorée et minorée au voisinage de $a$.

$\square$