Sommes de Riemann

Dans tout le chapitre, $a$ et $b$ désignent deux réels tels que $a<b$. Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $[a,b]$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$. La portion du plan comprise entre le graphe de $f$ et l'axe horizontal est l'ensemble des couples $(x,y)$ tels que :

$$\left\{\begin{array}{lcl} 0\leqslant y\leqslant f(x)&\mbox{si}& f... ...\ f(x)\leqslant y\leqslant 0&\mbox{si}& f(x)\leqslant 0\;. \end{array}\right.$$

Pour une fonction $f$ suffisamment régulière, nous souhaitons évaluer l'aire de cette portion de plan, en comptant positivement les surfaces situées au-dessus de l'axe horizontal, et négativement celles situées au-dessous (figure 1). Nous parlerons de l'aire algébrique située sous le graphe de $f$.

Figure 1: Aire algébrique située sous le graphe de $f$.

L'idée est de découper l'intervalle $[a,b]$ au moyen d'une subdivision puis de sommer des aires de rectangles basés sur les intervalles de la subdivision.

Définition 1    

1. On appelle subdivision pointée de l'intervalle $[a,b]$, la donnée de $n+1$ points
   $$a=a_0<a_1<\cdots<a_n=b\;,$$
   et de $n$ points $x_1,\ldots,x_{n}$ tels que :
   $$\forall i=1,\ldots,n\;,\quad x_i\in[a_{i-1},a_i]\;.$$
   La subdivision pointée sera notée :
   $$D=\{([a_{i-1},a_i],x_i)\}_{1\leqslant i\leqslant n}\;.$$
   Les réels $h_i=a_i-a_{i-1}$ (amplitudes des intervalles) sont les pas de la subdivision pointée.
2. Soit $D$ une subdivision pointée de l'intervalle $[a,b]$ et $f$ une fonction de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$. On appelle somme de Riemann associée à $f$ sur $D$, le réel :
   $$S_D(f) = \sum_{i=1}^n f(x_i)(a_i-a_{i-1})= \sum_{i=1}^n f(x_i) h_i\;.$$

La somme de Riemann $S_D(f)$ est l'aire algébrique de la réunion des rectangles de largeur $h_i$ et de hauteur $f(x_i)$ (figure 2). Il s'agit bien d'une aire algébrique (c'est-à-dire pouvant être comptée positivement ou négativement, par opposition à une aire absolue), puisque $f(x_i)h_i$ est compté positivement si $f(x_i)>0$ et négativement si $f(x_i)<0$.

Figure 2: Somme de Riemann associée à $f$ sur $D$.

Intuitivement, l'aire $A$ cherchée est la limite de $S_D(f)$ quand les pas $h_i$ tendent vers 0. Un choix possible consiste à subdiviser en sous-intervalles égaux :

$$\forall i=0,\ldots,n\;,\quad a_{i} = a+i\frac{b-a}{n}\;.$$

Dans ce cas,

$$\forall i=1,\ldots,n\;,\quad h_i=\frac{b-a}{n}\;.$$

Comme premier exemple, considérons la fonction identité $f : x\mapsto x$ sur l'intervalle $[0,1]$. Pour $n\geqslant 1$, posons :

$$a_0=0 ,\;a_1=\frac{1}{n} ,\ldots,\;a_i=\frac{i}{n} ,\ldots,\; a_n=1\;.$$

Les pas de cette subdivision sont tous égaux à $1/n$. Voici trois calculs de sommes de Riemann, selon que l'on place les points $x_i$ au début, au milieu ou à la fin des intervalles $[a_{i-1},a_i]$ (on rappelle que la somme des entiers de $1$ à $n$ vaut $n(n+1)/2$).

$$\begin{array}{clclcc} x_i=a_{i-1} :&S_D(f) &=& \displaystyl... ...um_{i=1}^n i} &=&\displaystyle{ \frac{n+1}{2n}}\;. \end{array}$$

La seconde somme est égale à $1/2$ pour tout $n$, les deux autres tendent vers $1/2$ quand $n$ tend vers l'infini. Par ailleurs, l'aire du triangle sous le graphe de la fonction est bien $1/2$ (figure 3).

Figure 3: Sommes de Riemann associées à l'identité sur $[0,1]$.

Les trois propriétés des sommes de Riemann énoncées dans la proposition suivante sont très faciles à vérifier à partir de la définition 1. Nous les retrouverons comme propriétés des intégrales.

Proposition 1   Soit $D$ une subdivision pointée de l'intervalle $[a,b]$. Soient $f$ et $g$ deux fonctions de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$.

1. Linéarité : Pour tous $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$,
   $$S_D(\lambda f+\mu g)= \lambda S_D(f) + \mu S_D(g)\;.$$

2. Monotonie : Si pour tout $x\in[a,b]$, $f(x)\leqslant g(x)$, alors
   $$S_D(f) \leqslant S_D(g)\;.$$

3. Relation de Chasles : Soient $c>b$ un réel et $E$ une subdivision pointée de $[b,c]$. Soit $f$ une fonction définie sur $[a,c]$. Alors $D\cup E$ est une subdivision pointée de $[a,c]$ et :
   $$S_D(f) +S_E(f) = S_{D\cup E}(f)\;.$$