L'objet de cette section est de donner des conditions sur un ouvert
de
qui permettent d'assurer l'existence de primitives pour les
fonctions continues définies sur cet ouvert.
Démonstration : La nécessité de la condition a été prouvée dans le premier exemple de la section 1.2.
Supposons la condition satisfaite, nous devons construire une
primitive de
sur chaque composante connexe de
. Sans
perte de généralité nous pouvons supposer que
est connexe. Pour
tout couple de points
,
de
, il existe donc un chemin de
classe
contenu dans
joignant
à
. Si
est un tel chemin, on définit le chemin
par
et on a
Montrons que
ne dépend pas du choix du
chemin
contenu dans
joignant
à
. Si
et
sont deux chemins de classe
contenus dans
joignant
à
. Notons
le chemin obtenu en
juxtaposant le chemin
et le chemin
, c'est un
chemin fermé de classe
par morceaux dans
(figure 5).
Par hypothèse on a donc
Fixons , on peut alors définir pour
Il reste à prouver que est une primitive de
sur
. Pour
assez petit pour que le segment
d'extrémités
et
soit contenu dans
on a
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Exemple. Un ouvert convexe est étoilé par
rapport à chacun de ses points.
Si est un triangle fermé de
, on désigne par
le chemin de classe
par morceaux constitué du
bord du triangle
parcouru une fois dans le sens direct.
Résumé. Soit est une fonction continue
dans un ouvert
de
.
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Théorèmes de Cauchy
Nous développons ici la théorie de Cauchy pour les domaines convexes ou étoilés.
Démonstration : Nous utilisons la méthode de Goursat. Soient
Posons
. La valeur absolue d'une au moins des quatre intégrales
est supérieure ou égale à
. Soit
le triangle correspondant à une
telle intégrale. En appliquant à
le raisonnement fait
pour
, on construit un triangle
tel que
La famille
est une suite décroissante de
compacts dont le diamètre tend vers 0, donc
. En effet
car sinon il existerait une
sous famille finie d'intersection vide, ce qui contredirait la
décroissance de la famille; elle est réduite à un point car le
diamètre des
tend vers 0.
Comme
,
est
-dérivable en
par
hypothèse. Par conséquent
étant donné, il existe
tel que pour
on ait
Remarque. Le résultat du théorème précédent reste vrai si on suppose que
est continue dans
et
-dérivable dans
privé d'un point
.
Démonstration : [de la remarque]
Il n'y a à traiter que le cas où
, l'autre cas
résultant directement du Théorème 12.
Si est un sommet de
, par exemple
.
D'après le Théorème 12, si
et
,
Si est sur un côté de
, on se ramène au cas
précédent en décomposant
en deux triangles en joignant
au sommet opposé. De même si
est à l'intérieur de
, on décompose
en trois triangles en joignant
à chacun des sommets de
(figure 8).
Cette extension nous sera utile ultérieurement. Mais en fait elle
n'est qu'apparente car on verra que si est continue sur
et
-dérivable dans
privé d'un point elle est
-dérivable
dans
.
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1) La fonction est
-dérivable dans
2) La fonction est holomorphe dans
3) La fonction est analytique dans
4) La fonction admet localement une primitive dans
5) Pour tout triangle contenu dans
, on a
.
Résumé. Soit est une fonction continue
dans un ouvert
de
.
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