Opérations sur les limites

La notion de limite se combine avec les opérations sur les fonctions comme on l'attend. Nous énoncerons les résultats dans le théorème 2. Ils peuvent se déduire des résultats analogues sur les suites numériques, via le théorème 1. Nous conseillons au lecteur de le vérifier, puis de comparer cette approche avec les démonstrations directes qui suivent. Elles sont basées sur le lemme suivant.

Lemme 1   Soit $a$ un réel. Soient $f$ et $g$ deux fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, définies au voisinage de $a$, sauf peut-être en $a$.

1. Si
   $$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}g(x)=0$$
   alors
   $$\lim_{x\rightarrow a}(f+g)(x)=0$$

2. Si $f$ est bornée au voisinage de $a$ et
   $$\lim_{x\rightarrow a}g(x)=0\;,$$
   alors
   $$\lim_{x\rightarrow a}(fg)(x)=0$$

Démonstration :  

1. Fixons $\varepsilon >0$. Soit $\eta_1$ tel que pour $0<\vert x-a\vert\leqslant \eta_1$, $\vert f(x)\vert\leqslant \varepsilon /2$. De même, soit $\eta_2$ tel que pour $0<\vert x-a\vert\leqslant \eta_2$, $\vert g(x)\vert<\varepsilon /2$. Alors, pour $0<\vert x-a\vert\leqslant\min\{\eta_1,\eta_2\}$,
   $$\vert(f+g)(x)\vert = \vert f(x)+g(x)\vert\leqslant \vert f(x)\ver... ...)\vert\leqslant \frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon \;,$$
   d'où le résultat.
2. Soit $\eta_1$ et $M$ deux réels tels que
   $$\forall x\in [a-\eta_1,a+\eta_1]\;,\quad \vert f(x)\vert\leqslant M\;.$$
   Fixons $\varepsilon >0$. Soit $\eta_2$ tel que pour $0<\vert x-a\vert\leqslant \eta_2$, $\vert g(x)\vert\leqslant \varepsilon /M$. Alors, pour $0<\vert x-a\vert\leqslant\min\{\eta_1,\eta_2\}$,
   $$\vert(fg)(x)\vert = \vert f(x)\vert \vert g(x)\vert\leqslant M \frac{\varepsilon }{M}=\varepsilon \;,$$
   d'où le résultat.

$\square$

Théorème 2   Soit $a$ un réel. Soient $f$ et $g$ deux fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, définies sur un intervalle ouvert autour de $a$.

1. Si
   $$\lim_{x\rightarrow a} f(x) = l$$   et$$\quad\lim_{x\rightarrow a}g(x)=l'$$
   alors
   $$\lim_{x\rightarrow a}(f+g)(x)=l+l'$$

2. Si
   $$\lim_{x\rightarrow a} f(x) = l$$   et$$\quad\lim_{x\rightarrow a}g(x)=l'$$
   alors
   $$\lim_{x\rightarrow a}(fg)(x)=ll'$$

Démonstration : Pour nous ramener au lemme 1, observons d'abord que $f(x)$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $a$, si et seulement si $f(x)-l$ tend vers 0.

1. Quand $x$ tend vers $a$, $f(x)$ tend vers $l$ et $g(x)$ tend vers $l'$, donc $f(x)-l$ et $g(x)-l'$ tendent vers 0. Donc
   $$f(x)-l+g(x)-l'=(f+g)(x)-(l+l')$$
   tend vers 0 d'après le point 1. du lemme 1. D'où le résultat.
2. Nous voulons montrer que $f(x)g(x)-ll'$ tend vers 0. Ecrivons :
   $$f(x)g(x)-ll'=f(x)(g(x)-l')+(f(x)-l)l'\;.$$
   Il suffit de montrer séparément que les deux fonctions $f(g-l')$ et $(f-l)l'$ tendent vers 0, d'après le premier point du lemme 1. Mais chacune de ces deux fonctions est le produit d'une fonction convergeant vers 0 par une fonction bornée au voisinage de 0 ($f$ est bornée au voisinage de 0 car elle converge). D'où le résultat, par le point 2. du lemme 1.

$\square$ Si une application est constante, sa limite en tout point est égale à cette constante. Comme cas particulier du théorème 2, si $f(x)$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $a$, et $\lambda$ est un réel quelconque, alors la limite en $a$ de $\lambda f(x)$ est $\lambda l$.

Le résultat attendu sur la composition des limites se vérifie, à un détail près.

Théorème 3   Soient $a$ et $b$ deux réels. Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies respectivement au voisinage de $a$ et au voisinage de $b$, $g$ étant définie en $b$. On suppose :

$$\lim_{x\rightarrow a} f(x)=b$$   et$$\quad \lim_{y\rightarrow b} g(y)=g(b)\;.$$

Alors

$$\lim_{x\rightarrow a} g\circ f(x)=g(b)\;.$$

Démonstration : Soit $\varepsilon$ un réel strictement positif. Il existe $\eta_1>0$ tel que

$$\vert y-b\vert\leqslant \eta_1\;\Longrightarrow \vert g(y)-g(b)\vert\leqslant\varepsilon$$

Il existe $\eta_2$ tel que

$$0<\vert x-a\vert\leqslant \eta_2\;\Longrightarrow \vert f(x)-b\vert\leqslant\eta_1$$

Donc :

$$0<\vert x-a\vert\leqslant \eta_2\;\Longrightarrow \vert g(f(x))-g(b)\vert\leqslant\varepsilon$$

$\square$