Applications contractantes

Le principal problème des suites récurrentes est que selon la valeur initiale $u_0$ et la fonction $F$ que l'on itère, tous les comportements sont possibles, même les plus sauvages. Pour vous en convaincre, essayez de suivre le plus longtemps possible la toile d'araignée de la figure 5.

Figure 5: Comportement chaotique d'une suite récurrente.

Il existe pourtant une situation particulièrement agréable, celle où l'application $F$ est contractante.

Définition 12   Soit $\rho$ un réel tel que $0<\rho<1$. Soit $F$ une application d'un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ dans lui-même. On dit que $F$ est contractante de rapport $\rho$ si pour tous $x$ et $y$ distincts dans $I$,

$$\vert F(x)-F(y)\vert\leqslant \rho\vert x-y\vert\;.$$

Théorème 12   Soit $F$ une application contractante. Alors $F$ possède un point fixe unique et pour tout $u_0\in I$ la suite des itérés $(F^{\circ n}(u_0))$ converge vers ce point fixe.

La démonstration sera l'occasion d'utiliser la notion de suite de Cauchy. Démonstration : Notons $u_n=F^{\circ n}(u_0)$. Nous allons montrer que la suite $(u_n)$ est une suite de Cauchy. Observons que pour tout $n\in \mathbb{N}$,

$$\vert u_{n+1}-u_n\vert\leqslant \rho \vert u_{n}-u_{n-1}\vert\;,$$

et donc par récurrence,

$$\vert u_{n+1}-u_n\vert\leqslant \rho^n \vert u_{1}-u_{0}\vert\;.$$

Utilisons l'inégalité triangulaire pour écrire :

$$\vert u_{n+k}-u_n\vert \leqslant \vert u_{n+1}-u_n\vert+\vert u_{n+2}-u_{n+1}\vert+\cdots+\vert u_{n+k}-u_{n+k-1}\vert$$

$$\leqslant \vert u_1-u_0\vert(\rho^n+\rho^{n+1}+\cdots+\rho^{n+k-1})$$

$$= \vert u_1-u_0\vert\rho^n(1+\rho+\cdots+\rho^{k-1})$$

$$= \vert u_1-u_0\vert\rho^n\frac{1-\rho^k}{1-\rho}$$

$$< \frac{\vert u_1-u_0\vert}{1-\rho} \rho^n\;.$$

Comme $\rho<1$, la suite géométrique $(\rho^n)$ tend vers 0, donc la distance $\vert u_{n+k}-u_n\vert$ peut être rendue arbitrairement petite, pour $n$ assez grand. Donc $(u_n)$ est une suite de Cauchy.

Par le théorème 8, la suite $(u_n)$ converge. Soit $l$ sa limite. La suite $(F(u_n))$ est telle que :

$$\vert F(u_n)-F(l)\vert<\vert u_n-l\vert\;.$$

Donc $(F(u_n))$ converge vers $F(l)$ ($F$ est continue) et $F(l)=l$. S'il y avait deux points fixes différents $l$ et $l'$, ils seraient tels que

$$\vert l-l'\vert=\vert F(l)-F(l')\vert<\vert l-l'\vert\;,$$

ce qui est impossible.$\square$