Fractions continues

Voici une autre situation où l'on rencontre des suites adjacentes comme approximations numériques d'un réel. Nous allons construire par récurrence une suite de rationnels $(u_n)$ qui encadrent un réel $x$ de manière optimale, en un sens qui sera précisé plus loin.

On construit d'abord une suite d'entiers $(a_n)$ de la façon suivante. Soit $(a_0)$ la partie entière de $x$. On calcule l'inverse de la partie décimale, $1/D(x)$ qui est un réel supérieur à $1$. On note $a_1$ sa partie entière. On itère ensuite le procédé, en prenant pour chaque entier la partie entière de l'inverse de la partie décimale. Voici ce que cela donne pour $x=\pi$.

$$\begin{array}{lll} a_0 = \lfloor \pi \rfloor &= 3 & d_0=\pi-... ...x] a_5 = \lfloor 1/d_4 \rfloor &= 1 & d_5=1/d_4-a_5 \end{array}$$

Vous pourrez vérifier que la suite $(a_n)$ associée à $\sqrt{2}$ est $(1,2,2,2,\ldots)$. La suite associée au nombre d'or $\phi=(1+\sqrt{5})/2$ est $(1,1,1,1,\ldots)$. La suite des entiers $a_0,a_1,a_2,\ldots$ étant donnée, on fabrique une suite de rationnels $u_n$ en reprenant le processus à l'envers.

$$u_0=a_0 ,\;u_1=a_0+\frac{1}{a_1} ,\; u_2=a_0+\frac{1}{\displaystyle{a_1+\frac{1}{a_2}}}\;.$$

Le terme général $u_n$ est

$$u_n = a_0+\frac{1}{\displaystyle{a_1+ \frac{1}{\displaystyle{a_2+\frac{1}{\ddots+\displaystyle{\frac{1}{a_n}}}}}}}$$

Le terme «fraction continue» est assez clair. Il n'y a pourtant pas de rapport direct avec les fonctions continues. Il vaudrait mieux dire, comme en anglais, «fraction continuée». Voici les premiers termes de la suite $(u_n)$ pour $x=\pi$, et la valeur numérique de $\pi-u_n$. Le premier terme $u_1=22/7$ était déjà connu d'Archimède comme approximation de $\pi$. Le troisième, $355/113$ a été proposé par Adrien Métius en 1624. Les Chinois, tel Zu Zhong Chi au V^e siècle, connaissaient ces deux approximations. L'exemple tel que nous le présentons, figure dans un texte écrit par Leonhard Euler (1707-1783) en 1748.

$$\begin{array}{\vert c\vert cr\vert} \hline n&u_n&\multicolum... ...frac{104348}{33215}& -0.0000000003\ [1.5ex] \hline \end{array}$$

Les $u_n$ s'approchent rapidement de $\pi$, et de plus ils encadrent la valeur exacte : les deux sous-suites $(u_{2k})$ et $(u_{2k+1})$ sont adjacentes. On démontre le résultat suivant.

Théorème 11   Soit $x$ un réel et $(u_n)$ la suite des fractions continues associée à $x$. Les deux suites $(u_{2k})$ et $(u_{2k+1})$ sont adjacentes et convergent vers $x$.

Pour tout $n$, notons $h_n$ et $b_n$ les deux entiers premiers entre eux tels que $u_n=h_n/b_n$. Alors :

$$\frac{1}{b_n(b_{n+1}+b_n)}<\left\vert x-\frac{h_n}{b_n}\right\vert <\frac{1}{b_nb_{n+1}}\;.$$

Cet encadrement montre que l'erreur commise en approchant $x$ par $u_n$ est majoré par l'inverse du carré du dénominateur. La taille du dénominateur est en quelque sorte le prix que l'on accepte de payer pour une approximation rationnelle de $x$. On démontre que parmi les rationnels dont le dénominateur est inférieur ou égal à $b_n$, c'est $u_n$ qui est le plus proche de $x$. L'approximation par fractions continues est donc la meilleure possible.