Propriétés élémentaires de l'intégrale

Les propriétés énoncées dans cette section sont, dans l'ordre, la linéarité, la monotonie et la relation de Chasles. Elles sont obtenues à partir des propriétés analogues des sommes de Riemann (proposition 1).

Théorème 1 (Linéarité)   Soient $f$ et $g$ deux fonctions intégrables sur $[a,b]$ et $\lambda$ et $\mu$ deux constantes réelles. Alors $\lambda f+\mu g$ est intégrable sur $[a,b]$ et :

$$\int_a^b(\lambda f(x)+\mu g(x)) \mathrm{d}x =\lambda\int_a^b f(x) \mathrm{d}x+\mu\int_a^b g(x) \mathrm{d}x\;.$$

Démonstration : Posons :

$$A=\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$$   et$$\quad B=\int_a^b g(x) \mathrm{d}x\;.$$

Fixons $\varepsilon >0$. Par hypothèse, il existe deux réels $\delta_1$ et $\delta_2$ tels que, si $D$ est $\delta_1$-fine alors,

$$\vert S_D(f)-A\vert\leqslant\frac{\varepsilon }{\vert\lambda\vert+\vert\mu\vert}\;,$$

et si $D$ est $\delta_2$-fine alors,

$$\vert S_D(g)-B\vert\leqslant\frac{\varepsilon }{\vert\lambda\vert+\vert\mu\vert}\;.$$

Posons :

$$\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}\;.$$

Toute subdivision $D$ qui est $\delta$-fine est à la fois $\delta_1$-fine et $\delta_2$-fine. Donc :

$$\big\vert S_D(\lambda f+\mu g)-(\lambda A+\mu B)\big\vert = \big\vert\lambda(S_D(f)-A)+\mu(S_D(g)-B)\big\vert$$

$$\leqslant \vert\lambda\vert \vert S_D(f)-A\vert+\vert\mu\vert \vert S_D(g)-B\vert\leqslant\varepsilon \;.$$

Ceci montre que $\lambda f+\mu g$ est intégrable, et que son intégrale est $\lambda A+\mu B$.$\square$ Une conséquence de ce théorème et de la proposition 3 est que deux fonctions ont la même intégrale si elles ne diffèrent que sur un ensemble fini de points.

Corollaire 1   Soit $f$ une fonction intégrable sur $[a,b]$. Soit $U$ un ensemble fini de points de $[a,b]$ et $g$ une fonction de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$ telle que :

$$\forall x\in[a,b]\setminus U\;,\quad g(x)=f(x)\;.$$

Alors $g$ est intégrable sur $[a,b]$ et :

$$\int_a^b g(x) \mathrm{d}x = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x\;.$$

Démonstration : La fonction $g-f$ est non nulle sur un ensemble fini de points de $[a,b]$. Par application de la proposition 3, elle est intégrable et son intégrale est nulle. Donc $g=f+(g-f)$ est intégrable par le théorème 1 et son intégrale est :

$$\int_a^b g(x) \mathrm{d}x = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x +\int_a^b (g(x)-f(x)) \mathrm{d}x =\int_a^b f(x) \mathrm{d}x +0\;.$$

$\square$

Théorème 2 (Monotonie)   Soient $f$ et $g$ deux fonctions intégrables sur $[a,b]$. Si pour tout $x\in[a,b]$, $f(x)\leqslant g(x)$, alors :

$$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x\leqslant \int_a^b g(x) \mathrm{d}x\;.$$

Démonstration : Pour toute subdivision pointée $D$ de l'intervalle $[a,b]$, $S_D(f)\leqslant S_D(g)$. Soit $\varepsilon >0$. Soient $\delta_1$ un réel $\varepsilon$-adapté à $f$ et $\delta_2$ un réel $\varepsilon$-adapté à $g$. Le réel $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}$ est $\varepsilon$-adapté à la fois à $f$ et à $g$. Soit $D$ une subdivision $\delta$-fine. Posons :

$$A=\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$$   et$$\quad B=\int_a^b g(x) \mathrm{d}x\;.$$

Alors $A\leqslant S_D(f)+\varepsilon$ et $S_D(g)\leqslant B+\varepsilon$. Comme $S_D(f)\leqslant S_D(g)$, on obtient :

$$A\leqslant S_D(f)+\varepsilon \leqslant S_D(g)+\varepsilon \leqslant (B+\varepsilon )+\varepsilon .$$

Donc pour tout $\varepsilon >0$, $A\leqslant B+2\varepsilon$, ce qui entraîne $A\leqslant B$.$\square$ Par exemple, si une fonction est positive ou nulle sur l'intervalle d'intégration, son intégrale doit être positive ou nulle. Aussi, si $f$ et $\vert f\vert$ sont intégrables, puisque $-\vert f\vert\leqslant f\leqslant \vert f\vert$, on en déduit :

$$\left\vert\int_a^bf(x) \mathrm{d}x\right\vert\leqslant \int_a^b \vert f(x)\vert \mathrm{d}x\;.$$

Théorème 3 (Relation de Chasles)   Soient $a,b,c$ trois réels tels que $a<b<c$. Soit $f$ une fonction de $[a,c]$ dans $\mathbb{R}$. Si $f$ est intégrable sur $[a,b]$ et intégrable sur $[b,c]$, alors $f$ est intégrable sur $[a,c]$ et :

$$\int_a^c f(x) \mathrm{d}x=\int_a^b f(x) \mathrm{d}x+\int_b^c f(x) \mathrm{d}x\;.$$

Démonstration : D'après le corollaire 1, modifier $f$ en un point ne change rien : nous supposerons donc pour simplifier que $f(b)=0$. Définissons les deux fonctions $f_1$ et $f_2$, de $[a,c]$ dans $\mathbb{R}$, par :

$$f_1(x)=\left\{\begin{array}{lcl} f(x)&\mbox{si}&x\in[a,b[\\ 0&\mbox{si}&x\in[b,c] \end{array}\right.$$   et$$\quad f_2(x)=\left\{\begin{array}{lcl} 0&\mbox{si}&x\in[a,b]\\ f(x)&\mbox{si}&x\in ]b,c]\;. \end{array}\right.$$

La somme $f_1+f_2$ est égale à $f$. D'après le théorème 1 il suffit de démontrer que $f_1$ et $f_2$ sont intégrables sur $[a,c]$, avec :

$$\int_a^c f_1(x) \mathrm{d}x=\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$$   et$$\quad \int_a^c f_2(x) \mathrm{d}x=\int_b^c f(x) \mathrm{d}x\;.$$

Nous donnons la démonstration pour $f_1$, elle s'adapte facilement pour $f_2$. Soit $\varepsilon >0$. Soit $\delta$ un réel $(\varepsilon /3)$-adaptée pour $f$ sur $[a,b]$. Soit $D= \{([a_{i-1},a_i],x_i)\}$ une subdivision $\delta$-fine de $[a,c]$. Le point $b$ n'est pas nécessairement un des points de subdivision. Soit $k$ l'indice tel que $b\in[a_{k-1},a_{k}[$. Selon que le point $x_k$ est inférieur ou supérieur à $b$, la contribution de l'intervalle $[a_{k-1},a_{k}]$ à la somme de Riemann $S_D(f_1)$ sera $f(x_k)h_k$, ou bien 0. Considérons la subdivision $D_1$ de $[a,b]$, déduite de $D$ en remplaçant $a_{k}$ et $x_k$ par $b$, et en supprimant les intervalles $[a_{i-1},a_i]$ pour $i>k$. Puisque $D_1$ est $\delta$-fine, on a :

$$\left\vert S_{D_1}(f)-\int_a^b f(x) \mathrm{d}x \right\vert\leqslant \frac{\varepsilon }{3}\;.$$

Pour conclure, nous devons montrer que

$$\big\vert S_{D}(f_1)-S_{D_1}(f) \big\vert\leqslant \frac{2\varepsilon }{3}\;.$$

La différence de ces deux sommes de Riemann est :

$$\begin{array}{lclcl} S_{D}(f_1)-S_{D_1}(f)&=&0&\mbox{si}&x_k... ..._{D_1}(f)&=&f(x_k)(a_{k+1}-a_k)&\mbox{si}&x_k< b\;. \end{array}$$

Supposons $x_k<b$. Par définition de $\delta$, $h_k=a_{k}-a_{k-1}\leqslant\delta$ donc il existe une subdivision $\delta$-fine de $[a,b]$ dont le dernier intervalle est de longueur $h_k$ et contient $x_k$ et $b$. Selon que l'on pointe ce dernier intervalle en $x_k$ ou en $b$, on obtient deux sommes de Riemann dont la différence est précisément $f(x_k)h_k$. Comme $\delta$ est $(\varepsilon /3)$-adaptée pour $f$ sur $[a,b]$, on en déduit :

$$\vert f(x_k)h_k\vert\leqslant \frac{2\varepsilon }{3}\;.$$

D'où le résultat.$\square$ Pour des réels $a$, $b$ qui ne vérifient pas nécessairement $a<b$, on pose :

$$\int_a^bf(x) \mathrm{d}x = 0\quad\hbox{si $a=b$},\qquad \int_a^bf(x) \mathrm{d}x = -\int_b^af(x) \mathrm{d}x\quad\hbox{si $a>b$}\;.$$

On peut vérifier que la relation de Chasles reste valable dans tous les cas, quel que soit l'ordre des réels $a$, $b$ et $c$, à condition bien sûr que $f$ soit intégrable sur chacun des intervalles mis en jeu. Comme application de la relation de Chasles, nous allons démontrer l'intégrabilité des fonctions en escalier.

Définition 4   On appelle fonction en escalier sur $[a,b]$ une fonction $f$ telle qu'il existe une subdivision de $[a,b]$,

$$a=u_0<u_1<\cdots<u_p=b\;,$$

et des constantes réelles $c_i$, telles que pour tout $i=1,\ldots,p$,

$$\forall x\in]u_{i-1},u_{i}[\;,\quad f(x)=c_i\;,$$

les valeurs $f(u_i)$ étant quelconques, éventuellement différentes des valeurs $c_i$.

Proposition 4   Soit $f$ une fonction en escalier sur $[a,b]$, telle que

$$\forall x\in]u_{i-1},u_{i}[\;,\quad f(x)=c_i\;,$$

pour une subdivision $a=u_0<u_1<\cdots<u_p=b$ de $[a,b]$. La fonction $f$ est intégrable sur $[a,b]$ et son intégrale vaut :

$$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \sum_{i=1}^{p} c_i (u_{i}-u_{i-1})\;.$$

Démonstration : L'intégrale de la fonction constante qui vaut $c_i$ sur $[u_{i-1},u_{i}]$, est la surface du rectangle. Sur l'intervalle $[u_{i-1},u_{i}]$, la fonction $f$ diffère de la fonction constante au plus en deux points (les deux extrémités). D'après le corollaire 1, $f$ est donc intégrable sur $[u_{i-1},u_{i}]$, et son intégrale est $c_i(u_{i}-u_{i-1})$. Par la relation de Chasles, $f$ est donc intégrable sur la réunion des intervalles $[u_{i-1},u_{i}]$, et son intégrale est la somme des intégrales sur chacun des intervalles (cf. figure 5).$\square$

Figure 5: Fonction en escalier.