Soient
et
. On note
Si la fonction se prolonge en une fonction holomorphe sur
(le prolongement est alors unique par le principe du prolongement
analytique), on dit que la singularité de
en
est
illusoire ou éliminable ou encore que
est une
fausse singularité ou un point régulier de
.
Puisque est holomorphe sur
et bornée au
voisinage de
, la fonction
est holomorphe sur
et continue sur
donc holomorphe sur
. Mais
si
est assez petit pour que
,
est
développable en série entière sur
(i) La fonction a une singularité illusoire en
.
(ii) Il existe un entier
, un réel
tel que
et une fonction
holomorphe sur le disque
vérifiant
et
pour
tout
. On dit alors que
a un pôle d'ordre
en
.
(iii) Pour tout tel que
, l'ensemble
est dense dans
. On dit alors que
a une singularité essentielle en
.
Si
,
a une fausse singularité en
et (i) est vérifiée.
Si , notons
la multiplicité du zéro
de
. Il
existe alors une fonction
holomorphe sur
vérifiant
et telle que
Fonctions méromorphes
Soient un ouvert connexe de
et
et
deux fonctions
holomorphes sur
non identiquement nulles. D'après le principe
des zéros isolés, l'ensemble
des zéros de
est une partie
localement finie de
. Considérons la fonction
,
elle est holomorphe sur
. Soient
et
la
multiplicité du zéro
de
. Au voisinage de
on a
Si
, alors
est un pôle de
. Si
, on peut
écrire
avec
et
holomorphe sur
telle que
puisque
n'est pas identiquement
nulle. Ainsi
, où
est une fonction
holomorphe au voisinage de
. Si
,
a une singularité
illusoire en
et si
,
est un pôle d'ordre
de
.
Dans tous les cas
est une fonction méromorphe sur
.
Remarque. En fait si est connexe, on peut prouver que toute fonction
méromorphe sur
s'écrit
avec
et
holomorphes dans
et
non identiquement nulle sur
.
Propriétés. Si est un ouvert de
, la
réunion de deux parties localement finies de
est encore une
partie localement finie. On en déduit que la somme et le produit de
deux fonction méromorphes dans
est encore une fonction
méromorphe dans
et que
a une structure naturelle de
-algèbre unitaire.
(i) La dérivée de
est méromorphe sur
et
et
ont
les mêmes pôles. Si
est un pôle d'ordre
de
, c'est un
pôle d'ordre
de
.
(ii) Supposons connexe et
non identiquement nulle sur
.
La fonction
est méromorphe sur
et les pôles de
sont simples.
Théorème des résidus
Démonstration : Puisque
De même si est un pôle d'ordre
de
, il existe alors
une fonction
holomorphe au voisinage de
telle que
et
et
Le Théorème des résidus appliqué à la fonction donne alors le
résultat puisque les zéros et les pôles de
ont été comptés avec
leur ordre de multiplicité.
Remarque. On peut se passer de l'hypothèse de finitude sur l'ensemble des
zéros et des pôles de
, car on peut s'y ramener facilement. En
effet l'image
de
est un compact de
donc il
existe
et
tels que
.
Alors
et
étant un ouvert
relativement compact de
,
ne possède qu'un nombre fini
de zéros et de pôles dans
. De plus si
, on a
car
appartient alors à la composante connexe
non bornée de
car
est étoilé.
Le Théorème de l'indice permet d'obtenir de nouveaux résultats sur les suites de fonctions holomorphes.
(i) Si les fonctions ne s'annulent pas sur
alors soit
est identiquement nulle sur
, soit
ne s'annule pas sur
.
(ii) Si les fonctions sont injectives sur
alors soit
est constante sur
, soit
est injective sur
.
Montrons (i). Supposons que est n'est pas identiquement nulle et
que
est un zéro de
. D'après le principe des zéros
isolés il existe
tel que
et
, si
. Soit
le cercle de centre
et de
rayon
parcouru dans le sens direct. D'après le Théorème de
l'indice, il existe
tel que
et
pour tout
car les
ne
s'annulent pas dans
.
Comme
si
, il existe
tel que
si
, soit encore
si
. De plus d'après le Théorème de Weierstraß, la suite
converge uniformément sur tout compact de
, en
particulier sur le cercle de centre
et de rayon
, image de
, donc la suite
converge
uniformément vers
sur le cercle de centre
et de rayon
.
Par conséquent
Prouvons (ii) maintenant. Supposons que n'est pas constante et
qu'il existe des points
et
de
tels que
.
Soient
et
des disque ouverts de centre respectif
et
, contenus dans
et disjoints. Puisque
n'est pas
identiquement nulle sur
, car
n'est pas constante, il
résulte de (i) qu'il existe une suite extraite
de la suite
telle que
ait un zéro dans
pour tout
. De
même une nouvelle extraction donne l'existence d'une suite extraite
de la suite
telle que
ait un zéro dans
pour tout
. Comme
et
sont disjoints, les fonctions
ne sont
donc pas injectives puisque
, ce qui contredit
l'hypothèse.
(i) la fonction (resp.
) n'a qu'un nombre fini
(resp.
) de zéros dans
comptés
avec leur ordre de multiplicité,
(ii) pour tout
, on a
,
alors
.
Prouvons tout d'abord le lemme suivant :
Posons
, alors
.
L'hypothèse implique
pour tout
et donc l'image de
est contenue dans le
disque de centre
et de rayon
. Par conséquent 0 appartient
à la composante connexe non bornée de
et donc
, d'où
Démonstration : [du Théorème de Rouché]
L'hypothèse implique que si
,
et
et que si
on a
Nous en déduisons facilement le corollaire suivant :
Comme application de ce corollaire nous pouvons donner une nouvelle démonstration du Théorème de d'Alembert.
Soit
, un polynôme de degré
. On
pose
et
. Puisque
est polynôme de
degré
, il existe
tel que pour
on ait
. Par conséquent
et
ne s'annulent pas
pour
et d'après le corollaire 10
et
ont le même nombre de zéros dans le disque de centre 0 et de rayon
, soit
. Le polynôme
possède donc exactement
racines
dans
.
Étude locale des applications holomorphes
Dans cette partie nous allons préciser grâce au Théorème de l'indice les propriétés locales des fonctions holomorphes que nous avons déjà démontrées comme le Théorème de l'application ouverte et le Théorème d'inversion locale.
Comme les zéros de et de
sont isolés, il existe
tel que le disque fermé
de centre
et de
rayon
soit contenu dans le domaine de définition de
et tel
que
et
pour tout
. Soit
le cercle de
centre
et de rayon
orienté dans le sens direct. D'après le
Théorème de l'indice on a
Puisque l'indice
est constant
sur la composante connexe
de
qui contient
, on a
pour tout
. D'après le Théorème de
l'indice, l'équation
Remarque.
Terminons en donnant une démonstration directe (sans passer par le calcul différentiel) du Théorème d'inversion locale pour les fonctions holomorphes.
Grâce au Théorème de l'indice, sous les hypothèses du Théorème
19, on peut expliciter l'application inverse locale de
à l'aide d'une formule intégrale.
Formule d'inversion locale. Considérons et
les voisinages de
et de
du Théorème 19
et supposons que
(i.e.
). D'après le Théorème
de l'indice, la solution
de l'équation
, pour
est donnée par
Plus généralement, pour toute fonction holomorphe sur
, on a
La formule intégrale donnant permet également de prouver
directement que
est holomorphe sur
.