Propriétés élémentaires des fonctions holomorphes

Nous décrivons ici les propriétés des fonctions holomorphes qui sont des conséquences directes de la formule de Cauchy pour les disques.

Inégalités de Cauchy

Le théorème suivant montre que, si $f$ est une fonction holomorphe, toutes les dérivées de $f$ en un point sont contrôlées par les valeurs de $f$ au voisinage de ce point.

Théorème 3   Si $f$ est une fonction holomorphe dans le disque de centre 0 et de rayon $R$, pour tout $r<R$ et $n\geqslant 0$ on a, si $f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$,

$$\vert a_n\vert=\frac{1}{n!}\vert f^{(n)}(0)\vert\leqslant \frac{M(r)}{r^n},$$

où $M(r)=\sup_{\vert z\vert=r}\vert f(z)\vert$.

Démonstration : D'après le Corollaire 1, la fonction $f$ étant holomorphe dans le disque $D(0,R)$, elle est développable en série entière dans ce disque et on a pour tout $r$ tel que $0<r<R$,

$$a_n=\frac{1}{n!}f^{(n)}(0) =\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\mathcal{C}(0,r)}\frac{f(w)}{w^{n+1}} \mathrm{d}w$$

$$=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(r\mathrm{e}^{\mathrm{i}t})r^{-n}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}nt} \mathrm{d}t$$

Si on pose $M(r)=\sup_{\vert z\vert=r}\vert f(z)\vert$, on a alors pour $n\geqslant 0$

$$\vert a_n\vert=\frac{1}{n!}\vert f^{(n)}(0)\vert\leqslant \frac{1... ...f(r\mathrm{e}^{\mathrm{i}t})\vert r^{-n} \mathrm{d}t\leqslant \frac{M(r)}{r^n}.$$

$\square$

Corollaire 3 (Théorème de Liouville)   Si $f$ est une fonction holomophe dans $\mathbb{C}$ tout entier (on dit alors que $f$ est une fonction entière) et si $f$ est bornée, alors $f$ est constante.

Démonstration : Puisque $f$ est holomorphe dans $\mathbb{C}$, il résulte du Corollaire 1 que $f$ est développable en série entière, soit $f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$ pour tout $z\in\mathbb{C}$. De plus il existe $M>0$ tel que $\vert f(z)\vert\leqslant M$ pour tout $z\in\mathbb{C}$, puisque $f$ est bornée. Les inégalités de Cauchy donnent alors $\vert a_n\vert\leqslant \frac{M}{r^n}$ pour tout $r>0$ et tout $n\geqslant 0$, ce qui implique $a_n=0$, si $n\geqslant 1$.$\square$

Corollaire 4 (Théorème de d'Alembert)   Tout polynôme à coefficients complexes non constant possède au moins une racine.

Démonstration : Raisonnons par l'absurde. Soit $P\in\mathbb{C}[X]$ un polynôme de degré strictement supérieur à $1$, supposons que $P$ n'admet pas de racine dans $\mathbb{C}$. La fonction $\frac{1}{P(z)}$ est alors entière et bornée puisque $\frac{1}{P(z)}\to 0$ quand $\vert z\vert\to\infty$, elle est donc constante par le Théorème de Liouville, d'où la contradiction.$\square$

Suites et séries de fonctions holomorphes

Nous allons voir comment les inégalités de Cauchy simplifient l'étude des suites et séries de fonctions dans le cas des fonctions holomorphes d'une variable complexe par rapport au cas des fonctions de classe $\mathcal {C}^1$ d'une ou plusieurs variables réelles.

Définition 8   Soit $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions sur un ouvert $U$ de $\mathbb{R}^n$. On dit que la suite $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge uniformément sur tout compact de $U$ vers la fonction $f$, si pour tout $\varepsilon>0$ et pour tout compact $K$ de $U$, il existe un entier $N=N(K,\varepsilon)$ tel que pour tout $n\geqslant N$ on a

$$\sup_{z\in K}\vert f_n(z)-f(z)\vert<\varepsilon.$$

Rappels

1) Si une suite $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de fonctions continues sur $U$ converge uniformément sur tout compact de $U$ vers une fonction $f$, alors la fonction $f$ est continue sur $U$.

2) Soient $U$ un ouvert convexe de $\mathbb{R}^n$, $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite d'applications de classe $\mathcal {C}^1$ de $U$ dans $\mathbb{R}^p$ et $x_0$ un point de $U$. Si la suite $(f_n(x_0))_{n\in\mathbb{N}}$ converge et si la suite $(df_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge uniformément sur tout compact de $U$ vers $G : U\to\mathcal{L}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^p)$, alors la suite $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge uniformément sur tout compact de $U$ vers une application $f$ de classe $\mathcal {C}^1$ telle que $df=G$.

Théorème 4 (de Weierstraß)   Soit $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions holomorphes sur un ouvert $U$ de $\mathbb{C}$ qui converge uniformément sur tout compact de $U$ vers une fonction $f$, alors $f$ est holomorphe sur $U$ et les suites $(f_n^{(j)})_{n\in\mathbb{N}}$ convergent uniformément sur tout compact de $U$ vers $f^{(j)}$.

Démonstration : Montrons tout d'abord la seconde assertion du théorème. Soit $K$ un compact de $U$ et $r=\frac{1}{2}d(K,\mathbb{C}\setminus U)$ si $U\neq\mathbb{C}$ et $r=1$ si $U=\mathbb{C}$, alors pour tout $z\in K$ le disque fermé $\overline{D(z,r)}\subset U$.

Soit $L=\cup_{z\in K} \overline{D(z,r)}=\{\zeta\in u \vert d(z,K\leqslant r)\}$, $L$ est une partie compacte de $U$. Les inégalités de Cauchy appliquées à la fonction $f_p-f_n$ impliquent que pour tout $z\in K$

$$\vert f_p^{(j)}(z)-f_n^{(j)}(z)\vert\leqslant \frac{j!}{r^j}\sup_{\zeta\in L} \vert f_p(\zeta)-f_n(\zeta)\vert.$$

Puisque la suite $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge uniformément sur $L$, on en déduit que les suites $(f_n^{(j)})_{n\in\mathbb{N}}$ sont uniformément de Cauchy sur $K$ et par conséquent convergent uniformément sur $K$. Il suffit alors d'appliquer à la suite $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ l'assertion 2) du rappel au voisinage de chaque point de $U$, car $df_n=f'_n \mathrm{d}z$.$\square$

Théorème 5   Soit $U$ un ouvert de $\mathbb{C}$ et $\Sigma f_n$ une série de fonctions holomorphes sur $U$ qui converge uniformément sur tout compact de $U$. Soit $f$ la somme de cette série, alors

(i) La fonction $f$ est holomorphe sur $U$ et la série $\Sigma f'_n$ converge uniformément sur tout compact de $U$ vers $f'$;

(ii) Si la série $\Sigma f_n$ est normalement convergente sur tout compact de $U$, il en est de même de la série $\Sigma f'_n$.

Démonstration : L'assertion (i) résulte du Théorème 4 en considérant la suite des sommes partielles de la série $\Sigma f_n$.

Montrons l'assertion (ii). Soit $K$ un compact de $U$ et $L$ défini comme dans la preuve du Théorème 4. Les inégalités de Cauchy donnent alors $\vert f'_n(z)\vert\leqslant \frac{1}{r}\sup_{\zeta\in L}\vert f_n(\zeta)\vert$ pour tout $z\in K$, soit $\sup_{\zeta\in K}\vert f'_n(\zeta)\vert\leqslant \frac{1}{r}\sup_{\zeta\in L}\vert f_n(\zeta)\vert$, ce qui prouve (ii).$\square$

Intégrales dépendant d'un paramètre

Soient $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$, $\lambda$ la mesure de Lebesgue sur $I$ et $U$ un ouvert de $\mathbb{C}$. On considère une fonction $f$ définie sur $U\times I$ et à valeurs dans $\mathbb{C}$.

On suppose que, pour tout $z\in U$, l'application $t\mapsto f(z,t)$ est $\lambda$-intégrable. Soit alors $F$ la fonction définie sur $U$ par

$$F(z)=\int_I f(z,t) d\lambda(t).$$

Théorème 6   On suppose que pour tout $t\in I$, la fonction $z\mapsto f(z,t)$ est holomorphe dans $U$ et que, pour tout compact de $U$, il existe une fonction numérique $g_K$, $\lambda$-intégrable telle que

$$\vert f(z,t)\vert\leqslant g_K(t)$$

pour tout $z\in K$ et tout $t\in I$. Alors la fonction $F$ définie par

$$F(z)=\int_I f(z,t) d\lambda(t)$$

est holomorphe dans $U$ et on peut dériver sous le signe $\int$, c'est-à-dire

$$F^{(n)}(z)=\int_I \frac{\partial^n f}{\partial z^n}(z,t) d\lambda(t)$$

pour tout $n\in\mathbb{N}$.

Remarque. L'existence de la fonction majorante $g_K$ est trivialement vérifiée si $f$ est continue sur $U\times I$ et si $I$ est compact (il suffit alors de prendre pour $g_K$ une fonction constante, la fonction $f$ étant bornée sur le compact $K\times I$). Démonstration : Montrons tout d'abord que $\frac{\partial^n f}{\partial z^n}(z,t)$ vérifie des majorations analogues à celles vérifiées par $f(z,t)$. Le compact $K$ de $U$ étant fixé, on considère le compact $L$ de $U$ défini par

$$L=\{z\in U \vert d(z,K)\leqslant r\},$$

où $r=\frac{1}{2}d(K,\mathbb{C}\setminus U)$ si $U\neq\mathbb{C}$ et $r=1$ si $U=\mathbb{C}$.

Les inégalités de Cauchy donnent

$$\sup_{z\in K}\vert\frac{\partial^n f}{\partial z^n}(z,t)\vert\leqslant n!r^{-n}\sup_{z\in L}\vert f(z,t)\vert,$$

soit encore

$$\sup_{z\in K}\vert\frac{\partial^n f}{\partial z^n}(z,t)\vert\leqslant n!r^{-n}g_L(t)$$ (4)

pour tout $z\in K$ et tout $t\in I$.

Par ailleurs on a pour tout $z\in U$

$$\frac{\partial f}{\partial z}(z,t)=\lim_{k\to\infty} k[f(z+\frac{1}{k},t)-f(z,t)],$$

la fonction $t\mapsto \frac{\partial f}{\partial z}(z,t)$ est donc $\lambda$-mesurable comme limite simple d'une suite de fonctions $\lambda$-mesurables. Par récurrence sur $n$, on montre que $t\mapsto \frac{\partial^n f}{\partial z^n}(z,t)$ est également $\lambda$-mesurable. La majoration (4) prouve alors que $t\mapsto \frac{\partial^n f}{\partial z^n}(z,t)$ est $\lambda$-intégrable, on peut donc considérer la fonction sur $U$ définie par

$$z\mapsto \int_I \frac{\partial^n f}{\partial z^n}(z,t) d\lambda(t).$$

Montrons maintenant que $F$ est holomorphe sur $U$. Soit $z_0\in U$ fixé et $r>0$ tel que le disque fermé $\overline{D(z_0,r)}$ soit contenu dans $U$. Posons $K=\overline{D(z_0,r)}$. Pour $h\in\mathbb{C}$ tel que $0<\vert h\vert\leqslant r$ on a

$$\frac{F(z_0+h)-F(z_0)}{h}=\int_I \frac{f(z_0+h,t)-f(z_0,t)}{h} d\lambda(t).$$

Si $h$ tend vers 0 en restant non nul, la fonction $t\mapsto \frac{f(z_0+h,t)-f(z_0,t)}{h}$ tend vers la fonction $t\mapsto \frac{\partial f}{\partial z}(z,t)$. D'autre part

$$f(z_0+h,t)-f(z_0,t)=\int_{[z_0,z_0+h]} \frac{\partial f}{\partial z} (\zeta,t) d\zeta,$$

d'où

$$\left\vert\frac{f(z_0+h,t)-f(z_0,t)}{h}\right\vert \leqslant \sup_{z\in K}\left\vert\frac{\partial f}{\partial z}(z,t)\right\vert$$

$$\leqslant \frac{1}{r}g_L(t),$$

qui est une fonction $\lambda$-intégrable indépendante de $h$, d'après(4). On déduit alors du théorème convergence dominée de Lebesgue que $F'(z)=\lim_{h\to 0}\frac{F(z_0+h)-F(z_0)}{h}$ existe et que $F'(z)=\int_I \frac{\partial f}{\partial z}(z,t) d\lambda(t)$. Une récurrence élémentaire termine la démonstration du théorème.$\square$

Exemple :

On considère la fonction $\Gamma(z)$ définie par l'intégrale

$$\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}\mathrm{e}^{-t} \mathrm{d}t$$

pour $\mathrm{Re} z>0$.

Soient $\varepsilon$ et $R$ deux réels strictement positifs, sur l'ensemble des $z\in\mathbb{C}$ tels que $0<\varepsilon\leqslant \mathrm{Re} z\leqslant R$, la fonction $t^{z-1}\mathrm{e}^{-t}$ possède une fonction majorante intégrable indépendante de $z$ car

$$\vert t^{z-1}\mathrm{e}^{-t}\vert \leqslant t^{\varepsilon-1}\mathrm{e}^{-t} \quad t\in[0,1]$$

$$\vert t^{z-1}\mathrm{e}^{-t}\vert \leqslant t^{R-1}\mathrm{e}^{-t} \quad t\in ]1,\infty[.$$

La fonction $\Gamma$ est donc holomorphe dans le demi-plan $\mathrm{Re} z>0$ et dans ce demi-plan on a

$$\Gamma'(z)=\int_0^\infty t^{z-1}\ln t  \mathrm{e}^{-t} \mathrm{d}t.$$

Propriété de la moyenne et principe du maximum

Définition 9   On dit qu'une fonction $f$ définie et continue sur l'ouvert $U$ de $\mathbb{C}$ possède la propriété de la moyenne si pour tout disque $\overline{D(a,r)}$ fermé inclus dans $U$, la valeur de $f$ en $a$ est égale à la moyenne de $f$ sur le cercle de centre $a$ et de rayon $r$, i.e.

$$f(a)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(a+r\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}) \mathrm{d}t.$$

Remarque. Si $f$ possède la propriété de la moyenne, il en est de même de $\mathrm{Re} f$ et $\mathrm{Im} f$.

Proposition 5   Si $f$ est holomorphe dans $U$, $f$ a la propriété de la moyenne dans $U$.

Démonstration : Si $\gamma$ désigne le cercle de centre $a$ et de rayon $r$ oriénté dans le sens positif, la formule de Cauchy donne

$$f(a)=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_\gamma\frac{f(w)}{w-a} \mathrm{d}w=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(a+r\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}) \mathrm{d}t.$$

$\square$

Définition 10   Soient $U$ un ouvert de $\mathbb{C}$, $a\in U$ et $f$ une fonction continue sur $U$. On dit que $f$ admet un maximum relatif en $a$ ou par abus de langage que $a$ est un maximum relatif, s'il existe un voisinage $V$ de $a$ tel que $\vert f(z)\vert\leqslant \vert f(a)\vert$ pour tout $z\in V$.

On dira que $f$ vérifie le principe du maximum dans $U$ si pour tout maximum relatif $a$ de $f$, $f$ est constante au voisinage de $a$.

Théorème 7   Une fonction $f$ définie et continue sur un ouvert $U$ de $\mathbb{C}$, qui possède la propriété de la moyenne, vérifie le principe du maximum.

Démonstration : Soit $a$ un maximum relatif de $f$ et $\rho>0$ tel que $\vert f(z)\vert\leqslant \vert f(a)\vert$ pour tout $z\in D(a,\rho)$.

Si $f(a)=0$, le théorème est évident, en effet $f\equiv 0$ dans $D(a,\rho)$.

Si $f(a)\neq 0$, quitte à multiplier $f$ par une constante convenable ( $\frac{\overline{f(a)}}{\vert f(a)\vert}$ par exemple) on peut supposer que $f(a)=\vert f(a)\vert>0$. Pour tout $r<\rho$, la propriété de la moyenne s'écrit

$$\vert f(a)\vert=f(a)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(a+r\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}) \mathrm{d}t,$$

d'où

$$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}[\vert f(a)\vert-f(a+r\mathrm{e}^{\mathrm{i}t})] \mathrm{d}t=0.$$

En particulier en prenant la partie réelle

$$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}[\vert f(a)\vert-\mathrm{Re} f(a+r\mathrm{e}^{\mathrm{i}t})] \mathrm{d}t=0.$$ (5)

Mais puisque $a$ est un maximum relatif de $f$, la fonction continue $\vert f(a)\vert-\mathrm{Re} f(a+r\mathrm{e}^{\mathrm{i}t})$ est positive ou nulle. La nullité de (5) implique pour tout $t$ et tout $r<\rho$ que

$$\vert f(a)\vert-\mathrm{Re} f(a+r\mathrm{e}^{\mathrm{i}t})=0.$$

Or $\vert f(a)\vert\geqslant \vert f(a+r\mathrm{e}^{\mathrm{i}t})\vert$ donc $\mathrm{Im} f(a+r\mathrm{e}^{\mathrm{i}t})=0$ et

$$f(a)=\mathrm{Re} f(a+r\mathrm{e}^{\mathrm{i}t})=f(a+r\mathrm{e}^{\mathrm{i}t})$$

pour tout $t$ et tout $r<\rho$.$\square$

Corollaire 5   Si $U$ est un ouvert connexe et $f$ une fonction holomorphe non constante sur $U$, $f$ n'admet pas de maximum relatif dans $U$.

Démonstration : Raisonnons par l'absurde, supposons que $f$ possède un maximum relatif en $a\in U$. Puisque $f$ est holomorphe, elle satisfait la propriété de la moyenne et d'après le Théorème 7 elle est donc constante au voisinage de $a$. L'analyticité de $f$ et la connexité de $U$ impliquent alors que $f$ est constante, ce qui contredit l'hypothèse.$\square$

Corollaire 6   Si $U$ est un ouvert connexe et $f$ une fonction holomorphe non constante sur $U$ telle que $\vert f\vert$ admet un minimum local dans $U$, alors ce minimum est nécessairement nul. En particulier $f$ s'annule au moins une fois dans $U$.

Démonstration : Soit $z_0\in U$ un minimum local pour $\vert f\vert$. Supposons que $\vert f(z_0)\vert\neq 0$, alors $\frac{1}{f}$ est définie et holomorphe au voisinage de $z_0$ et possède un maximum local en $z_0$, donc $f$ est constante d'après le principe du maximum (Corollaire 5, ce qui contredit l'hypothèse.$\square$

Nous donnons maintenant une formulation plus globale du principe du maximum.

Proposition 6   Soit $D$ un domaine (i.e. ouvert connexe) borné de $\mathbb{C}$ et $f$ une fonction continue sur $\overline{D}$ et holomorphe sur $D$. Soit $M=\sup_{z\in\overline{D}\setminus D} \vert f(z)\vert$, alors $\vert f(z)\vert\leqslant M$ pour tout $z\in D$. De plus, s'il existe $a\in D$ tel que $\vert f(a)\vert=M$, alors $f$ est constante sur $D$.

Démonstration : Soit $M'=\sup_{z\in\overline{D}} \vert f(z)\vert$, comme $f$ est continue sur $\overline{D}$, qui est compact, cette borne supérieure est atteinte en au moins un point de $\overline{D}$. Si elle est atteint en un point $a\in D$, alors $f$ est constante au voisinage de $a$ et donc constante sur l'ouvert connexe $D$ par prolongement analytique. Sinon $M'=M$ car la borne supérieure est alors atteinte sur $\overline{D}\setminus D$ et pour tout $z\in D$ on a $\vert f(z)\vert\leqslant M$.$\square$

Théorème 8 (Lemme de Schwarz)   Soit $f$ une fonction holomorphe dans le disque unité $D(0,1)$ de $\mathbb{C}$ vérifiant :

$$f(0)=0$$

$$\vert f(z)\vert\leqslant 1 \quad z\in D(0,1).$$

Alors pour tout $z\in D(0,1)$, on a

$$\vert f(z)\vert\leqslant \vert z\vert$$   et$$\quad \vert f'(0)\vert\leqslant 1.$$

De plus, ces inégalités sont strictes sauf s'il existe $\lambda\in\mathbb{C}$ tel que $\vert\lambda\vert=1$ et $f(z)=\lambda z$ pour tout $z\in D(0,1)$.

Démonstration : Dans $D(0,1)$ la fonction $f$ coïncide avec sa série de Taylor en 0, i.e.

$$f(z)=a_0+a_1 z+\dots+a_n z^n+\dots.$$

Or par hypothèse $a_0=0$ car $f(0)=0$ et par conséquent la fonction $g$ définie par

$$\left\{ \begin{aligned}g(z)&=\frac{f(z)}{z}\quad \mbox{si}\quad z\neq 0 g(0)&=f'(0) \end{aligned} \right.$$

est holomorphe sur le disque $D(0,1)$.

Puisque $\vert f(z)\vert<1$, on a $\vert g(z)\vert<\frac{1}{r}$ si $\vert z\vert=r<1$. Cette inégalité est encore valable pour $\vert z\vert\leqslant r$, d'après la variante du principe du maximum, par conséquent en faisant tendre $r$ vers $1$ on a $\vert g(z)\vert<1$, soit $\vert f(z)\vert\leqslant \vert z\vert$ pour tout $z\in D(0,1)$.

De plus s'il existe $z_0\in D(0,1)$ tel que $g(z_0)\vert=1$ alors , d'après la Proposition 6, la fonction $g$ est constante égale à $\lambda$, où $\vert\lambda\vert=1$ et $f(z)=\lambda z$ pour tout $z\in D(0,1)$.$\square$

Terminons cette section en prouvant le théorème de l'application ouverte pour les fonctions holomorphes à l'aide du principe du maximum.

Théorème 9 (de l'application ouverte)   Soit $U$ un ouvert connexe de $\mathbb{C}$. Si $f$ de $U$ dans $\mathbb{C}$ est une fonction holomorphe non constante, alors $f$ est une application ouverte,i.e. pour tout ouvert $V\subset U$, $f(V)$ est un ouvert de $\mathbb{C}$.

Démonstration : Soient $V$ un ouvert de $U$ et $a\in V$, nous devons prouver que $f(V)$ est un voisinage de $b=f(a)$.

Comme $f$ n'est pas constante, on peut trouver d'après le principe des zéros isolés un disque ouvert $D$ centré en $a$ tel que $\overline{D}\subset V$ et $f(z)-b$ ne s'annule pas sur $D\setminus \{a\}$. Soit $\varepsilon>0$ tel que $\vert f(z)-b\vert\geqslant\varepsilon$ sur $\partial D$ ( un tel $\varepsilon$ existe par compacité de $\partial D$. On va montrer que $D(b,\varepsilon/2)\subset f(\overline{D})\subset f(V)$.

Fixons $w\in D(b,\varepsilon/2)$ et considérons la fonction $f_w$ de $\overline{D}$ dans $\mathbb{C}$ définie par $f_w(z)=f(z)-w$. La fonction $f_w$ est continue donc la fonction $\vert f_w\vert$ atteint sa borne inférieure sur le compact $\overline{D}$. Par ailleurs

$$\vert f_w(z)\vert\geqslant \vert\vert f(z)-b\vert-\vert b-w\vert\vert>\frac{\varepsilon}{2}$$   si$$\quad z\in \partial D$$

et

$$\vert f_w(a)\vert=\vert b-w\vert<\frac{\varepsilon}{2}.$$

On en déduit que la borne inférieure de $f_w$ est atteinte en point de $D$. Comme $f_w$ n'est pas constante dans dans $D$, puisque $f$ ne l'est pas, la fonction $f_w(z)=f(z)-w$ s'annule au moins une fois dans $D$ d'après le Corollaire 6, ce qui signifie que $w\in f(D)$.$\square$