Exercices

Exercice 1   Démontrer les résultats suivants.

$$\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{n+i} =\int_0^1 \frac{1}{1+x} \mathrm{d}x = \ln(2)\;.$$

$$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \frac{n^2}{(n+i)^2} =\int_0^1 \frac{1}{(1+x)^2} \mathrm{d}x = \frac{1}{2}\;.$$

$$\lim_{n\rightarrow\infty} n\sum_{i=n}^{2n-1} \frac{1}{i^2} =\int_0^1 \frac{1}{(1+x)^2} \mathrm{d}x = \frac{1}{2}\;.$$

$$\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^2+2in}} =\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1+2x}} \mathrm{d}x = \sqrt{3}-1\;.$$

$$\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=0}^{2n} \frac{i}{i^2+n^2} =\int_0^2 \frac{x}{1+x^2} \mathrm{d}x = \frac{1}{2}\ln(5)\;.$$

$$\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n \sqrt{\frac{n-i}{n^3+n^2 i}} = \int_0^1 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2}-1\;.$$

Exercice 2   On considère la fonction $f : x\mapsto x^{-2}$, sur l'intervalle $[1,2]$. Soit $n\geqslant 1$. Soit $D$ la subdivision régulière de $[1,2]$ en $n$ intervalles égaux, pointée en la borne de droite de chaque intervalle.

1. Démontrer que
   $$S_D(f)=n\sum_{i=1}^n \frac{1}{(n+i)^2}\;.$$

2. Démontrer que
   $$n\sum_{i=1}^n \frac{1}{(n+i)(n+i+1)} < S_D(f) < n\sum_{i=1}^n \frac{1}{(n+i-1)(n+i)}\;.$$

3. En déduire que
   $$\frac{1}{2}< S_D(f)<\frac{n(n-2)}{n(2n-1)}\;.$$
   Indication : remarquer que
   $$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\;.$$

4. En déduire que
   $$\lim_{n\to\infty} S_D(f)=\frac{1}{2}\;.$$

Exercice 3   Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$. On considère la fonction exponentielle $f : x\mapsto \mathrm{e}^x$.

1. Soit $n\geqslant 1$ un entier. On considère la subdivision $D_1$ de $[a,b]$ en $n$ intervalles égaux, pointée par la borne de gauche de chaque intervalle. Démontrer que
   $$S_{D_1}(f)=\frac{(b-a)\mathrm{e}^a}{n} \frac{ \mathrm{e}^{b-a}-1}{\mathrm{e}^{(b-a)/n}-1}\;.$$

2. Soit $D_2$ la subdivision de $[a,b]$ en $n$ intervalles égaux, pointée par la borne de droite de chaque intervalle. Démontrer que
   $$S_{D_2}(f)=\mathrm{e}^{(b-a)/n}S_{D_1}(f)\;.$$

3. Démontrer que
   $$\lim_{n\to \infty} S_{D_1}(f)= \lim_{n\to \infty} S_{D_2}(f)=\mathrm{e}^b-\mathrm{e}^a\;.$$

Exercice 4   Soit $f$ la fonction indicatrice de $\mathbb{Q}$.

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{lcl} 1 &\mbox{si}& x\in \mathbb{Q}\\ 0 &\mbox{si}& x\notin \mathbb{Q}\;. \end{array}\right.$$

On rappelle que tout intervalle ouvert non vide de $\mathbb{R}$ contient des rationnels et des irrationnels. Soit $n$ un entier strictement positif. Pour $i=0,\ldots,n$, on pose $a_i=i/n$.

1. Montrer que pour tout $i=1,\ldots,n$, il existe $x_i$ et $y_i$ dans $[a_{i-1},a_i]$ tels que $f(x_i)=1$ et $f(y_i)=0$.
2. On considère les deux subdivisions pointées
   $$D_1=\{([a_{i-1},a_i],x_i)\}_{1\leqslant i\leqslant n}$$   et$$\quad D_2=\{([a_{i-1},a_i],y_i)\}_{1\leqslant i\leqslant n}\;.$$
   Montrer que $S_{D_1}(f)=1$ et $S_{D_2}(f)=0$.
3. En déduire que $f$ n'est pas intégrable au sens de Riemann sur $[0,1]$.

Exercice 5   Soit $f$ une fonction de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$ et $n$ un entier. On note $A_n$ l'intégrale suivante, si elle existe.

$$A_n = \int_a^b f(x)\sin(n x) \mathrm{d}x\;.$$

1. Soit $f$ une fonction dérivable sur $[a,b]$, dont la dérivée est continue et bornée sur $]a,b[$. Démontrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $A_n$ existe. En utilisant une intégration par parties, démontrer que $A_n$ tend vers 0 quand $n$ tend vers l'infini.
2. Soit $f$ une fonction en escalier sur $[a,b]$. Démontrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $A_n$ existe. En utilisant la relation de Chasles, démontrer que $A_n$ tend vers 0 quand $n$ tend vers l'infini.
3. Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$. Démontrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $A_n$ existe. En utilisant un encadrement par des fonctions en escalier, démontrer que $A_n$ tend vers 0 quand $n$ tend vers l'infini.
4. Soit $f$ une fonction continue par morceaux sur $[a,b]$. Démontrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $A_n$ existe. Démontrer que $A_n$ tend vers 0 quand $n$ tend vers l'infini.

Exercice 6   Soit $f$ une fonction continue de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$, telle que :

$$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = (b-a)\sup\{ f(x) ,\;x\in[a,b] \}\;.$$

Démontrer que $f$ est constante.

Exercice 7   Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$ telle que :

$$\int_0^1 f(x) \mathrm{d}x = 1/2\;.$$

Montrer qu'il existe $a\in[0,1]$, tel que $f(a)=a$.

Exercice 8   Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$.

1. Soit $g$ une fonction en escalier de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$. Démontrer que la fonction $fg$ est intégrable sur $[0,1]$.
2. On suppose que pour toute fonction en escalier $g$ de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$,
   $$\int_0^1 f(x)g(x) \mathrm{d}x =0\;.$$
   Montrer que la fonction $f$ est nulle.

Exercice 9   Soient $a$, $b$ et $c$ trois réels tels que $a\leqslant c<b$. Pour $n\in\mathbb{N}^*$, on définit la fonction $g_n$ sur $[a,b]$ par :

$$g_n(x)=\left\{\begin{array}{ll} n&\mbox{si } x\in[c,c+1/n]\\ 0&\mbox{sinon.} \end{array}\right.$$

1. Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$. Démontrer que
   $$\lim_{n\to \infty}\int_a^b f(x)g_n(x) \mathrm{d}x= f(c)\;.$$

2. Soit $f$ une fonction croissante sur $[a,b]$. Démontrer que
   $$\lim_{n\to \infty}\int_a^b f(x)g_n(x) \mathrm{d}x= \lim_{x\to c+} f(x)\;.$$

Exercice 10   Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$.

1. Démontrer que les fonctions $f^2$, $fg$, $g^2$ sont intégrables sur $[a,b]$.
2. Soit $\lambda$ un réel quelconque. Démontrer que la fonction $(f+\lambda g)^2$ est intégrable sur $[a,b]$ et exprimer son intégrale en fonction des intégrales de $f^2$, $fg$ et $g^2$.
3. En observant que l'intégrale de $(f+\lambda g)^2$ est positive ou nulle pour tout $\lambda\in\mathbb{R}$, démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz :
   $$\left(\int_{a}^{b}f(x)g(x) \mathrm{d}x\right)^2\leqslant \left(... ...^{b}f^2(x) \mathrm{d}x\right) \left(\int_{a}^{b}g^2(x) \mathrm{d}x\right)\;.$$

4. Démontrer que l'égalité a lieu si et seulement si $f$ et $g$ sont proportionnelles.