Théorie de Cauchy globale

Théorème de Cauchy global

Soient $\gamma_1,\dots,\gamma_n$ des chemin de classe $\mathcal {C}^1$ par morceaux dans $\mathbb{C}$ d'image respectives $\Gamma_1,\dots,\Gamma_n$ et $\Gamma=\cup_{i=1}^n\Gamma_i$ . On définit la chaîne $\widetilde{\gamma}$ comme la somme formelle $\widetilde{\gamma}=\gamma_1+\dots+\gamma_n$ et on pose pour toute fonction continue sur $\Gamma$

$\displaystyle \int_{\widetilde{\gamma}} f(z) \mathrm{d}z=\sum_{i=1}^n\int_{\gamma_i} f(z) \mathrm{d}z.$

Si chacun des $\gamma_i$ est fermé, on dit que $\widetilde{\gamma}$ est un cycle.

Notons qu'une chaîne peut être représentée de plusieurs manières comme somme de chemins :

$\displaystyle \gamma_1+\dots+\gamma_n=\delta_1+\dots+\delta_n$

signifie que

$\displaystyle \sum_{i=1}^n\int_{\gamma_i} f(z) \mathrm{d}z=\sum_{i=1}^n\int_{\delta_i} f(z) \mathrm{d}z$

est continue sur $(\cup_{i=1}^n\Gamma_i)\cup(\cup_{i=1}^n\Delta_i)$ . En particulier un cycle peut être représenté par une somme de chemins qui ne sont pas tous fermés, mais il possède au moins une représentation en somme de chemins fermés.

Si $\widetilde{\gamma}$ est un cycle et si $\alpha\notin\Gamma$ , on définit l'indice de $\widetilde{\gamma}$ par rapport à $\alpha$ par

$\displaystyle \mathrm{Ind}_{\widetilde{\gamma}}(\alpha)=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\widetilde{\gamma}}\frac{\mathrm{d}z}{z-\alpha}.$

Si chacun des chemin $\gamma_i$ qui apparaissent dans une décomposition de $\widetilde{\gamma}$ est fermé alors $\mathrm{Ind}_{\widetilde{\gamma}}(\alpha)=\sum_{i=1}^n\mathrm{Ind}_{\widetilde{\gamma}_i}(\alpha)$ .

Si dans la définition de $\widetilde{\gamma}$ on remplace chacun des chemins $\gamma_i$ par le chemin opposé on obtient une nouvelle chaîne notée $-\widetilde{\gamma}$ et on a $\int_{-\widetilde{\gamma}} f(z) \mathrm{d}z=-\int_{\widetilde{\gamma}} f(z) \mathrm{d}z$ pour toute fonction continue sur $\Gamma$ et en particulier $\mathrm{Ind}_{-\widetilde{\gamma}}(\alpha)=-\mathrm{Ind}_{\widetilde{\gamma}}(\alpha)$ .

De plus si $\widetilde{\gamma}=\gamma_1+\dots+\gamma_n$ et $\widetilde{\delta}=\delta_1+\dots+\delta_n$ sont deux chaînes on définit de manière naturelle $\widetilde{\gamma}+\widetilde{\delta}$ par

$\displaystyle \widetilde{\gamma}+\widetilde{\delta}=\gamma_1+\dots+\gamma_n+\delta_1+\dots+\delta_n.$

On a alors

$\displaystyle \int_{\widetilde{\gamma}+\widetilde{\delta}}f(z) \mathrm{d}z=\int_{\widetilde{\gamma}} f(z) \mathrm{d}z+\int_{\widetilde{\delta}} f(z) \mathrm{d}z.$

Nous sommes maintenant en mesure d'énoncer le Théorème de Cauchy sous sa forme globale :

Théorème 21 (de Cauchy global) Soient un ouvert de $\mathbb{C}$ et une fonction holomorphe sur . Si $\widetilde{\gamma}$ est un cycle d'image $\Gamma$ dans qui satisfait

$\displaystyle \mathrm{Ind}_{\widetilde{\gamma}}(\alpha)=0$ pour tout $\displaystyle \alpha\in\mathbb{C}\setminus U,$

alors

(i): $f(z)\mathrm{Ind}_{\widetilde{\gamma}}(z)= \frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\widetilde{\gamma}}\frac{f(w)}{w-z} \mathrm{d}w$ pour tout $z\in U\setminus\Gamma$ ;
(ii): $\int_{\widetilde{\gamma}} f(z) \mathrm{d}z=0$ ;
(iii): Si $\widetilde{\gamma}$ et $\widetilde{\delta}$ sont deux cycles de tels que $\mathrm{Ind}_{\widetilde{\gamma}}(\alpha)=\mathrm{Ind}_{\widetilde{\delta}}(\alpha)$ pour tout $\alpha\in \mathbb{C}\setminus U$ , on a $\int_{\widetilde{\gamma}} f(z) \mathrm{d}z=\int_{\widetilde{\delta}} f(z) \mathrm{d}z$ .

Remarque. Notons que contrairement à la version du Théorème et de la formule de Cauchy énoncés dans la section 1.4 il n'y a pas d'hypothèse topologique sur l'ouvert

dans le Théorème 21, elle est remplacée par une hypothèse sur le cycle $\widetilde{\gamma}$ sur lequel se font les intégrations. Par exemple dans le cas où $U=\mathbb{C}^*$ , qui ne satisfait pas les conditions topologiques de la section 1.4, le cycle $\widetilde{\gamma}=\mathcal{C}(0,R)$ définit par le cercle de centre 0 et de rayon

parcouru une fois dans le sens direct ne satisfait pas la condition du théorème pour $\alpha=0$ , mais le cycle $\widetilde{\gamma}=\mathcal{C}(0,R)-\mathcal{C}(0,R/2)$ satisfait la condition du Théorème 21.

Nous allons donner les grandes lignes de la démonstration. Nous n'utiliserons pas la théorie des intégrales dépendant d'un paramètre holomorphe étudiée dans la section 1.3 et qui s'appuyait sur les inégalités de Cauchy, nous démontrerons les résultats liés à cette théorie si nécessaire en utilisant le théorème de Morera.

Démonstration : La fonction définie sur $U\times U$ par

$\displaystyle g(z,w)=\left\{ \begin{aligned}\frac{f(w)-f(z)}{w-z}\quad \mbox{si} w\neq z f'(z)\quad \mbox{si} w= z \end{aligned} \right.$

est continue sur $U\times U$ . On peut donc définir une fonction

continue sur

en posant

$\displaystyle h(z)=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\widetilde{\gamma}} g(z,w) \mathrm{d}w.$

On veut prouver que si $z\in U\setminus\Gamma$ , (i) est satisfait, c'est-à-dire

. Montrons que

est holomorphe sur

. Soit $\Delta$ un triangle contenu dans

, alors en appliquant le théorème de Fubini puisque

est continue donc intégrable sur tout compact de $U\times U$ on obtient

$\displaystyle \int_{\partial\Delta} h(z) \mathrm{d}z=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\i... ...Delta} \left (\int_{\widetilde{\gamma}} g(z,w) \mathrm{d}w\right ) \mathrm{d}z.$

Or pour tout $w\in U$ la fonction $z\mapsto g(z,w)$ est holomorphe sur

car continue et holomorphe sauf en un point, donc $\int_{\partial\Delta} g(z,w) \mathrm{d}z=0$ et par conséquent $\int_{\partial\Delta} h(z) \mathrm{d}z=0$ . La fonction

est donc holomorphe sur

par le Théorème de Morera.

De plus $h(z)=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\widetilde{\gamma}} \frac{f(w)}{w-z} \mathrm{d}w-f(z)\mathrm{Ind}_{\widetilde{\gamma}}(z)$ .

Notons $U_1=\{z\in\mathbb{C} \vert \mathrm{Ind}_{\widetilde{\gamma}}(z)=0\}$ . On pose

$\displaystyle h(z)=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\widetilde{\gamma}} \frac{f(w)}{w-z} \mathrm{d}w$

pour $z\in U_1$ . Par la même méthode que ci-dessus on peut prouver que

est holomorphe sur

puisque $(z,w)\mapsto \frac{f(w)}{w-z}$ est continue sur $U_1\times \Gamma$ et $z\mapsto \frac{f(w)}{w-z}$ est holomorphe sur

Comme contient $\mathbb{C}\setminus U$ , on définit une fonction $\varphi$ holomorphe sur $\mathbb{C}$ en posant

$\displaystyle \left\{ \begin{aligned}\varphi(z)&=h(z)\quad \mbox{si} z\in U \varphi(z)&=h_1(z)\quad \mbox{si} z\in U_1 \end{aligned} \right.$

puisque

si $z\in U\cap U_1$ .

D'après les propriétés de l'indice, contient la composante connexe non bornée du complémentaire de $\Gamma$ , donc $\lim_{\vert z\vert\to\infty} \varphi(z)=\lim_{\vert z\vert\to\infty} h_1(z)=0$ et en appliquant le Théorème de Liouville à $\varphi$ on obtient $\varphi(z)=0$ pour tout $z\in\mathbb{C}$ , d'où $h\equiv 0$ et (i) est démontré.

On déduit (ii) de (i) de la manière suivante : choisissons $a\in U\setminus\Gamma$ et posons , alors

$\displaystyle \frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\widetilde{\gamma}} f(z) \mathrm{d}... ...mma}} \frac{F(w)}{w-z} \mathrm{d}w=F(a) \mathrm{Ind}_{\widetilde{\gamma}}(a)=0.$

Finalement pour prouver (iii), il suffit d'appliquer (ii) au cycle $\widetilde{\gamma}-\widetilde{\delta}$ . $\square$

Exemple.

1- Soit un ouvert convexe ou étoilé, $\gamma$ un chemin fermé de classe $\mathcal {C}^1$ par morceaux dans et $\alpha\notin U$ . La fonction $f\varphi(z)=\frac{1}{z-\alpha}$ est holomorphe dans et d'après le Théorème de Cauchy pour un ouvert convexe ou étoilé $\mathrm{Ind}_{\widetilde{\gamma}}(z)=\int_{\widetilde{\gamma}}\varphi(z) \mathrm{d}z=0$ . L'hypothèse du Théorème 21 est donc satisfaite pour tout cycle lorsque est convexe ou étoilé.

2- Un compact de d'intérieur non vide et tel que $K=\overline{\overset{\circ} K}$ est un compact à bord si sa frontière est formée par les images $\Gamma_1,\dots,\Gamma_k$ d'un nombre fini de chemins $\gamma_1,\dots,\gamma_k$ , chaque $([a_i,b_i],\gamma_i)$ étant un chemin fermé de classe $\mathcal {C}^1$ par morceaux sans point stationnaire (i.e. pour tout $t\in ]a_i,b_i[$ en lequel $\gamma_i$ est dérivable $\gamma_i'(t)\neq 0$ ) et sans point double (i.e. si $t',t''\in [a_i,b_i]$ vérifie $t'\neq t''$ alors $\gamma_i(t')\neq \gamma_i(t'')$ ) et les images des $\Gamma_i$ étant deux à deux disjointes. L'orientation des chemins $\gamma_i$ , $i=1,\dots,k$ , de telle sorte que lorsque l'on se déplace sur $\Gamma_i$ dans le sens de l'orientation le compact se situe à gauche de $\Gamma_i$ .

Le bord orienté $\widetilde{\gamma}$ d'un compact à bord est un cycle tel que $\mathrm{Ind}_{\widetilde{\gamma}}(\alpha)=0$ si $\alpha\in\mathbb{C}\setminus K$ et $\mathrm{Ind}_{\widetilde{\gamma}}(\alpha)=1$ si $\alpha\in \overset\circ K$ . Si $D_0,D_1,\dots,D_k$ désignent les composantes connexes de $\mathbb{C}\setminus K$ , le cycle $\widetilde{\gamma}$ s'écrit $\widetilde{\gamma}=\gamma_0+\gamma_1+\dots +\gamma_k$ , où les chemins $-\gamma_j$ désignent respectivement les bords des composantes connexes . On suppose que désigne la composante connexe non bornée de $\mathbb{C}\setminus K$ . Si $\alpha\in D_0$ , $\mathrm{Ind}_{\gamma_j}(\alpha)=0$ pour tout $j=1,\dots,k$ . Si $\alpha\in D_j$ , $j=1,\dots,k$

$\displaystyle \mathrm{Ind}_{\gamma_0}(\alpha)$	$\displaystyle =1$
$\displaystyle \mathrm{Ind}_{\gamma_j}(\alpha)$	$\displaystyle =-1$
$\displaystyle \mathrm{Ind}_{\gamma_l}(\alpha)$	$\displaystyle =0$ si $\displaystyle l\neq j$

car alors $\alpha$ est dans la composante connexe non bornée de $\mathbb{C}\Gamma_j$ .

**Figure 10:** Compacts à bord.
$\includegraphics[width=8cm]{compacts}$

Séries de Laurent

Soit $(a_n)_n\in\mathbb{Z}$ une suite de nompbres complexes indexée par $\mathbb{Z}$ .

Le série entière $\sum_{n=1}^{+\infty} a_{-n}z^n$ converge dans un disque de rayon $\frac{1}{R}$ , $R\geqslant 0$ . La série

$\displaystyle \sum_{n=-1}^{-\infty}a_n z^n=\sum_{n=1}^{+\infty} a_{-n}\frac{1}{z^n}$

converge donc absolument pour $\vert z\vert>R$ et même normalement sur tout compact de cet ensemble. La série entière $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$ converge dans un disque de rayon $R'\geqslant 0$ .

Si , la série de fonctions $\sum_{n\in\mathbb{Z}} a_n z^n$ converge absolument dans la couronne $\{z\in\mathbb{C} \vert R<\vert z\vert<R'\}$ et normalement sur tout compact de cette couronne. Cette série de fonction s'appelle la série de Laurent associée à la suite $(a_n)_n\in\mathbb{Z}$ .

Théorème 22 Soit une fonction holomorphe dans la couronne $\{z\in\mathbb{C} \vert R<\vert z-a\vert<R'\}$ . Il existe une unique série de Laurent $\sum_{n\in\mathbb{Z}} a_n (z-a)^n$ dont la somme est égale à dans cette couronne. De plus si $\gamma_r$ est le cercle de centre et de rayon orienté dans le sens direct, , on a, pour tout $n\in\mathbb{Z}$ ,

$\displaystyle a_n=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\gamma_r}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}} \mathrm{d}w.$

Démonstration : Soient $a\in\mathbb{C}$ , et des réels tels que $0\leqslant R<R'\leqslant +\infty$ et une fonction holomorphe dans la couronne $\{z\in\mathbb{C} \vert R<\vert z-a\vert<R'\}$ . Si , on considère la couronne compacte $K=\{z\in\mathbb{C} \vert R_1<\vert z-a\vert<R'_1\}$ , c'est un compact à bord dont le cycle constitué par son bord est noté $\widetilde{\gamma}$ . Pour tout $z\in\overset\circ K$ , on a

$\displaystyle f(z)=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\widetilde{\gamma}}\frac{f(w)}{w-z} \mathrm{d}w$

d'après le Théorème 21. Puisque $\widetilde{\gamma}=\gamma'_1-\gamma_1$ , où $\gamma_1$ est le chemin fermé défini par le cercle de centre

et de rayon

orienté dans le sens direct et $\gamma'_1$ le chemin fermé défini par le cercle de centre

et de rayon

orienté dans le sens direct, on a en fait

$\displaystyle f(z)=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\gamma'_1}\frac{f(w)}{w-z} \mathrm{d}w- \frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\gamma_1}\frac{f(w)}{w-z} \mathrm{d}w.$

**Figure 11:** Couronne ouverte et couronne compacte.
$\includegraphics[width=6cm]{couronne}$

En reprenant la démonstration du Théorème d'analyticité des fonctions holomorphes, on montre que la première intégrale a pour valeur $\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(z-a)^n$ avec

$\displaystyle a_n=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\gamma'_1}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}} \mathrm{d}w\;.$

Pour la seconde intégrale, on remarque que si $w\in\mathrm{Im} \gamma_1$ , on a $\vert w-a\vert<\vert z-a\vert$ . On peut donc écrire

$\displaystyle \frac{1}{w-z}=\frac{1}{w-a-(z-a)}=-\frac{1}{z-a}\sum_{m=0}^{+\inf... ...t (\frac{w-a}{z-a}\right )^m=-\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(w-a)^{n-1}}{(z-a)^n}.$

Puisque la série de fonctions de terme général $\frac{f(w)(w-a)^{n-1}}{(z-a)^n}$ converge normalement sur $\mathrm{Im} \gamma_1$ , on peut intégrer terme à terme et on trouve que

$\displaystyle -\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\gamma_1}\frac{f(w)}{w-z} \mathrm{d}w=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{b_n}{(z-a)^n}$

avec $b_n=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\gamma_1}f(w)(w-a)^{n-1} \mathrm{d}w$ .

Pour calculer et on peut remplacer les chemins $\gamma_1$ et $\gamma'_1$ par n'importe quel cercle $\gamma_r$ de centre et de rayon , , orienté dans le sens direct car si $\alpha$ n'est pas contenu dans la couronne $\{z\in\mathbb{C} \vert R<\vert z-a\vert<R'\}$

$\displaystyle \mathrm{Ind}_{\gamma_1}(\alpha)=\mathrm{Ind}_{\gamma'_1}(\alpha)=\mathrm{Ind}_{\gamma_r}(\alpha)$

et on peut appliquer le (iii) du théorème 21 aux fonctions $\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}$ et $f(w)(w-a)^{n-1}$ . On en déduit que le développement obtenu est valable dans toute la couronne $\{z\in\mathbb{C} \vert R<\vert z-a\vert<R'\}$ et en posant $a_{-k}=b_k$ on obtient $f(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}} a_n (z-a)^n$ pour tout

tel que $R<\vert z-a\vert<R'$ avec $a_n=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\gamma_r}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}} \mathrm{d}w$ pour tout $n\in\mathbb{Z}$ .

Terminons en montrant l'unicité du développement de Laurent de . Soient $\rho$ et $\rho'$ deux nombres réels tels que $R<\rho<\rho'<R'$ , supposons que $f(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}} \widetilde{a}_n (z-a)^n$ pour tout tel que $\rho<\vert z-a\vert<\rho'$ . Puisque les séries de Laurent convergent normalement sur tout compact de leur couronne de définition, on peut échanger l'intégrale et la sommation lors de l'intégration de la fonction $\frac{f(z)}{(z-a)^{k+1}}$ sur le cercle $\gamma_r$ de centre et de rayon r, $\rho<r<\rho'$ . On obtient alors pour tout $k\in\mathbb{Z}$

$\displaystyle a_k=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\gamma_r}\frac{f(w)}{(w-a)^{k+1}} \mathrm{d} w=\widetilde{a}_k,$

d'où l'unicité du développement de Laurent de

. $\square$

Corollaire 13 Soient $f(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}} a_n (z-a)^n$ le développement de Laurent d'une fonction holomorphe dans la couronne $\{z\in\mathbb{C} \vert R<\vert z-a\vert<R'\}$ et, pour $r\in]R,R'[$ , $M(r)=\sup_{\vert z\vert=r}\vert f(z)\vert$ . Pour tout $n\in\mathbb{Z}$ et tout $r\in]R,R'[$ , on a alors

$\displaystyle \vert a_n\vert r^n\leqslant M(r).$

Démonstration : Cela se déduit immédiatement de la formule de représentation intégrale des

. $\square$

Singularités isolées et développement de Laurent

Soient $a\in\mathbb{C}$ , et une fonction holomorphe dans le disque épointé $D^*(a,r)=D(a,r)\setminus\{a\}\{z\in\mathbb{C} \vert 0<\vert z-a\vert<r\}$ . Elle possède un développement de Laurent $f(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}} a_n (z-a)^n$ si $0<\vert z-a\vert<r$ . Alors

(i) Si pour tout , est une singularité illusoire pour et se prolonge holomorpiquement au disque de centre et de rayon par la série $\sum_{n\geqslant 0} a_n (z-a)^n$ .

(ii) S'il existe tel que $a_{-p}\neq 0$ et si , est un pôle d'ordre de et la partie principale de en est $\sum_{n=1}^p a_{-n} \frac{1}{(z-a)^n}$ .

(iii) S'il existe une infinité d'indices strictement négatifs tels que $a_n\neq 0$ , la fonction a une singularité essentielle en . On dit encore que $\sum_{n<0} a_n (z-a)^n$ est la partie principale de en .

Ces trois cas représentant l'ensemble des possibilités et s'excluant mutuellement on a ainsi une caractérisation des singularités isolées d'une fonction holomorphe en fonction de son développement de Laurent.

De plus le coefficient $a_{-1}$ du développement de Laurent de sur s'appelle le résidu de en .

Théorème 23 Soient une fonction holomorphe dans un ouvert de $\mathbb{C}$ sauf en des points singuliers isolés et un compact à bord contenu dans . On suppose que le bord de ne contient aucun point singulier de . Alors les points singuliers de contenus dans sont en nombre fini et on a

$\displaystyle \int_{\partial K} f(z) \mathrm{d}z=2\mathrm{i}\pi\sum_j \mathrm{Res}(f,z_j),$

où $\partial K$ désigne le cycle définit par le bord orienté de et où les sont les points singuliers de contenus dans .

Démonstration : L'ensemble

étant compact, si les singularité de

contenues dans

étaient en nombre infini elles auraient un point d'accumulation qui ne pourrait pas être isolé.

Soient $z_1,\dots,z_k$ les points singuliers de contenus dans . Pour $j=1,\dots,k$ , $\overline{D}_j$ un disque fermé de centre et de rayon assez petit pour que $\overline{D}_j$ soit contenu dans $\overset\circ K$ et $\overline{D}_j\cap \overline{D}_l=\emptyset$ si $j\neq l$ . Soit $\gamma_j$ le cercle orienté dans le sens direct bord de $\overline{D}_j$ . Posons $K'=K\setminus(D_1\cup\dots\cup D_k)$ , est un compact à bord dont le bord orienté est représenté par le cycle $\partial K'=\partial K-\gamma_1-\dots-\gamma_k$ .

On peut appliquer le (ii) du Théorème 21 à la fonction et au cycle $\partial K'$ . On obtient

$\displaystyle \int_{\partial K'} f(z) \mathrm{d}z=\int_{\partial K} f(z) \mathrm{d}z-\int_{\gamma_1}f(z) \mathrm{d}z-\dots-\int_{\gamma_k}f(z) \mathrm{d}z =0,$

d'où

$\displaystyle \int_{\partial K} f(z) \mathrm{d}z=2\mathrm{i}\pi\sum_{j=1}^k \mathrm{Res}(f,z_j)$

en calculant $\int_{\gamma_j}f(z) \mathrm{d}z$ à l'aide du développement de Laurent de

au voisinage de $\overline{D}_j\setminus\{z_j\}$ . $\square$

Le théorème de l'indice pour les fonctions méromorphes et le théorème de Rouché s'étendent également aux compacts à bord. On compte alors les zéros et les pôles contenu à l'intérieur du compact.