L'intégrale d'une fonction

La figure 2 montre qu'une bonne approximation de l'aire associée à $f$ demande que les intervalles de la subdivision pointée $D$ soient petits. On mesure cela en parlant de la finesse de $D$.

Définition 2   Soient $D= \{([a_{i-1},a_i],x_i)\}$ une subdivision pointée de $[a,b]$ et $\delta\in\mathbb{R}^{+*}$ un nombre réel strictement positif. La subdivision pointée $D$ est $\delta$-fine si les pas de $D$ sont bornés par $\delta$, c'est-à-dire :

$$\forall i=1,\ldots,n\;,\quad h_i=a_i-a_{i-1}\leqslant \delta\;.$$

Remarquons que si $\delta_*\leqslant \delta$, alors toute subdivision $\delta_*$-fine est aussi $\delta$-fine.

Définition 3   Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $[a,b]$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$.

1. On dit que $f$ est intégrable sur $[a,b]$ $($au sens de Riemann$)$ s'il existe un réel $A$, représentant l'aire algébrique située sous le graphe de $f$, tel que pour toute marge d'erreur $\varepsilon >0$ donnée a priori, on peut trouver un nombre $\delta\in\mathbb{R}^{+*}$ tel que pour toute subdivision pointée $D$ de $[a,b]$, $\delta$-fine, on ait :
   $$\vert S_D(f)-A\vert\leqslant\varepsilon \;.$$
   On dit alors que $\delta$ est $\varepsilon$-adapté à $f$.
2. Si $f$ est intégrable sur $[a,b]$, le nombre réel $A$ du point précédent est appelé intégrale (au sens de Riemann) de $f$ sur $[a,b]$ et noté $A=\displaystyle\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$. On écrit aussi :
   $$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \lim_{D} S_D(f)= \lim_{D} \sum_{i=1}^nf(x_i)(a_i-a_{i-1})\;.$$
   et on dit que $$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$$ est la limite des sommes de Riemann, lorsque la subdivision $D$ devient de plus en plus fine.

Si $\delta$ est $\varepsilon$-adapté, alors tout $\delta_*\leqslant \delta$ est encore $\varepsilon$-adapté. Nous utiliserons cette observation à plusieurs reprises dans la section suivante. La notation $\mathrm{d}x$ intervient pour rappeler qu'à la limite on considère des rectangles «infiniment fins»  de largeur $\mathrm{d}x$, considérée comme accroissement infiniment petit de la variable $x$ (figure 4). Le symbole $\smash{\int_a^b}$ se lit «somme de $a$ à $b$».

Figure 4: Intégrale de $f$ sur $[a,b]$.

Si la fonction $f$ est constante sur $[a,b]$, alors pour toute subdivision pointée $D$, la valeur de $S_D(f)$ est constante.

$$\Big(\forall x\in[a,b] ,\;f(x)=k\Big)\;\Longrightarrow\; S_D(f)= k(b-a)\;.$$

Dans ce cas, n'importe quel réel strictement positif est $\varepsilon$-adapté. Une fonction constante est donc intégrable, et son intégrale est bien l'aire du rectangle sous le graphe : la définition est cohérente avec l'intuition géométrique. Reprenons l'exemple de la fonction identité $f : x\mapsto x$ sur $[0,1]$ (figure 3). Considérons une subdivision pointée quelconque $D= \{([a_{i-1},a_i],x_i)\}$ de l'intervalle $[0,1]$. La somme de Riemann associée à $f$ sur $D$ peut être encadrée de la façon suivante.

$$S_1 = \sum_{i=1}^n a_{i-1}(a_i-a_{i-1}) \leqslant S_D(f) \leqslant \sum_{i=1}^n a_{i}(a_i-a_{i-1})=S_2\;.$$

La demi-somme de $S_1$ et $S_2$ vaut :

$$\frac{1}{2}(S_1+S_2) = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n a_i^2-a_{i-1}^2 = \frac{1}{2}(1^2-0^2)=\frac{1}{2} \;.$$

Leur demi-différence vaut :

$$\frac{1}{2}(S_2-S_1)= \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n(a_i-a_{i-1})^2 \leqslant \frac{1}{2}\max\{h_i\} \sum_{i=1}^n h_i = \frac{1}{2}\max\{h_i\}\;.$$

Fixons $\varepsilon >0$ et posons $\delta=2\varepsilon$. Si $D$ est $\delta$-fine, $\max h_i \leqslant \delta$. Le calcul ci-dessus montre qu'alors

$$\left\vert S_D(f)-\frac{1}{2} \right\vert\leqslant \varepsilon \;.$$

Donc $f$ est intégrable sur $[0,1]$ et son intégrale est $1/2$.

Proposition 2   Soit $f$ une fonction intégrable sur $[a,b]$ et $\gamma$ un réel tel que $\gamma\in[0,1]$. Alors :

$$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^n f\left(a+(i-1+\gamma)\frac{b-a}{n}\right)\;.$$

Considérons par exemple la somme :

$$\frac{1}{n^2}\left(\sqrt{1 (n-1)} + \sqrt{2 (n-2)} + \cdots + \sqrt{(n-1) 1}\right)\;,$$

qui peut s'écrire :

$$\frac{1}{n}\left(\sqrt{\frac{1}{n}\left(1-\frac{1}{n}\right)} + \... ...}{n}\right)} + \ldots + \sqrt{\left(1-\frac{1}{n}\right)\frac{1}{n}}\right)\;.$$

C'est une somme de Riemann associée à la fonction $${x\rightarrow \sqrt{x(1-x)}}$$ sur l'intervalle $[0,1]$. Sa limite, lorsque $n$ tend vers $+\infty$, est égale à : $$\int_{0}^{1}\sqrt{x(1-x)} \mathrm{d}x$$. Or, le graphe de cette fonction est un demi-cercle de rayon $1/2$. La limite est donc égale à la surface du demi-cercle, qui est $\pi/8$. Démonstration : Pour $n\geqslant 1$, on divise l'intervalle $[a,b]$ en $n$ intervalles égaux en posant

$$\forall i=0,\ldots,n\;,\quad a_{i} = a+i\frac{b-a}{n}\;.$$

Dans ce cas,

$$\forall i=1,\ldots,n\;,\quad h_i=h=\frac{b-a}{n}\;.$$

Pour $0\leqslant \gamma\leqslant 1$, posons

$$x_i = a+(i-1+\gamma)\frac{b-a}{n} =a_{i-1}+\gamma h\;.$$

Donc $x_i\in [a_{i-1},a_i]$ et $D=\{([a_{i-1},a_i],x_i)\}_{1\leqslant i\leqslant n}$ est une subdivision pointée de $[a,b]$. Pour $\gamma=0$, $x_i=a_{i-1}$ ; pour $\gamma=1$, $x_i=a_i$ ; pour $\gamma=1/2$, $x_i$ est le milieu de l'intervalle : ce sont les trois cas les plus fréquemment rencontrés. La somme de Riemann associée à $f$ sur $D$ est :

$$S_D(f)=\sum_{i=1}^nf(x_i)(a_i-a_{i-1}) =h\sum_{i=1}^nf(x_i) =\frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^n f\left(a+(i-1+\gamma)\frac{b-a}{n}\right)\;.$$

Si $\delta>0$, la subdivision $D$ est $\delta$-fine dès que $(b-a)/n\leqslant \delta$, c'est-à-dire :

$$n\geqslant(b-a)/\delta\;.$$

Si $\delta$ est $\varepsilon$-adapté à $f$, alors pour $n\geqslant (b-a)/\delta$,

$$\left\vert S_D(f)-\int_a^b f(x) \mathrm{d}x \right\vert\leqslant \varepsilon \;.$$

D'où le résultat.$\square$ La proposition suivante montre une façon de modifier une fonction sans modifier la valeur de son intégrale.

Proposition 3   Soit $U$ un sous-ensemble fini de points de $[a,b]$. Soit $f$ une fonction de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$, telle que :

$$\begin{array}{lcl} f(x)\neq 0 &\mbox{si}& x\in U\\ f(x)=0 &\mbox{si}& x\notin U\;. \end{array}$$

Alors $f$ est intégrable sur $[a,b]$ et son intégrale est nulle.

L'exemple standard de fonction ne satisfaisant pas les hypothèses de cette proposition est la fonction indicatrice des rationnels :

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{lcl} 1 &\mbox{si}& x\in \mathbb{Q}\\ 0 &\mbox{si}& x\notin \mathbb{Q}\;. \end{array}\right.$$

On peut démontrer que cette fonction n'est pas intégrable au sens de Riemann (voir exercice 4). Démonstration : L'ensemble $U$ est fini, par exemple $U=\{u_0,\ldots,u_h\}$. Notons :

$$\delta = \frac{\varepsilon }{\displaystyle{\sum_{k=0}^h \vert f(u_k)\vert}}\;.$$

Alors, si $D=\{([a_{i-1},a_i],x_i)\}_{0\leqslant i\leqslant n}$ est une subdivision pointée $\delta$-fine, la somme de Riemann $S_D(f)$ est bornée comme suit :

$$\vert S_D(f)\vert\leqslant \sum_{k=0}^h \vert f(u_k)\vert\delta =\varepsilon \;.$$

D'où le résultat.$\square$