Extrema liés

Nous passons maintenant à un problème un peu différent : la recherche d'extrema liés, aussi appelés extrema sous contrainte. Commençons par un exemple simple. Parmi les parallélépipèdes de surface $S$ fixée, lesquels ont un volume maximal ? Si $x,y,z$ désignent les longueurs des côtés du parallélépipède, la surface est $2(xy+yz+xz)$ et le volume $xyz$. Le problème est de trouver le maximum atteint par le volume $xyz$, non pas parmi tous les points de $\mathbb{R}^3$, mais seulement parmi ceux vérifiant la contrainte $2(xy+yz+xz)=S$, où $S$ est fixé. Bien sûr, on peut utiliser la contrainte pour calculer une des variables en fonction des deux autres. Par exemple pour $z$ :

$$2(xy+yz+xz)=S\;\Longrightarrow\; z = \frac{\frac{S}{2}-xy}{x+y}\;.$$

En reportant cette valeur de $z$ dans l'expression du volume, on obtient :

$$V_S(x,y) = xy \frac{\frac{S}{2}-xy}{x+y}\;.$$

On peut calculer le maximum de cette fonction avec la technique du gradient. Le lecteur vérifiera que le maximum de $V_S(x,y)$ est atteint pour :

$$x = y =\sqrt{\frac{S}{6}}\;,$$

ce qui entraîne aussi $z=\sqrt{\frac{S}{6}}$ : à surface fixée, le parallélépipède de volume maximal est le cube.

Il est rare que l'on puisse effectivement appliquer cette technique de substitution, surtout s'il y a plusieurs contraintes. On utilise alors le théorème des multiplicateurs de Lagrange, qui dit que si un problème d'optimisation sous contrainte a une solution en un point, alors les gradients de la fonction et des contraintes sont des vecteurs linéairement dépendants.

Théorème 7   Soit $D$ un domaine ouvert de $\mathbb{R}^n$ et $f,g_1,\ldots,g_k$ des applications continûment différentiables de $D$ dans $\mathbb{R}$. Notons :

$$A = \{ \mathbf{x}\in D ,\;g_1(\mathbf{x}) = \cdots = g_k(\mathbf{x})=0\}\;.$$

Si la restriction de $f$ à $A$ présente un extremum au point $\mathbf{a}$ de $A$, et si les vecteurs $\nabla g_1(\mathbf{a}),\ldots,\nabla g_k(\mathbf{a})$ sont linéairement indépendants, alors il existe $k$ réels $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ tels que :

$$\nabla f(\mathbf{a}) = \lambda_1\nabla g_1(\mathbf{a}) +\cdots+\lambda_k\nabla g_k(\mathbf{a})\;.$$

Dans ce théorème, $f$ est la fonction dont on cherche un maximum ou un minimum, et $g_1,\ldots, g_k$ sont les contraintes. Remarquons qu'il y a au plus $n$ contraintes, car leurs gradients doivent être linéairement indépendants. En fait pour que le théorème ait un intérêt, il ne peut pas y avoir plus de $n-1$ contraintes. Les coefficients $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ sont les multiplicateurs de Lagrange. Appliquons ce théorème au problème du volume sous contrainte de surface.

$$f(x,y,z) = xyz\quad,\quad g_1(x,y,z) = 2(xy+yz+xz)-S\;.$$

$$\nabla f = \left( \begin{array}{c} yz\\ xz\\ xy \end{array... ...in{array}{c} 2(y+z)\\ 2(x+z)\\ 2(x+y) \end{array}\right) \;.$$

Si un point $(x,y,z)$ est solution, alors il existe un multiplicateur $\lambda_1$ tel que $\nabla f = \lambda_1 \nabla g_1$. On doit donc avoir :

$$\left\{ \begin{array}{rcl} yz &=& 2\lambda_1(y+z)\\ xz &=& 2\lambda_1(x+z)\\ xy &=& 2\lambda_1(x+y) \end{array}\right.$$

En soustrayant ces équations deux à deux, on obtient :

$$\left\{ \begin{array}{rcl} (x-y)z &=& 2\lambda_1(x-y)\\ (y-... ...lambda_1(y-z)\\ (z-x)y &=& 2\lambda_1(z-x) \end{array}\right.$$

qui implique que $x=y=z$. On retrouve donc la solution précédente.

Voici maintenant un exemple similaire, mais avec deux contraintes.

$$f(x,y,z) = xyz\;,\; g_1(x,y,z) = x^2+y^2+z^2-1\;,\; g_2(x,y,z)=x+y+z-1\;.$$

$$\nabla f = \left( \begin{array}{c} yz\\ xz\\ xy \end{array... ...1 = \left( \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array}\right)\;.$$

La contrainte $g_1(x,y,z)=0$ est l'équation de la sphère de centre $(0,0,0)$ et de rayon $1$ ; la contrainte $g_2(x,y,z)=0$ est l'équation d'un plan. On cherche donc les extrema de $f$ sur l'intersection de la sphère unité et d'un plan, à savoir sur un cercle dans l'espace. Si un point $(x,y,z)$ est solution, alors il existe deux multiplicateurs $\lambda_1,\lambda_2$ tels que $\nabla f = \lambda_1 \nabla g_1+\lambda_2 \nabla g_2$. On doit donc avoir :

$$\left\{ \begin{array}{rcl} yz &=& 2\lambda_1x+\lambda_2\\ x... ...lambda_2\\ xy &=& 2\lambda_1z+\lambda_2 \end{array}\right.\;.$$

On obtient donc un système de $5$ équations (les $3$ précédentes et les $2$ contraintes), et $5$ inconnues : $x,y,z,\lambda_1,\lambda_2$. L'étude de ce système montre qu'il a $6$ solutions, données dans le tableau ci-dessous.

$$\begin{array}{\vert rrrrr\vert} \hline x&y&z&\lambda_1&\lamb... ...\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}&\frac{2}{9} [1ex] \hline \end{array}$$

Observons que ces points ont été obtenus par une condition nécessaire. Rien dans le théorème 7 ne permet de savoir si ce sont des maxima, des minima ou ni l'un ni l'autre.