Séries à termes quelconques

Quand une série n'est pas à termes positifs, la première chose à faire est d'examiner la série des valeurs absolues, ou des modules s'il s'agit de nombres complexes.

Définition 3   On dit que la série $\sum u_n$ est absolument convergente si la série $\sum \vert u_n\vert$ converge.

Théorème 8   Une série absolument convergente est convergente.

Démonstration : Supposons pour commencer que les $u_n$ sont réels. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, notons

$$u_n^+ = \left\{\begin{array}{ll} u_n&\mbox{si } u_n\geqslant 0\\ 0&\mbox{si } u_n< 0 \end{array}\right.$$   et$$\quad u_n^- = \left\{\begin{array}{ll} 0&\mbox{si } u_n\geqslant 0\\ -u_n&\mbox{si } u_n< 0 \end{array}\right.$$

Pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$$0\leqslant u_n^+\leqslant \vert u_n\vert$$   et$$\quad 0\leqslant u_n^-\leqslant \vert u_n\vert$$

Par le théorème de comparaison, si $\sum \vert u_n\vert$ converge, alors $\sum u_n^+$ et $\sum u_n^-$ convergent. Par linéarité, $\sum u_n^+-u_n^-$ converge, or $u_n^+-u_n^-=u_n$. D'où le résultat. Passons maintenant au cas où les $u_n$ sont complexes. Notons $a_n$ la partie réelle de $u_n$ et $b_n$ sa partie imaginaire. Pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$$0\leqslant \vert a_n\vert\leqslant \vert u_n\vert$$   et$$\quad 0\leqslant \vert b_n\vert\leqslant \vert u_n\vert\;.$$

Par le théorème de comparaison, si $\sum \vert u_n\vert$ converge, alors $\sum\vert a_n\vert$ et $\sum \vert b_n\vert$ convergent aussi. Donc $\sum a_n$ et $\sum b_n$ convergent, en appliquant le cas des séries à termes réels. Donc $\sum u_n$ converge (proposition 1).$\square$ Par exemple, pour tout $\theta$, la série

$$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}}{n^2} \;$$ est absolument convergente.

En effet, $\vert\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}}{n^2}\vert=\frac{1}{n^2}$ et $\sum \frac{1}{n^2}$ converge.

Comme autre exemple, pour tout complexe $z$, la série exponentielle

$$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!} \;$$ est absolument convergente,

car $\sum \frac{r^n}{n!}$ converge pour tout réel positif $r$ (application du critère de d'Alembert). Il existe des séries convergentes, mais qui ne sont pas absolument convergentes. Considérons par exemple

$$u_n = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{k+1}&\mbox{si } n=2k [2ex] \frac{-1}{k+1}&\mbox{si } n=2k+1 \end{array}\right.$$

Les termes successifs s'annulent deux à deux, de sorte que les sommes partielles valent

$$s_n = \left\{ \begin{array}{cl} \frac{1}{k+1}&\mbox{si } n=2k [2ex] 0&\mbox{si } n=2k+1 \end{array}\right.$$

La suite des sommes partielles tend vers 0. Par contre la suite des sommes partielles de $\sum \vert u_n\vert$ tend vers $+\infty$, par comparaison avec la série de Riemann $\sum \frac{1}{n}$. Pour traiter ce type de cas, on dispose du théorème suivant, dit théorème d'Abel (un résultat analogue existe pour les intégrales).

Théorème 9   Soient $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ deux suites telles que :

1. La suite $(a_n)_{n\geqslant N}$ est une suite décroissante de réels positifs, et tend vers 0.
2. Les sommes partielles de la suite $(b_n)_{n\geqslant N}$ sont bornées :
   $$\exists M ,\;\forall n\in \mathbb{N}\;,\quad \vert b_0+\cdots+b_n\vert\leqslant M\;.$$
   Alors la série $\sum a_nb_n$ converge.

Démonstration : L'idée de la démontration est d'effectuer un changement dans la sommation, qui s'apparente à une intégration par parties. Pour tout $n\geqslant 0$, posons $B_n=b_0+\cdots+b_n$. Par hypothèse, la suite $(B_n)$ est bornée. Nous écrivons les sommes partielles de la série $\sum a_nb_n$ sous la forme suivante.

$$\begin{array}{lcl} s_n=a_0b_0+a_1b_1+\cdots+a_nb_n &=& a_0B_... ...)\\ &=& B_0(a_0-a_1)+B_1(a_1-a_2)+\cdots+B_na_n\;. \end{array}$$

Comme $B_n$ est borné, et $a_n$ tend vers 0, le terme $B_na_n$ tend vers 0. Nous allons montrer que la série $\sum B_n(a_n-a_{n+1})$ est absolument convergente. En effet,

$$\vert B_n(a_n-a_{n+1})\vert = \vert B_n\vert(a_n-a_{n+1})\leqslant M(a_n-a_{n+1})\;,$$

car la suite $(a_n)$ est une suite de réels positifs, décroissante, et $\vert B_n\vert$ est borné par $M$. Or :

$$M(a_0-a_1)+\cdots+M(a_n-a_{n+1}) = M(a_0-a_{n+1})\;,$$

qui tend vers $Ma_0$ puisque $(a_n)$ tend vers 0. La série $\sum M(a_n-a_{n+1})$ converge, donc la série $\sum\vert B_n(a_n-a_{n+1})\vert$ aussi, par le théorème de comparaison 3. Donc la série $\sum B_n(a_n-a_{n+1})$ est convergente, donc la suite $(s_n)$ est convergente.$\square$ Le cas d'application le plus fréquent est celui où $b_n=\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}$.

Corollaire 3   Soit $\theta$ un réel tel que $\theta \neq 2k\pi ,\;\forall k\in\mathbb{Z}$. Soit $(a_n)$ une suite de réels positifs, décroissante, tendant vers 0 à l'infini. Les séries

$$\sum \mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}a_n\;,\quad \sum\cos(n\theta)a_n\;,\quad \sum\sin(n \theta)a_n \;$$ convergent.

Démonstration : Pour appliquer le théorème d'Abel 9 avec $b_n=\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}$, nous devons vérifier que les sommes partielles de la suite $(\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta})$ sont bornées. Or $\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}=(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})^n$, et par hypothèse $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ est différent de $1$. On a donc :

$$\begin{array}{lcl} \vert 1+\cdots+\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\th... ...rt\frac{2}{1-\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}}\vert\;. \end{array}$$

D'où le résultat. La convergence des séries $\sum\cos(n\theta)a_n$ et $\sum\sin(n\theta)a_n$ est une conséquence directe de la proposition 1.$\square$ Un cas particulier fréquemment rencontré est celui où $\theta=\pi$, soit $b_n=(-1)^n$. On parle alors de série alternée.

Terminons par une mise en garde : il n'est pas possible de remplacer $a_n$ par un équivalent à l'infini dans le théorème 9, car la décroissance n'est pas conservée par équivalence. Voici par exemple deux séries alternées.

$$\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \;$$ converge,$$\qquad \sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n} \;$$ diverge.

Le théorème 9 s'applique a la première, mais pas à la seconde, car si la suite $\frac{1}{\sqrt{n}+(-1)^n}$ est positive (pour $n\geqslant 2$), elle n'est pas décroissante. Pourtant, on a bien :

$$\frac{1}{\sqrt{n}+(-1)^n}\;\mathop{\sim}_{+\infty}\; \frac{1}{\sqrt{n}}$$

Pour montrer que $\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n}$ diverge, calculons :

$$\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}-\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n} = (-1)^n\frac{\sqrt{n}+(-1)^n-\sqrt{n}}{n+(-1)^n\sqrt{n}} = \frac{1}{n+(-1)^n\sqrt{n}}\;.$$

Ceci est le terme général d'une série à termes positifs divergente (équivalente à la série de Riemann $\sum \frac{1}{n}$). La différence de deux séries convergentes ne peut pas être divergente. Or $\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ converge, donc $\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n}$ diverge.