Intégrales multiples

Il n'est pas question de développer ici une théorie générale de l'intégrale d'une fonction de $n$ variables sur un domaine de $\mathbb{R}^n$. Nous nous limiterons à des domaines ouverts particuliers en dimension $2$, ceux dont on peut délimiter la frontière verticalement par deux fonctions continues dans le plan.

$$D = \{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 ,\; a<x<b ,\;\alpha(x)<y<\beta(x) \}\;,$$

où $\alpha$ et $\beta$ sont deux fonctions continues de $]a,b[$ dans $\mathbb{R}$. En général, ce même domaine pourra être délimité horizontalement par deux autres fonctions (figure 9).

$$D = \{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 ,\; \gamma(y)<x<\delta(y) ,\;c<y<d \}\;,$$

où $\gamma$ et $\delta$ sont deux fonctions continues de $]c,d[$ dans $\mathbb{R}$.

Figure 9: Domaine du plan délimité par deux fonctions, verticalement et horizontalement.

Soit $f$ une fonction continue sur le domaine $D$. Pour $x$ fixé dans l'intervalle $]a,b[$, l'application partielle $y\mapsto f(x,y)$, définie sur $]\alpha(x),\beta(x)[$ est continue, donc intégrable. La fonction qui à $x\in ]a,b[$ associe :

$$\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x,y) \mathrm{d}y\;,$$

est continue sur $]a,b[$. Il est logique de définir l'intégrale de $f$ sur $D$ comme son intégrale. Encore faut-il s'assurer que le résultat aurait été le même si on avait intégré d'abord par rapport à $x$, ensuite par rapport à $y$ : le théorème de Fubini l'assure, et nous l'admettrons.

Théorème 8   Avec les hypothèses précédentes, l'égalité suivante est vérifiée.

$$\int_a^b\left(\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x,y) \mathrm{d}y\rig... ...d\left(\int_{\gamma(y)}^{\delta(y)} f(x,y) \mathrm{d}x\right) \mathrm{d}y\;.$$

Définition 12   On appelle intégrale de $f$ sur $D$, la valeur commune des deux expressions :

$$\int_D f(x,y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_a^b\left(\int_{\alph... ...d\left(\int_{\gamma(y)}^{\delta(y)} f(x,y) \mathrm{d}x\right) \mathrm{d}y\;.$$

Voici un premier exemple, dans le cas particulier où $D$ est un rectangle :

$$D = ]a,b[\times]c,d[\;.$$

La fonction à intégrer est $f :\;(x,y)\mapsto x^3y^2$.

$$\begin{array}{rcl} \displaystyle{\int_D f(x,y) \mathrm{d}x\... ...rm{d}x = \frac{d^3-c^3}{3} \frac{b^4-a^4}{4}\;. } \end{array}$$

En fait si $f(x,y) = g(x)h(y)$, alors l'intégrale de $f$ sur $D=]a,b[\times ]c,d[$ est le produit des intégrales de $g$ sur $]a,b[$ et de $h$ sur $]c,d[$. Voici l'intégrale de la même fonction $f$ sur un domaine triangulaire (figure 10) :

$$D = \{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 ,\; 0<x<1 ,\;0<y<x \}\;.$$

Figure 10: Domaine triangulaire.

$$\begin{array}{rcl} \displaystyle{ \int_D f(x,y) \mathrm{d}x... ... \left[\frac{x^7}{21}\right]_0^1 = \frac{1}{21}\;. }\end{array}$$

Si on commence par la variable $x$, on obtient :

$$\begin{array}{rcl} \displaystyle{ \int_D f(x,y) \mathrm{d}x... ...3}{12}-\frac{y^7}{28}\right]_0^1 = \frac{1}{21}\;. }\end{array}$$

Cette méthode de calcul s'étend aux intégrales triples, et plus généralement aux intégrales sur un domaine de $\mathbb{R}^n$ d'une fonction de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$. Voici un exemple. Notons $D$ le domaine de $\mathbb{R}^3$ défini par :

$$D=\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 ,\; 0<x<y<z<1 \}\;.$$

Soit $f$ la fonction de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}$, qui à $(x,y,z)$ associe $xyz$. Calculons l'intégrale de $f$ sur $D$.

$$\int_D f(x,y,z) \mathrm{d}x\mathrm{d}y \mathrm{d}z = \int_0^1\left(\int_x^1\left(\int_y^1 xyz \mathrm{d} z\right) \mathrm{d}y\right) \mathrm{d}x$$

$$= \int_0^1\left(\int_x^1\left(xy \left[\frac{z^2}{2}\right]_y^1\right) \mathrm{d}y\right) \mathrm{d}x$$

$$= \int_0^1\left(\int_x^1\frac{xy}{2}(1-y^2) \mathrm{d}y\right) \mathrm{d}x$$

$$= \int_0^1\left(x\left[\frac{y^2}{4}-\frac{y^4}{8}\right]_x^1\right) \mathrm{d}x$$

$$= \int_0^1 \frac{x}{8}-\frac{x^3}{4}+\frac{x^5}{8} \mathrm{d}x$$

$$= \left[\frac{x^2}{16}-\frac{x^4}{16}+\frac{x^6}{48}\right]_0^1$$

$$= \frac{1}{48}\;.$$

Voici un autre calcul, conduisant au même résultat.

$$\int_D f(x,y,z) \mathrm{d}x\mathrm{d}y \mathrm{d}z = \int_0^1\left(\int_0^z\left(\int_0^y xyz \mathrm{d} x\right) \mathrm{d}y\right) \mathrm{d}z$$

$$= \int_0^1\left(\int_0^z\left(yz \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^y\right) \mathrm{d}y\right) \mathrm{d}z$$

$$= \int_0^1\left(\int_0^z\frac{zy^3}{2} \mathrm{d}y\right) \mathrm{d}z$$

$$= \int_0^1\left(z\left[\frac{y^4}{8}\right]_0^z\right) \mathrm{d}z$$

$$= \int_0^1 \frac{z^5}{8} \mathrm{d}z$$

$$= \left[\frac{z^6}{48}\right]_0^1$$

$$= \frac{1}{48}\;.$$

Les intégrales doubles et triples permettent de résoudre les problèmes de calcul d'aires, volumes, centres de gravité, moments d'inertie etc. de la mécanique du solide. Si $D$ est un domaine du plan, son aire est l'intégrale sur $D$ de la fonction constante égale à $1$. Son centre de gravité a pour coordonnées :

$$x_G=\frac{\displaystyle{\int_D x \mathrm{d}x\mathrm{d}y}}{\displaystyle{\int_D \mathrm{d}x\mathrm{d}y}}$$   et$$\quad y_G=\frac{\displaystyle{\int_D y \mathrm{d}x\mathrm{d}y}}{\displaystyle{\int_D \mathrm{d}x\mathrm{d}y}}\;.$$

La détermination du volume et du centre de gravité d'un solide dans l'espace s'effectue de façon analogue.