Difféomorphismes

Les applications de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}^n$ qui sont bijectives, et continûment différentiables ainsi que leur réciproque, sont utilisées comme changements de variables. On les appelle des difféomorphismes.

Définition 10   Soient $D$ et $\Delta$ deux domaines ouverts de $\mathbb{R}^n$. Soit $\Phi$ une application de $D$ dans $\Delta$. On dit que $\Phi$ est un difféomorphisme si :

1. $\Phi$ est une bijection de $D$ sur $\Delta$,
2. $\Phi$ ainsi que sa réciproque $\Phi^{-1}$ sont continûment différentiables.

Les différentielles de $\Phi$ et $\Phi^{-1}$ sont elles aussi réciproques l'une de l'autre. Les matrices jacobiennes, qui sont des matrices carrées $n\times n$, sont inverses l'une de l'autre. Ceci découle du théorème de composition des différentielles 3.

Proposition 1   Soit $\Phi$ un difféomorphisme de $D$ sur $\Delta$, $\mathbf{a}$ un point de $D$ et $\mathbf{b}$ un point de $\Delta$. Alors :

$$\begin{array}{ll} \mathrm{d}\Phi^{-1}(\Phi(a)) =\Big(\mathrm... ...(\Phi^{-1}(b)) = \Big(MJ(\Phi^{-1})(b)\Big)^{-1}\;. \end{array}$$

Pour un difféomorphisme, le déterminant de la matrice jacobienne joue un rôle particulier.

Définition 11   Soient $D$ et $\Delta$ deux domaines ouverts de $\mathbb{R}^n$. Soit $\Phi$ une application continûment différentiable de $D$ dans $\Delta$. On appelle déterminant jacobien de $\Phi$, ou simplement jacobien, le déterminant de la matrice jacobienne.

$$J(\Phi) = Det(MJ(\Phi))\;.$$

Comme conséquence de la proposition 1, le jacobien d'un difféomorphisme ne s'annule pas, puisque la matrice jacobienne est inversible. De plus, le jacobien de $\Phi$ et le jacobien de $\Phi^{-1}$ sont inverses l'un de l'autre.

$$J(\Phi^{-1})(\Phi(a)) =\frac{1}{J(\Phi)(a)} \qquad J(\Phi)(\Phi^{-1}(b)) = \frac{1}{J(\Phi^{-1})(b)}\;.$$

Les changements de variables en coordonnées polaires, cylindriques ou sphériques, sont très souvent utilisés. Nous détaillons le premier, qui consiste à remplacer les coordonnées cartésiennes $(x,y)$ d'un point du plan, par le module $r$ et l'argument $\theta$ du point dans le plan complexe (figure 1).

$$\Phi :\;\left\{ \begin{array}{ccc} D=\mathbb{R}^2\setminus\... ...es ]0,2\pi[\\ (x,y)&\longmapsto&(r,\theta) \end{array}\right.$$

Le module $r$ s'écrit $r=\sqrt{x^2+y^2}$. Par contre il n'est pas facile de donner une expression explicite de $\theta$ en fonction de $x$ et $y$, à cause des problèmes de signe. On utilise plutôt l'expression de la réciproque $\Phi^{-1}$, que nous avons déjà donnée en exemple.

$$\Phi^{-1} :\;\left\{ \begin{array}{rcl} \Delta=]0,+\infty[\... ...,y)\\ &&x=r\cos\theta ,\;y=r\sin\theta\;. \end{array}\right.$$

La matrice jacobienne de $\Phi^{-1}$ au point $(r,\theta)$ est :

$$MJ(\Phi^{-1})(r,\theta) = \left( \begin{array}{cr} \frac{\pa... ...sin\theta [1ex] \sin\theta&r\cos\theta \end{array}\right)\;.$$

Remarquons que le déterminant jacobien de $\Phi^{-1}$, qui vaut $r$, ne s'annule pas sur le domaine $\Delta$. La matrice jacobienne est donc bien inversible en tout point de $\Delta$. Voici son inverse :

$$\Big(MJ(\Phi^{-1})(r,\theta)\Big)^{-1} = \left( \begin{array... ...ac{1}{r}\sin\theta&\frac{1}{r}\cos\theta \end{array}\right)\;.$$

Pour obtenir la matrice jacobienne de $\Phi$ en un point $(x,y)$ de $D$, il suffit de remplacer $\cos\theta$, $\sin\theta$ et $r$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$ :

$$MJ(\Phi)(x,y) = \left( \begin{array}{cr} \frac{x}{\sqrt{x^2+... ...al x}&\frac{\partial \theta}{\partial y} \end{array}\right)\;.$$

Observons qu'on a bien la relation attendue entre les jacobiens.

$$J(\Phi)(x,y) = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{1}{r} = \frac{1}{J(\phi^{-1})(r,\theta)}\;.$$

Considérons maintenant une application $f :\;(x,y)\mapsto f(x,y)$, de $D$ dans $\mathbb{R}$. Pour utiliser le changement de variables $\Phi$, on doit remplacer les anciennes coordonnées $(x,y)$, par les nouvelles coordonnées $(r,\theta)$, et donc considérer la fonction $g$, de $\Delta$ dans $\mathbb{R}$, qui à $(r,\theta)$ associe :

$$g(r,\theta) = f(\Phi^{-1}(r,\theta)) = f(x(r,\theta),y(r,\theta))\;.$$

On est alors amené à utiliser le théorème 3 pour calculer les dérivées partielles successives de $g$ en fonction de celles de $f$, et réciproquement. À titre d'exemple, voici le calcul classique du laplacien de $f$ (supposée deux fois continûment différentiable) en fonction des dérivées partielles de $g$.

$$\begin{array}{rcl} \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial ... ...heta}\right) \frac{\partial \theta}{\partial y}} . \end{array}$$

Après simplifications, on trouve :

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^... ...rtial g}{\partial r} +\frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 g}{\partial \theta^2}\;.$$