Théorie de Cauchy globale

Théorème de Cauchy global

Soient $\gamma_1,\dots,\gamma_n$ des chemin de classe $\mathcal {C}^1$ par morceaux dans $\mathbb{C}$ d'image respectives $\Gamma_1,\dots,\Gamma_n$ et $\Gamma=\cup_{i=1}^n\Gamma_i$. On définit la chaîne $\widetilde{\gamma}$ comme la somme formelle $\widetilde{\gamma}=\gamma_1+\dots+\gamma_n$ et on pose pour toute fonction $f$ continue sur $\Gamma$

$$\int_{\widetilde{\gamma}} f(z) \mathrm{d}z=\sum_{i=1}^n\int_{\gamma_i} f(z) \mathrm{d}z.$$

Si chacun des $\gamma_i$ est fermé, on dit que $\widetilde{\gamma}$ est un cycle.

Notons qu'une chaîne peut être représentée de plusieurs manières comme somme de chemins :

$$\gamma_1+\dots+\gamma_n=\delta_1+\dots+\delta_n$$

signifie que

$$\sum_{i=1}^n\int_{\gamma_i} f(z) \mathrm{d}z=\sum_{i=1}^n\int_{\delta_i} f(z) \mathrm{d}z$$

si $f$ est continue sur $(\cup_{i=1}^n\Gamma_i)\cup(\cup_{i=1}^n\Delta_i)$. En particulier un cycle peut être représenté par une somme de chemins qui ne sont pas tous fermés, mais il possède au moins une représentation en somme de chemins fermés.

Si $\widetilde{\gamma}$ est un cycle et si $\alpha\notin\Gamma$, on définit l'indice de $\widetilde{\gamma}$ par rapport à $\alpha$ par

$$\mathrm{Ind}_{\widetilde{\gamma}}(\alpha)=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\widetilde{\gamma}}\frac{\mathrm{d}z}{z-\alpha}.$$

Si chacun des chemin $\gamma_i$ qui apparaissent dans une décomposition de $\widetilde{\gamma}$ est fermé alors $\mathrm{Ind}_{\widetilde{\gamma}}(\alpha)=\sum_{i=1}^n\mathrm{Ind}_{\widetilde{\gamma}_i}(\alpha)$.

Si dans la définition de $\widetilde{\gamma}$ on remplace chacun des chemins $\gamma_i$ par le chemin opposé on obtient une nouvelle chaîne notée $-\widetilde{\gamma}$ et on a $\int_{-\widetilde{\gamma}} f(z) \mathrm{d}z=-\int_{\widetilde{\gamma}} f(z) \mathrm{d}z$ pour toute fonction $f$ continue sur $\Gamma$ et en particulier $\mathrm{Ind}_{-\widetilde{\gamma}}(\alpha)=-\mathrm{Ind}_{\widetilde{\gamma}}(\alpha)$.

De plus si $\widetilde{\gamma}=\gamma_1+\dots+\gamma_n$ et $\widetilde{\delta}=\delta_1+\dots+\delta_n$ sont deux chaînes on définit de manière naturelle $\widetilde{\gamma}+\widetilde{\delta}$ par

$$\widetilde{\gamma}+\widetilde{\delta}=\gamma_1+\dots+\gamma_n+\delta_1+\dots+\delta_n.$$

On a alors

$$\int_{\widetilde{\gamma}+\widetilde{\delta}}f(z) \mathrm{d}z=\int_{\widetilde{\gamma}} f(z) \mathrm{d}z+\int_{\widetilde{\delta}} f(z) \mathrm{d}z.$$

Nous sommes maintenant en mesure d'énoncer le Théorème de Cauchy sous sa forme globale :

Théorème 21 (de Cauchy global)   Soient $U$ un ouvert de $\mathbb{C}$ et $f$ une fonction holomorphe sur $U$. Si $\widetilde{\gamma}$ est un cycle d'image $\Gamma$ dans $U$ qui satisfait

$$\mathrm{Ind}_{\widetilde{\gamma}}(\alpha)=0$$   pour tout $$\alpha\in\mathbb{C}\setminus U,$$

alors

(i)

$f(z)\mathrm{Ind}_{\widetilde{\gamma}}(z)= \frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\widetilde{\gamma}}\frac{f(w)}{w-z} \mathrm{d}w$ pour tout $z\in U\setminus\Gamma$;

(ii)

$\int_{\widetilde{\gamma}} f(z) \mathrm{d}z=0$;

(iii)

Si $\widetilde{\gamma}$ et $\widetilde{\delta}$ sont deux cycles de $U$ tels que $\mathrm{Ind}_{\widetilde{\gamma}}(\alpha)=\mathrm{Ind}_{\widetilde{\delta}}(\alpha)$ pour tout $\alpha\in \mathbb{C}\setminus U$, on a $\int_{\widetilde{\gamma}} f(z) \mathrm{d}z=\int_{\widetilde{\delta}} f(z) \mathrm{d}z$.

Remarque. Notons que contrairement à la version du Théorème et de la formule de Cauchy énoncés dans la section 1.4 il n'y a pas d'hypothèse topologique sur l'ouvert $U$ dans le Théorème 21, elle est remplacée par une hypothèse sur le cycle $\widetilde{\gamma}$ sur lequel se font les intégrations. Par exemple dans le cas où $U=\mathbb{C}^*$, qui ne satisfait pas les conditions topologiques de la section 1.4, le cycle $\widetilde{\gamma}=\mathcal{C}(0,R)$ définit par le cercle de centre 0 et de rayon $R>0$ parcouru une fois dans le sens direct ne satisfait pas la condition du théorème pour $\alpha=0$, mais le cycle $\widetilde{\gamma}=\mathcal{C}(0,R)-\mathcal{C}(0,R/2)$ satisfait la condition du Théorème 21.

Nous allons donner les grandes lignes de la démonstration. Nous n'utiliserons pas la théorie des intégrales dépendant d'un paramètre holomorphe étudiée dans la section 1.3 et qui s'appuyait sur les inégalités de Cauchy, nous démontrerons les résultats liés à cette théorie si nécessaire en utilisant le théorème de Morera.

Démonstration : La fonction $g$ définie sur $U\times U$ par

$$g(z,w)=\left\{ \begin{aligned}\frac{f(w)-f(z)}{w-z}\quad \mbox{si} w\neq z f'(z)\quad \mbox{si} w= z \end{aligned} \right.$$

est continue sur $U\times U$. On peut donc définir une fonction $h$ continue sur $U$ en posant

$$h(z)=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\widetilde{\gamma}} g(z,w) \mathrm{d}w.$$

On veut prouver que si $z\in U\setminus\Gamma$, (i) est satisfait, c'est-à-dire $h(z)=0$. Montrons que $h$ est holomorphe sur $U$. Soit $\Delta$ un triangle contenu dans $U$, alors en appliquant le théorème de Fubini puisque $g$ est continue donc intégrable sur tout compact de $U\times U$ on obtient

$$\int_{\partial\Delta} h(z) \mathrm{d}z=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\i... ...Delta} \left (\int_{\widetilde{\gamma}} g(z,w) \mathrm{d}w\right ) \mathrm{d}z.$$

Or pour tout $w\in U$ la fonction $z\mapsto g(z,w)$ est holomorphe sur $U$ car continue et holomorphe sauf en un point, donc $\int_{\partial\Delta} g(z,w) \mathrm{d}z=0$ et par conséquent $\int_{\partial\Delta} h(z) \mathrm{d}z=0$. La fonction $h$ est donc holomorphe sur $U$ par le Théorème de Morera.

De plus $h(z)=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\widetilde{\gamma}} \frac{f(w)}{w-z} \mathrm{d}w-f(z)\mathrm{Ind}_{\widetilde{\gamma}}(z)$.

Notons $U_1=\{z\in\mathbb{C} \vert \mathrm{Ind}_{\widetilde{\gamma}}(z)=0\}$. On pose

$$h(z)=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\widetilde{\gamma}} \frac{f(w)}{w-z} \mathrm{d}w$$

pour $z\in U_1$. Par la même méthode que ci-dessus on peut prouver que $h_1$ est holomorphe sur $U_1$ puisque $(z,w)\mapsto \frac{f(w)}{w-z}$ est continue sur $U_1\times \Gamma$ et $z\mapsto \frac{f(w)}{w-z}$ est holomorphe sur $U_1$.

Comme $U_1$ contient $\mathbb{C}\setminus U$, on définit une fonction $\varphi$ holomorphe sur $\mathbb{C}$ en posant

$$\left\{ \begin{aligned}\varphi(z)&=h(z)\quad \mbox{si} z\in U \varphi(z)&=h_1(z)\quad \mbox{si} z\in U_1 \end{aligned} \right.$$

puisque $h(z)=h_1(z)$ si $z\in U\cap U_1$.

D'après les propriétés de l'indice, $U_1$ contient la composante connexe non bornée du complémentaire de $\Gamma$, donc $\lim_{\vert z\vert\to\infty} \varphi(z)=\lim_{\vert z\vert\to\infty} h_1(z)=0$ et en appliquant le Théorème de Liouville à $\varphi$ on obtient $\varphi(z)=0$ pour tout $z\in\mathbb{C}$, d'où $h\equiv 0$ et (i) est démontré.

On déduit (ii) de (i) de la manière suivante : choisissons $a\in U\setminus\Gamma$ et posons $F(z)=(z-a)f(z)$, alors

$$\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\widetilde{\gamma}} f(z) \mathrm{d}... ...mma}} \frac{F(w)}{w-z} \mathrm{d}w=F(a) \mathrm{Ind}_{\widetilde{\gamma}}(a)=0.$$

Finalement pour prouver (iii), il suffit d'appliquer (ii) au cycle $\widetilde{\gamma}-\widetilde{\delta}$.$\square$

Exemple.

1- Soit $U$ un ouvert convexe ou étoilé, $\gamma$ un chemin fermé de classe $\mathcal {C}^1$ par morceaux dans $U$ et $\alpha\notin U$. La fonction $f\varphi(z)=\frac{1}{z-\alpha}$ est holomorphe dans $U$ et d'après le Théorème de Cauchy pour un ouvert convexe ou étoilé $\mathrm{Ind}_{\widetilde{\gamma}}(z)=\int_{\widetilde{\gamma}}\varphi(z) \mathrm{d}z=0$. L'hypothèse du Théorème 21 est donc satisfaite pour tout cycle lorsque $U$ est convexe ou étoilé.

2- Un compact $K$ de $U$ d'intérieur non vide et tel que $K=\overline{\overset{\circ} K}$ est un compact à bord si sa frontière est formée par les images $\Gamma_1,\dots,\Gamma_k$ d'un nombre fini de chemins $\gamma_1,\dots,\gamma_k$, chaque $([a_i,b_i],\gamma_i)$ étant un chemin fermé de classe $\mathcal {C}^1$ par morceaux sans point stationnaire (i.e. pour tout $t\in ]a_i,b_i[$ en lequel $\gamma_i$ est dérivable $\gamma_i'(t)\neq 0$) et sans point double (i.e. si $t',t''\in [a_i,b_i]$ vérifie $t'\neq t''$ alors $\gamma_i(t')\neq \gamma_i(t'')$) et les images des $\Gamma_i$ étant deux à deux disjointes. L'orientation des chemins $\gamma_i$, $i=1,\dots,k$, de telle sorte que lorsque l'on se déplace sur $\Gamma_i$ dans le sens de l'orientation le compact $K$ se situe à gauche de $\Gamma_i$.

Le bord orienté $\widetilde{\gamma}$ d'un compact à bord $K$ est un cycle tel que $\mathrm{Ind}_{\widetilde{\gamma}}(\alpha)=0$ si $\alpha\in\mathbb{C}\setminus K$ et $\mathrm{Ind}_{\widetilde{\gamma}}(\alpha)=1$ si $\alpha\in \overset\circ K$. Si $D_0,D_1,\dots,D_k$ désignent les composantes connexes de $\mathbb{C}\setminus K$, le cycle $\widetilde{\gamma}$ s'écrit $\widetilde{\gamma}=\gamma_0+\gamma_1+\dots +\gamma_k$, où les chemins $-\gamma_j$ désignent respectivement les bords des composantes connexes $D_j$. On suppose que $D_0$ désigne la composante connexe non bornée de $\mathbb{C}\setminus K$. Si $\alpha\in D_0$, $\mathrm{Ind}_{\gamma_j}(\alpha)=0$ pour tout $j=1,\dots,k$. Si $\alpha\in D_j$, $j=1,\dots,k$

$$\mathrm{Ind}_{\gamma_0}(\alpha) =1$$

$$\mathrm{Ind}_{\gamma_j}(\alpha) =-1$$

$$\mathrm{Ind}_{\gamma_l}(\alpha) =0 l\neq j$$

car alors $\alpha$ est dans la composante connexe non bornée de $\mathbb{C}\Gamma_j$.

Figure 10: Compacts à bord.

Séries de Laurent

Soit $(a_n)_n\in\mathbb{Z}$ une suite de nompbres complexes indexée par $\mathbb{Z}$.

Le série entière $\sum_{n=1}^{+\infty} a_{-n}z^n$ converge dans un disque de rayon $\frac{1}{R}$, $R\geqslant 0$. La série

$$\sum_{n=-1}^{-\infty}a_n z^n=\sum_{n=1}^{+\infty} a_{-n}\frac{1}{z^n}$$

converge donc absolument pour $\vert z\vert>R$ et même normalement sur tout compact de cet ensemble. La série entière $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$ converge dans un disque de rayon $R'\geqslant 0$.

Si $R<R'$, la série de fonctions $\sum_{n\in\mathbb{Z}} a_n z^n$ converge absolument dans la couronne $\{z\in\mathbb{C} \vert R<\vert z\vert<R'\}$ et normalement sur tout compact de cette couronne. Cette série de fonction s'appelle la série de Laurent associée à la suite $(a_n)_n\in\mathbb{Z}$.

Théorème 22   Soit $f$ une fonction holomorphe dans la couronne $\{z\in\mathbb{C} \vert R<\vert z-a\vert<R'\}$. Il existe une unique série de Laurent $\sum_{n\in\mathbb{Z}} a_n (z-a)^n$ dont la somme est égale à $f$ dans cette couronne. De plus si $\gamma_r$ est le cercle de centre $a$ et de rayon $r$ orienté dans le sens direct, $R<r<R'$, on a, pour tout $n\in\mathbb{Z}$,

$$a_n=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\gamma_r}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}} \mathrm{d}w.$$

Démonstration : Soient $a\in\mathbb{C}$, $R$ et $R'$ des réels tels que $0\leqslant R<R'\leqslant +\infty$ et $f$ une fonction holomorphe dans la couronne $\{z\in\mathbb{C} \vert R<\vert z-a\vert<R'\}$. Si $R<R_1<R'_1<R'$, on considère la couronne compacte $K=\{z\in\mathbb{C} \vert R_1<\vert z-a\vert<R'_1\}$, c'est un compact à bord dont le cycle constitué par son bord est noté $\widetilde{\gamma}$. Pour tout $z\in\overset\circ K$, on a

$$f(z)=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\widetilde{\gamma}}\frac{f(w)}{w-z} \mathrm{d}w$$

d'après le Théorème 21. Puisque $\widetilde{\gamma}=\gamma'_1-\gamma_1$, où $\gamma_1$ est le chemin fermé défini par le cercle de centre $a$ et de rayon $R_1$ orienté dans le sens direct et $\gamma'_1$ le chemin fermé défini par le cercle de centre $a$ et de rayon $R'_1$ orienté dans le sens direct, on a en fait

$$f(z)=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\gamma'_1}\frac{f(w)}{w-z} \mathrm{d}w- \frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\gamma_1}\frac{f(w)}{w-z} \mathrm{d}w.$$

Figure 11: Couronne ouverte et couronne compacte.

En reprenant la démonstration du Théorème d'analyticité des fonctions holomorphes, on montre que la première intégrale a pour valeur $\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(z-a)^n$ avec

$$a_n=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\gamma'_1}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}} \mathrm{d}w\;.$$

Pour la seconde intégrale, on remarque que si $w\in\mathrm{Im} \gamma_1$, on a $\vert w-a\vert<\vert z-a\vert$. On peut donc écrire

$$\frac{1}{w-z}=\frac{1}{w-a-(z-a)}=-\frac{1}{z-a}\sum_{m=0}^{+\inf... ...t (\frac{w-a}{z-a}\right )^m=-\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(w-a)^{n-1}}{(z-a)^n}.$$

Puisque la série de fonctions de terme général $\frac{f(w)(w-a)^{n-1}}{(z-a)^n}$ converge normalement sur $\mathrm{Im} \gamma_1$, on peut intégrer terme à terme et on trouve que

$$-\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\gamma_1}\frac{f(w)}{w-z} \mathrm{d}w=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{b_n}{(z-a)^n}$$

avec $b_n=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\gamma_1}f(w)(w-a)^{n-1} \mathrm{d}w$.

Pour calculer $a_n$ et $b_n$ on peut remplacer les chemins $\gamma_1$ et $\gamma'_1$ par n'importe quel cercle $\gamma_r$ de centre $a$ et de rayon $r$, $R<r<R'$, orienté dans le sens direct car si $\alpha$ n'est pas contenu dans la couronne $\{z\in\mathbb{C} \vert R<\vert z-a\vert<R'\}$

$$\mathrm{Ind}_{\gamma_1}(\alpha)=\mathrm{Ind}_{\gamma'_1}(\alpha)=\mathrm{Ind}_{\gamma_r}(\alpha)$$

et on peut appliquer le (iii) du théorème 21 aux fonctions $\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}$ et $f(w)(w-a)^{n-1}$. On en déduit que le développement obtenu est valable dans toute la couronne $\{z\in\mathbb{C} \vert R<\vert z-a\vert<R'\}$ et en posant $a_{-k}=b_k$ on obtient $f(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}} a_n (z-a)^n$ pour tout $z$ tel que $R<\vert z-a\vert<R'$ avec $a_n=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\gamma_r}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}} \mathrm{d}w$ pour tout $n\in\mathbb{Z}$.

Terminons en montrant l'unicité du développement de Laurent de $f$. Soient $\rho$ et $\rho'$ deux nombres réels tels que $R<\rho<\rho'<R'$, supposons que $f(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}} \widetilde{a}_n (z-a)^n$ pour tout $z$ tel que $\rho<\vert z-a\vert<\rho'$. Puisque les séries de Laurent convergent normalement sur tout compact de leur couronne de définition, on peut échanger l'intégrale et la sommation lors de l'intégration de la fonction $\frac{f(z)}{(z-a)^{k+1}}$ sur le cercle $\gamma_r$ de centre $a$ et de rayon r, $\rho<r<\rho'$. On obtient alors pour tout $k\in\mathbb{Z}$

$$a_k=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\gamma_r}\frac{f(w)}{(w-a)^{k+1}} \mathrm{d} w=\widetilde{a}_k,$$

d'où l'unicité du développement de Laurent de $f$. $\square$

Corollaire 13   Soient $f(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}} a_n (z-a)^n$ le développement de Laurent d'une fonction $f$ holomorphe dans la couronne $\{z\in\mathbb{C} \vert R<\vert z-a\vert<R'\}$ et, pour $r\in]R,R'[$, $M(r)=\sup_{\vert z\vert=r}\vert f(z)\vert$. Pour tout $n\in\mathbb{Z}$ et tout $r\in]R,R'[$, on a alors

$$\vert a_n\vert r^n\leqslant M(r).$$

Démonstration : Cela se déduit immédiatement de la formule de représentation intégrale des $a_n$.$\square$

Singularités isolées et développement de Laurent

Soient $a\in\mathbb{C}$, $r>0$ et $f$ une fonction holomorphe dans le disque épointé $D^*(a,r)=D(a,r)\setminus\{a\}\{z\in\mathbb{C} \vert 0<\vert z-a\vert<r\}$. Elle possède un développement de Laurent $f(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}} a_n (z-a)^n$ si $0<\vert z-a\vert<r$. Alors

(i) Si $a_n=0$ pour tout $n<0$, $a$ est une singularité illusoire pour $f$ et $f$ se prolonge holomorpiquement au disque de centre $a$ et de rayon $r$ par la série $\sum_{n\geqslant 0} a_n (z-a)^n$.

(ii) S'il existe $p>0$ tel que $a_{-p}\neq 0$ et $a_n=0$ si $n<-p$, $a$ est un pôle d'ordre $p$ de $f$ et la partie principale de $f$ en $a$ est $\sum_{n=1}^p a_{-n} \frac{1}{(z-a)^n}$.

(iii) S'il existe une infinité d'indices $n$ strictement négatifs tels que $a_n\neq 0$, la fonction $f$ a une singularité essentielle en $a$. On dit encore que $\sum_{n<0} a_n (z-a)^n$ est la partie principale de $f$ en $a$.

Ces trois cas représentant l'ensemble des possibilités et s'excluant mutuellement on a ainsi une caractérisation des singularités isolées d'une fonction holomorphe en fonction de son développement de Laurent.

De plus le coefficient $a_{-1}$ du développement de Laurent de $f$ sur $D^*(a,r)$ s'appelle le résidu de $f$ en $a$.

Théorème 23   Soient $f$ une fonction holomorphe dans un ouvert $U$ de $\mathbb{C}$ sauf en des points singuliers isolés et $K$ un compact à bord contenu dans $U$. On suppose que le bord de $K$ ne contient aucun point singulier de $f$. Alors les points singuliers de $f$ contenus dans $K$ sont en nombre fini et on a

$$\int_{\partial K} f(z) \mathrm{d}z=2\mathrm{i}\pi\sum_j \mathrm{Res}(f,z_j),$$

où $\partial K$ désigne le cycle définit par le bord orienté de $K$ et où les $z_j$ sont les points singuliers de $f$ contenus dans $K$.

Démonstration : L'ensemble $K$ étant compact, si les singularité de $f$ contenues dans $K$ étaient en nombre infini elles auraient un point d'accumulation qui ne pourrait pas être isolé.

Soient $z_1,\dots,z_k$ les points singuliers de $f$ contenus dans $K$. Pour $j=1,\dots,k$, $\overline{D}_j$ un disque fermé de centre $z_j$ et de rayon $r_j$ assez petit pour que $\overline{D}_j$ soit contenu dans $\overset\circ K$ et $\overline{D}_j\cap \overline{D}_l=\emptyset$ si $j\neq l$. Soit $\gamma_j$ le cercle orienté dans le sens direct bord de $\overline{D}_j$. Posons $K'=K\setminus(D_1\cup\dots\cup D_k)$, $K'$ est un compact à bord dont le bord orienté est représenté par le cycle $\partial K'=\partial K-\gamma_1-\dots-\gamma_k$.

On peut appliquer le (ii) du Théorème 21 à la fonction $f$ et au cycle $\partial K'$. On obtient

$$\int_{\partial K'} f(z) \mathrm{d}z=\int_{\partial K} f(z) \mathrm{d}z-\int_{\gamma_1}f(z) \mathrm{d}z-\dots-\int_{\gamma_k}f(z) \mathrm{d}z =0,$$

d'où

$$\int_{\partial K} f(z) \mathrm{d}z=2\mathrm{i}\pi\sum_{j=1}^k \mathrm{Res}(f,z_j)$$

en calculant $\int_{\gamma_j}f(z) \mathrm{d}z$ à l'aide du développement de Laurent de $f$ au voisinage de $\overline{D}_j\setminus\{z_j\}$.$\square$

Le théorème de l'indice pour les fonctions méromorphes et le théorème de Rouché s'étendent également aux compacts à bord. On compte alors les zéros et les pôles contenu à l'intérieur du compact.