Allure locale des courbes gauches

Une courbe gauche est une courbe de $\mathbb{R}^3$ qui n'est pas plane. Dans cette partie, on considère les courbes paramétrées régulières gauches de classe $C^2$ de la forme :

$$\gamma : I\to \mathbb{R}^3.$$

L'étude de l'allure locale est plus compliquée que pour les courbes planes. En effet, pour une courbe plane paramétrée régulière, il n'y a qu'une seule direction normale en chaque point de la courbe. Pour une courbe gauche, il y a tout un plan qui est orthogonal au vecteur tangent à la courbe en chaque point, ce qui complique un peu son étude et introduit une nouvelle notion, celle de torsion.

Courbure et normale principale

Dans le cas des courbes planes, le signe de la courbure algébrique est lié au sens de parcours de la courbe et à l'orientation du plan. Pour une courbe gauche, il n'est plus possible d'avoir un signe de courbure cohérent : intuitivement, quand on se promène sur la courbe, on ne peut pas de manière naturelle dire où est la droite, et où est la gauche. On ne définit donc pas de courbure algébrique, mais uniquement une courbure (qui est toujours positive).

Définition 11   Soit $\gamma:I \to \mathbb{R}^3$ une courbe paramétrée normale régulière de classe $C^2$. La courbure de $\gamma$ au point $\gamma(s)$ est :

$$\kappa(s) = \Vert\gamma'(s)\Vert.$$

Proposition 8   La courbure d'une courbe paramétrée régulière $\gamma:I \to \mathbb{R}^3$ de classe $C^2$ au point de paramètre $t$ vaut :

$$\kappa(t) = \frac{\Vert\gamma'(t) \wedge \gamma''(t)\Vert}{\Vert\gamma'(t)\Vert^3}.$$

Démonstration : La preuve est similaire à celle pour les courbes planes.$\square$

Définition 12   Soit $\gamma:I \to \mathbb{R}^3$ une courbe régulière paramétrée normale de classe $C^2$.

• Un point $\gamma(s)$ est dit birégulier si $\kappa(s)\neq 0$ (i.e. $\gamma''(s)\neq 0$).
• La normale principale de $\gamma$ en un point birégulier $\gamma(s)$ est donnée par
  $$\overrightarrow{N}(s)= \frac{1}{\kappa(s)} \overrightarrow{T}'(s) = \frac{\gamma''(s)}{\Vert\gamma''(s)\Vert}.$$

De même que pour les courbes planes, la dérivée seconde $\gamma''(s)$ est orthogonale à $\gamma'(s)$ et indique la direction dans laquelle la courbe est courbée à l'ordre deux. Nous introduisons maintenant plusieurs définitions

Définition 13   Soit $\gamma:I \to \mathbb{R}^3$ une courbe régulière paramétrée par abscisse curviligne de classe $C^2$ et $\gamma(s)$ un point birégulier.

• Le plan osculateur en $\gamma(s)$ est le plan vectoriel engendré par $\overrightarrow{T}(s)$ et $\overrightarrow{N}(s)$
• Le rayon de courbure en $\gamma(s)$ est $R(s)=\frac{1}{\kappa(s)}$.
• Le centre de courbure en $\gamma(s)$ est $C(s)=\gamma(s) + R(s) \overrightarrow{N}(s)$.
• La développée de $\gamma$ est l'ensemble des centres de courbure.
• La sphère osculatrice est la sphère de centre $C(s)$ et de rayon $R(s)$.

Remarque : Comme pour les courbes planes, on peut montrer que ces définitions ne dépendent pas de la paramétrisation de la courbe géométrique.

Binormale et repère de Serret-Frenet

Comme dans le cas des courbes planes, le repère de Serret-Frenet est un repère orthonormé qui varie le long d'une courbe paramétrée. Le vecteur $\overrightarrow{T}(s)$ est unitaire tangent à la courbe, la normale principale $\overrightarrow{N}(s)$ est orthogonale à $\overrightarrow{T}(s)$. Il est naturel de compléter cela en une base orthonormée en posant :

$$\overrightarrow{B}(s) = \overrightarrow{T}(s) \wedge \overrightarrow{N}(s),$$

où $\wedge$ est le produit vectoriel défini par :

$$(u_1,u_2,u_3)\wedge(v_1,v_2,v_3)=(u_2v_3-u_3v_2,u_3v_1-u_1v_3,u_1v_2-u_2v_1).$$

Définition 14   Soit $\gamma:I \to \mathbb{R}^3$ une courbe régulière paramétrée régulière et $\gamma(s)$ un point birégulier.

• La binormale à $\gamma$ au point $\gamma(s)$ est le vecteur :
  $$\overrightarrow{B}(s) = \overrightarrow{T}(s) \wedge \overrightarrow{N}(s).$$

• Le repère de Serret-Frenet de $\gamma$ au point $\gamma(s)$ est le repère orthonormé direct :
  $$(\gamma(s),\overrightarrow{T}(s),\overrightarrow{N}(s),\overrightarrow{B}(s)).$$

Torsion d'une courbe

On va maintenant étudier la torsion d'une courbe, autrement dit chercher à savoir comment "tourne" le repère de Serret-Frenet autour de la droite tangente à la courbe. Pour mesurer cela, on a besoin de la dérivée du vecteur binormal $\overrightarrow{B}$. Comme $\overrightarrow{B}$ fait intervenir la dérivée seconde de la paramétrisation, on est obligé de considérer ici des paramétrisation de classe $C^3$.

On considère ici une courbe $\gamma:I \to \mathbb{R}^3$ paramétrée normale de classe $C^3$ et $\gamma(s)$ un point birégulier.

Proposition 9   Le vecteur $\overrightarrow{B}'(s)$ est colinéaire à $\overrightarrow{N}(s)$. En particulier, il existe une application continue $\tau:I\to \mathbb{R}$ qui vérifie :

$$\forall s \in I\quad \overrightarrow{B}'(s) = \tau(s) \overrightarrow{N}(s).$$

Démonstration : Pour tout $s\in I$, on a $\overrightarrow{B}(s).\overrightarrow{B}(s) = \Vert\overrightarrow{B}(s)\Vert^2=1$. En dérivant, on a:

$$\forall s \in I \quad \overrightarrow{B}'(s).\overrightarrow{B}(s) = 0.$$

De même, en dérivant le fait que pour tout $s\in I$ $\overrightarrow{B}(s).\overrightarrow{T}(s)=0$, on a :

$$\forall s \in I \quad \overrightarrow{B}'(s).\overrightarrow{T}(s... ...(s).\overrightarrow{T}'(s) = \overrightarrow{B}'(s).\overrightarrow{T}(s) =0.$$

Le vecteur $\overrightarrow{B}'(s)$ est donc orthogonal à $\overrightarrow{T}(s)$ et $\overrightarrow{B}(s)$. Il est alors colinéaire à $\overrightarrow{N}(s)$ et on pose $\tau(s) = \overrightarrow{B}'(s) . \overrightarrow{N}(s)$.$\square$

Définition 15   La torsion $\tau(s)$ d'une courbe paramétrée par abscisse curviligne $\gamma$ en un point $\gamma(s)$ est :

$$\tau(s) = \overrightarrow{B}'(s) . \overrightarrow{N}(s).$$

Proposition 10   La torsion est donnée pour tout $s\in I$ par :

$$\tau(s) = - \frac{\mbox{det}(\gamma'(s),\gamma''(s),\gamma'''(s))}{\Vert\gamma''(s)\Vert^2}.$$

Démonstration : Cela consiste à faire le calcul suivant:

$$\begin{array}{rll} \tau(s) &=&\overrightarrow{N}(s) . \overr... ...\gamma''(s),\gamma'''(s))}{\Vert\gamma''(s)\Vert^2} \end{array}$$

$\square$ En pratique, le résultat suivant peut permettre de calculer la torsion pour une paramétrisation générale.

Proposition 11   La torsion d'une courbe paramétrée $\gamma:I \to \mathbb{R}^3$ de classe $C^3$ en un point $\gamma(t)$ vaut

$$\tau(t) = - \frac{\mbox{det}(\gamma'(t),\gamma''(t),\gamma'''(t))}{\Vert\gamma'(t)\wedge \gamma''(t)\Vert^2}.$$

Démonstration : Admise.$\square$

La torsion mesure comment "tourne" le vecteur $\overrightarrow{B}$. Une interprétation géométrique de la torsion est donnée par la proposition suivante

Proposition 12   Soit $\gamma:I \to \mathbb{R}^3$ une courbe paramétrée régulière de classe $C^3$ dont tous les points sont biréguliers. Alors

   la courbe $$\gamma$$    est plane$$\quad \Longleftrightarrow \quad \forall t\in I, \tau(t)=0.$$

Démonstration : Voir exercice 15.$\square$

Formules de Serret-Frenet

Comme pour les courbes planes, en chaque point d'une courbe gauche paramétrée régulière, on a un repère de Serret Frenet. Ce repère bouge avec le paramètre de la courbe. Les formules de Serret-Frenet expriment justement la dérivée de ce repère.

Proposition 13 (Formules de Serret Frenet)   Soit $\gamma:I \to \mathbb{R}^3$ une courbe paramétrée normale régulière de classe $C^3$ et $\gamma(s)$ un point birégulier. Alors on a :

$$\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{T}'(s) = \kappa(s) ... ...w{B}'(s) = \tau(s) \overrightarrow{N}(s)\\ \end{array}\right.$$

Démonstration : Il ne reste que la deuxième formule à montrer. Pour cela, on va calculer les coordonnées de $\overrightarrow{N}'(s)$ dans la base de Serret-Frenet.
Pour tout $s\in I$, on a $\overrightarrow{N}(s).\overrightarrow{N}(s)=1$. En dérivant, cela donne :

$$\overrightarrow{N}'(s).\overrightarrow{N}(s)=0.$$

En dérivant le fait que pour tout $s\in I$ $\overrightarrow{B}(s).\overrightarrow{N}(s)=0$, on a :

$$\overrightarrow{N}'(s).\overrightarrow{B}(s) =-\overrightarrow{N}... ...row{B}'(s) =-\overrightarrow{N}(s).(\tau(s) \overrightarrow{N}(s)) =- \tau(s).$$

De même, en dérivant le fait que pour tout $s\in I$ $\overrightarrow{N}(s).\overrightarrow{T}(s)=0$, on a :

$$\overrightarrow{N}'(s).\overrightarrow{T}(s) =-\overrightarrow{N}... ...T}'(s) =-\overrightarrow{N}(s).(\kappa(s) \overrightarrow{N}(s)) =- \kappa(s).$$

$\square$