Exercices

Exercice 1   Pour chacune des courbes paramétrées suivantes :

$$\gamma_1 : t \mapsto (t^3 - t^4,t^6) \quad \gamma_2 : t\mapsto (t^2, t^2 +t^4) \quad \gamma_3 : t\mapsto (t^3, t^3 +t^5),$$

répondre aux questions suivantes

1. La courbe est-elle régulière en $t=0$ ?
2. En faisant un développement limité, indiquer la forme de la courbe au voisinage de $t=0$.

Exercice 2  

1. Déterminer la droite tangente à la courbe $\gamma : t \mapsto (R\cos t, R\sin t, 3t)$ en $t=\pi$.
2. Déterminer la droite tangente à la courbe $\gamma : t \mapsto (R\cos t, R\sin t, 3t)$ en $t=2\pi$.
3. Déterminer la droite tangente à la courbe $\gamma : t \mapsto ((t-1)^2, (t-1)^4)$ en $t=1$.
4. Déterminer la droite tangente à la courbe $\gamma : t \mapsto (t,\cos t)$ en $t=\pi/4$.
5. Déterminer la droite tangente à la courbe $\gamma : t \mapsto (t+2, 3t+4, t-5)$ en $t=1056$.

Exercice 3   On considère la courbe paramétrée donnée pour tout $t\in \mathbb{R}$ par

$$\gamma(t)=\left( ^3\sqrt{t},\vert t\vert\right)$$

1. Montrer que la courbe n'est pas régulière en $\gamma(0)$.
2. Montrer que la courbe admet une tangent en $\gamma(0)$.

Exercice 4   On considère les deux courbes paramétrées suivantes :

$$\begin{array}{cccl} \gamma_1:&\mathbb{R}&\to &\mathbb{R}^2\\... ...thbb{R}&\to &\mathbb{R}^2\\ &t&\mapsto & (t^2,t^3) \end{array}$$

1. Ces deux courbes sont-elles régulières ?
2. Quelle est la régularité de chacune de ces deux courbes ? (sont elles continues, de classe $C^1$, $C^2$, $C^n$, ... ?)
3. Donner l'allure locale de $\gamma$ au voisinage de $t=0$.
4. Que pouvez-vous dire du support géométrique de chacune de ces deux courbes ?
5. Quelle(s) conclusion(s) en tirez-vous ?

Exercice 5 (Courbe non rectifiable)   On considère la courbe paramétrée $\gamma : [0,1] \to \mathbb{R}^2$ définie par

$$\gamma(t) = \left\{\begin{array}{ll} (t,t\sin(\pi / t) ) &\mbox{ si } t\neq0\\ (0,0) & \mbox{ si } t=0. \end{array}\right.$$

1. Montrer que $\gamma$ est continue.
2. Montrer, géométriquement, que la longueur de la portion de courbe entre les paramètres $1/(n+1)$ et $1/n$ est au moins $2/(n+\frac{1}{2})$.
3. En déduire que la longueur de la courbe sur l'intervalle $[1/N,1]$ est plus grande que
   $$\sum_{n=1}^N\frac{2}{n+1}.$$

4. Montrer que la longueur de la courbe $\gamma$ est infinie.

Exercice 6   Dans l'espace euclidien de dimension trois, on considère le segment $\mathcal{C} = [A,B]$, où $A$ et $B$ sont deux points de l'espace.

1. Donner une paramétrisation de la courbe $\mathcal{C}$.
2. Donner une paramétrisation par abscisse curviligne de a courbe $\mathcal{C}$.
3. Quelle est la courbure de cette courbe ?
4. Quelle est sa torsion ?

Exercice 7   Calculer la longueur de l'arc de parabole $y=x^2$ entre les points $(0,0)$ et $(0,1)$.

Exercice 8   Calculer la longueur des courbes suivantes

• La courbe paramétrée par $t\in[-1,2] \mapsto (3t,3t^2)$.
• La courbe paramétrée par $t\in[0,\pi] \mapsto (\cos t + \cos^2 t, \sin t + \sin t \cos t)$.

Exercice 9   Déterminer une abscisse curviligne de la courbe paramétrée

$$\gamma(t)=\left\{ \begin{array}{rll} x(t) &= &t- sh(t) ch(t)\\ y(t) &= &2ch(t)(t) \end{array}\right.$$

Exercice 10   On considère l'ellipse d'équation

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$

1. Donner une paramétrisation de l'ellipse.
2. Calculer la longueur de l'ellipse.
3. Calculer la courbure de l'ellipse en tout point.
4. Quels sont les points les plus courbés?
5. Que pouvez-vous dire de la torsion de l'ellipse ?

Exercice 11   Calculer la courbure et la torsion des courbes paramétrées $\gamma_i : \mathbb{R}\to \mathbb{R}^3$ suivantes (avec $i \in \{1,2,3,4\}$) :

1. $\gamma_1(t) = (t,t+1,1-t^2)$.
2. $\gamma_2(t) = (a(t-\sin(t)),a(1-\cos(t)),bt)$, avec $a\in \mathbb{R}$ et $b\in \mathbb{R}$.
3. $\gamma_3(t) = (e^t,e^t,\sqrt{2t})$.
4. $\gamma_4(t) = (e^t\sin(t),e^t\cos(t),e^t)$.

Exercice 12   Déterminer la courbure et la torsion de la courbe paramétrée $\gamma: \mathbb{R}\to \mathbb{R}^3$ donnée pour tout $t\in \mathbb{R}$ par $\gamma(t)=(t^3,t,t^2)$.

Exercice 13   Soit $\gamma : I \to \mathbb{R}^2$ une courbe paramétrée par abscisse curviligne, régulière et de classe $C^2$. On suppose qu'il existe une application $\varphi : I \to \mathbb{R}$ telle que pour tout $t \in I$ $\gamma(t) = ( t , \varphi (t) )$.

1. Montrer que la courbure algébrique de la courbe est donnée par
   $$\overline{\kappa} = \frac{\varphi''}{(1+\varphi'^2)^{\frac{3}{2}}}.$$

2. À quelle condition $\gamma$ est-elle paramétrée par abscisse curviligne ?
3. Expliquer le résultat précédent à partir d'un dessin.

Exercice 14   Une courbe plane est souvent définie en coordonnées polaires par $r=r(\theta)$. Autrement dit, la paramétrisation de la courbe est de la forme :

$$\gamma(\theta) = (r(\theta)\cos \theta,r(\theta) \sin\theta),$$

où $\theta$ appartient à un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.

1. Calculer la longueur d'arc en coordonnées polaires.
2. Calculer la courbure en coordonnées polaires.

Exercice 15 (Caractérisation de la torsion)   Soit $\gamma:I \to \mathbb{R}^3$ une courbe paramétrée régulière de classe $C^3$ dont tous les points sont biréguliers. Montrer que:

   la courbe $$\gamma$$    est plane$$\quad \Longleftrightarrow \quad \forall t\in I, \tau(t)=0.$$

(Indication : on pourra prendre une paramétrisation par abscisse curviligne.)

Exercice 16 (Courbes cycloïdales)   Soit $a\in [0,1]$ et $\gamma_a:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$ la courbe définie par $\gamma_a(t)=(t-a\sin t,1-a\cos t)$. Cette courbe paramétrise le trajet d'un point d'une roue (de rayon $1$), lorsque celle-ci se déplace en ligne droite. Ce point se situe à une distance $a$ du centre de la route.

1. Montrer que $\gamma_a$ est régulier en 0 si et seulement si $a\neq 0$.
2. Pour $a=1$ et $a=1/2$, déterminer l'allure locale de la courbe au voisinage de 0.
3. Tracer les deux courbes correspondants à $a=1$ et $a=1/2$.

Exercice 17 (La tractrice ou "courbe du chien")   La tractrice est la courbe paramétrée $\gamma : ]0,\pi/2[\to \mathbb{R}^2$ donnée pour tout $t\in]0,\pi/2[$ par:

$$\gamma(t) = \left(\sin t, \cos t + \ln \tan \frac{t}{2} \right).$$

1. Montrer que $\gamma$ est régulière.
2. Déterminer une équation paramétrique de la droite $\mathcal{D}_t$ tangente à $\gamma$ au point $\gamma(t)$.
3. On note $p_t$ le point d'intersection des droites $\mathcal{D}_t$ et $(0y)$. Montrer que le segment $[\gamma(t),p_t]$ est de longueur $1$.
4. Dessiner cette courbe. Pourquoi, à votre avis, cette courbe s'appelle-t-elle aussi la courbe du chien ?

Exercice 18 (Interpolation d'Hermite)   On s'intéresse au problème suivant : étant donné deux points $p$ et $q$ du plan, et deux vecteurs $\overrightarrow{t_p}$ et $\overrightarrow{t_q}$, on cherche une courbe paramétrée joignant $p$ à $q$ dont la dérivée (à droite) en $p$ vaut $\overrightarrow{t_p}$ et la dérivée (à gauche ) en $q$ vaut $\overrightarrow{t_q}$. On note $(x_p,y_p)$, $(x_q,y_q)$, $(u_p,v_p)$ et $(u_q,v_q)$ les coordonnées respectives de $p$, $q$, $\overrightarrow{t_p}$ et $\overrightarrow{t_q}$. On suppose que $x_p \neq x_q$, $u_p=v_p=1$.

1. Montrer qu'il existe un unique polynôme $P_1$ tel que
   
   $P_1(x_p)=1$ et $P'_1(x_p)=P'_1(x_q)=P_1(x_q)=0$.
2. Montrer qu'il existe un unique polynôme $P_2$ tel que
   
   $P_2'(x_p)=1$ et $P'_2(x_q)=P_1(x_p)=P_1(x_q)=0$.
3. Déterminer un polynôme $P$ de degré trois tel que
   
   $P(x_p)=y_p$, $P(x_q)=y_q$, $P'(x_p)=v_p$ et $P'(x_q)=v_q$.
4. Que pouvez-vous dire de la courbe paramétrée $\gamma : t\in[x_p,x_q] \mapsto (t,P(t))$ ?

Exercice 19 (Polynôme de Bézier)   On considère la courbe plane paramétrée qui à $t\in [0,1]$ associe $\gamma(t)=(t,t^2)$. On rappelle que l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égaux à $2$ est une $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension $3$, dont la base des monômes $(e_0,e_1,e_2)$ est :

$$e_0 : t\mapsto 1 \quad e_1 : t\mapsto t \quad e_2 : t\mapsto t^2.$$

On définit les polynômes de Bernstein pour tout $t\in \mathbb{R}$ par :

$$B_0^2(t) = (1-t)^2, \quad B_1^2(t)=2t(1-t), \quad B_2^2(t) = t^2.$$

1. Déterminer des points $P_0$, $P_1$, $P_2$ tels que $\gamma = P_0 e_0 + P_1 e_1 + P_2 e_2$.
2. Déterminer des points $Q_0$, $Q_1$, $Q_2$ tels que $\gamma = Q_0 B_0^2 + Q_1 B_1^2 + Q_2 B_2^2$.
3. Que représentent les points $Q_0$ et $Q_2$ pour $\gamma$ ?
4. Que représente le vecteur $Q_1-Q_2$ et $Q_2-Q_1$ pour $\gamma$ ?

Exercice 20 (Difficile)   On considère une courbe paramétrée par abscisse curviligne, birégulière $\gamma:I\subset \mathbb{R}\to\mathbb{R}^3$ de classe $C^3$ (avec $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$). On suppose que la torsion $\tau$ ne s'annulle pas. On note $\kappa$ la courbure et $(T,N,B)$ la base de Serret-Frenet.
Par définition, on dit que $\gamma$ est une hélice généralisée s'il existe un vecteur constant $V_0$ tel que pour tout $s\in I$ l'angle entre les vecteurs $T(s)$ et $V_0$ est constant.
Le but de cet exercice est de donner des caractérisations des hélices généralisées.

1. Dessiner une hélice généralisée.
2. On suppose que $\gamma$ est une hélice généralisée. Montrer que le rapport $\kappa \over \tau$ est constant. (indication: on pourra dériver deux fois le produit scalaire de $T(s)$ et $V_0$).
3. Réciproque : on suppose maintenant que le rapport $\kappa \over \tau$ est constant. Montrer que $\gamma$ est une hélice généralisée. (indication: on pourra chercher $V_0$ sous la forme $T(s)+\lambda B(s)$ avec $\lambda \in \mathbb{R}$)
4. Montrer que $\gamma$ est une hélice généralisée si et seulement si $N$ appartient à un plan vectoriel constant.
5. Montrer que $\gamma$ est une hélice généralisée si et seulement si il existe un vecteur constant $W_0$ tel que pour tout $s\in I$ l'angle entre les vecteurs $B(s)$ et $V_0$ est constant.

Exercice 21 (Difficile)   On considère une courbe $\gamma:I\subset \mathbb{R}\to\mathbb{R}^3$ paramétrée par abscisse curviligne (avec $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$). On rappelle qu'un point $\gamma(s)$ est dit birégulier si $\gamma''(s)\neq 0$. En un point birégulier $\gamma(s)$, on note $(\gamma(s),T(s),N(s),B(s))$ le repère de Serret-Frenet.
On suppose tout d'abord que pour tout $s\in I$, $\gamma(s)$ est inclus dans une sphère de rayon $R$ et de centre $O$.

a)

Montrer que pour tout $s\in I$, $\gamma(s)$ appartient au plan vectoriel engendré par $N(s)$ et $B(s)$

b)

Montrer que $\gamma$ est une courbe birégulière.

(Indication pour a) et b) : on pourra dériver $s\mapsto \Vert\gamma(s)\Vert^2$).
On suppose maintenant en plus que la torsion $\tau$ ne s'annulle pas. On pose alors $\rho=1/k$ et $\sigma=1/\tau$.

c)

Montrer que pour tout $s\in I$, $<\gamma(s),N(s)>=-\rho(s)$.

d)

En dérivant l'expression précédente, exprimer $\gamma(s)$ comme combinaison linéaire de $N(s)$ et $B(s)$.

e)

En déduire que l'on a :

$$\rho^2 + \sigma^2 \left( \frac{d\rho}{ds}\right)^2 = constante$$

Exercice 22 (Difficile)   On s'intéresse ici à la réciproque de l'exercice 21. On considère une courbe $\gamma:I\subset \mathbb{R}\to\mathbb{R}^3$ paramétrée par abscisse curviligne (avec $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$). On rappelle qu'un point $\gamma(s)$ est dit birégulier si $\gamma''(s)\neq 0$. En un point birégulier $\gamma(s)$, on note $(\gamma(s),T(s),N(s),B(s))$ le repère de Serret-Frenet.
On suppose que :

i)

$\gamma$ est une courbe birégulière;

ii)

la torsion $\tau$ de $\gamma$ ne s'annulle pas;

iii)

$\rho'$ ne s'annulle pas (avec $\rho=1/k$);

iv)

on a l'équation :

$$\rho^2 + \sigma^2 \left( \frac{d\rho}{ds}\right)^2 = constante.$$

Le but de cette partie est de montrer que la courbe $\gamma$ est inclue dans une sphère.

1. Montrer que la dérivée de la fonction
   $$s\mapsto \gamma(s)+\rho(s)N(s)+\sigma(s)\frac{d\rho}{ds}(s) B(s)$$
   est nulle.
2. En déduire qu'il existe un point $\Omega$ de $\mathbb{R}^3$ tel que $\Vert\gamma(s)-\Omega\Vert$ soit constant.
3. Conclure.

Surfaces

Exercice 23   Trouver une équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point $(x_0,y_0,z_0)$

1. $f:(x,y,z)\mapsto=(x,y,\sqrt{21-x^2-y^2})$ avec $(x_0,y_0,z_0)=(1,2,4)$.
2. $f : (x,y)\mapsto (15x-2y,3x+17y+9,23x+17y+22)$ avec $(x_0,y_0,z_0)=f(2,3)$

Exercice 24   On demande à un étudiant de donner une équation du plan tangent à la surface paramétrée $f:(x,y)\mapsto (x^2-3y,2x^3-y^4,x)$ au point $f(0,0)$. Sa réponse est $z = 4x^2 - 3 y^2$.

1. Expliquer, sans calcul, pourquoi la réponse est mauvaise.
2. Donner la réponse exacte.

Exercice 25   Calculer l'aire des surfaces paramétrées suivantes:

1. $f:(t,\theta) \in ]0,\pi[\times]0,2\pi[\mapsto (R \cos t \cos \theta, R \cos t \cos \theta, R \sin t)$ avec $R\in \mathbb{R}$.
2. $f:(t,\theta)\in ]0,H[\times]0,2\pi[ \mapsto (a\cos \theta, a\sin \theta, t)$ (avec $a,H\in\mathbb{R}$)
3. $f:(t,\theta) \mapsto ((2 + \cos t) \cos \theta,(2+ \cos t) \cos \theta, \sin t)$.

Exercice 26   Soient $a$ et $b$ deux nombres réels et $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3$ la surface paramétrée par

$$f(x,y) = \left(x,y,\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\right).$$

Montrer que l'intersection du plan tangent avec le support géométrique de la surface est la réunion de deux droites sécantes.

Exercice 27   Soient $a$ et $b$ deux nombres réels, $f_1:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3$ et $f_2:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3$ les surfaces paramétrées par

$$f_1(x,y) = \left(x,y,\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^3}{b^2}\right)$$    et $$\quad f_2(x,y) = \left(x,y,\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^4}{b^2}\right)$$

1. Pour $i\in \{1,2\}$, déterminer l'espace tangent à la surface $f_i$ au point $m=f_i(0,0)=(0,0,0)$.
2. Donner la deuxième forme fondamentale en $m$ dans chacun des deux cas.
3. Quel est la position par rapport au plan tangent au point $m$ dans chacun des deux cas.
4. Que pouvez-vous en déduire ?

Exercice 28   Les deux surfaces paramétrées suivantes ont-elles le même support géométrique ?

1. $f_1:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3$ définie par $f_1(x,y) =(x,y,x^2+y^2)$
2. $f_2:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3$ définie par $f_2(t,\theta) = (t\cos \theta,t\sin \theta, t^2)$

Exercice 29   Une surface de révolution d'axe $(0z)$ est une surface paramétrée de la forme

$$f(t,\theta)=(\alpha(t)\cos \theta, \beta(t)\sin \theta, \beta(t))$$

avec $\theta\in [0,2\pi[$, $\alpha:I\to\mathbb{R}$ et $\beta:I\to\mathbb{R}$.

1. Pourquoi une telle surface s'appelle-t-elle ``surface de révolution"?
2. Calculer la deuxième forme fondamentale.
3. En déduire les deux courbures principales.
4. Application : calculer avec cette méthode les courbures principales de la sphère.

Exercice 30 (Difficile)   On considère la surface paramétrée $f:[0,2\pi]\times \mathbb{R}\to\mathbb{R}^3$ donnée par:

$$f(s,v)=(\cos s , \sin s, 0) + v(-\sin s, \cos s, 1).$$

1. Cette surface est dite réglée. Voyez-vous pourquoi? Donner une description géométrique de cette surface basée sur des droites.
2. Notons $x(s,v)$ $y(s,v)$ et $z(s,v)$ les coordonnées de $f(s,v)$. Calculer $x(s,v)^2+y(s,v)^2-z(s,v)^2$. Qu'en déduisez-vous?
3. Une surface de révolution est obtenue en faisant tourner une courbe autour d'un axe (voir l'exercice précédent pour une paramétrisation). Cette surface est-elle une surface de révolution? Si oui, donner l'axe de révolution ainsi que l'équation d'une courbe plane qui engendre la surface.
4. Calculer la deuxième forme fondamentale.
5. Que pouvez-vous dire du signe du produit des courbures principales ?