Critères de Cauchy et de d'Alembert

Rappelons tout d'abord que la série géométrique $\sum r^n$ converge si $\vert r\vert<1$, diverge sinon. Les critères de Cauchy et de d'Alembert permettent de comparer une série à termes positifs avec les séries géométriques. Pour comparer $u_n$ avec $r^n$, le critère de Cauchy porte sur $\sqrt[n]{u_n}=(u_n)^{\frac{1}{n}}$, le critère de d'Alembert sur $\frac{u_{n+1}}{u_n}$. Voici le premier.

Théorème 6   (Critère de Cauchy) Soit $\sum u_n$ une série à termes positifs ou nuls.

$\bullet$

S'il existe une constante $r<1$ et un entier $n_0$ tels que pour tout $n\geqslant n_0$,

$$\sqrt[n]{u_n}<r<1\;,$$   alors$$\quad \sum u_n \;$$ converge.

$\bullet$

S'il existee un entier $n_0$ tel que pour tout $n\geqslant n_0$,

$$\sqrt[n]{u_n}>1\;,$$   alors$$\quad \sum u_n \;$$ diverge.

Démonstration : Rappelons que la nature de la série ne dépend pas de ses premiers termes. Dans le premier cas,

$$\sqrt[n]{u_n}<r\Longrightarrow u_n<r^n\;.$$

Si $0<r<1$, alors la série $\sum r^n$ converge, d'où le résultat par le théorème de comparaison 3.

Dans le second cas,

$$\sqrt[n]{u_n}>1\Longrightarrow u_n>1\;.$$

Le terme général ne tend pas vers 0, donc la série diverge. $\square$ Comme exemple d'application, revenons sur les développements décimaux. Étant donnée une suite $(a_n)$ d'entiers tous compris entre 0 et $9$, la série $\sum \frac{a_n}{10^n}$ converge. En effet, $\sqrt[n]{u_n}=\frac{1}{10}\sqrt[n]{a_n}$. Or $\sqrt[n]{a_n}\leqslant \sqrt[n]{9}=\exp(\frac{1}{n}\ln(9))$, qui tend vers $1$. Donc il existe $n_0$ tel que pour $n>n_0$, $\sqrt[n]{u_n}<\frac{2}{10}$, et la première partie du critère s'applique. Observons que la suite $\sqrt[n]{u_n}$ ne converge pas, sauf si les $a_n$ sont tous nuls ou tous non nuls : $\sqrt[n]{a_n}$ vaut 0 si $a_n=0$.

Dans les cas où la suite $(\sqrt[n]{u_n})$ converge, la position de sa limite par rapport à $1$ détermine la nature de la série $\sum u_n$.

Corollaire 1   Soit $\sum u_n$ une série à termes positifs, telle que $\sqrt[n]{u_n}$ converge vers $l$.

$\bullet$

Si $l<1$ alors $\sum u_n$ converge.

$\bullet$

Si $l>1$ alors $\sum u_n$ diverge.

Si $\sqrt[n]{u_n}$ tend vers $1$, on ne peut pas conclure en général. Démonstration : Par définition de la limite, si $l<1$, alors il existe $n_0$ tel que pour tout $n>n_0$,

$$\sqrt[n]{u_n}<l+\frac{1-l}{2}=\frac{l+1}{2}<1\;,$$

et le premier cas du théorème 6 s'applique.

Si $l>1$, alors il existe $n_0$ tel que pour tout $n>n_0$,

$$\sqrt[n]{u_n}>l-(l-1)=1\;,$$

et le second cas du théorème 6 s'applique.$\square$ Par exemple,

$$\sum \left(\frac{2n+1}{3n+4}\right)^n \;$$ converge,

car $\sqrt[n]{u_n}$ tend vers $\frac{2}{3}<1$.

$$\sum \left(\frac{2n+4}{2n+1}\right)^n \;$$ diverge,

car $\sqrt[n]{u_n}>1$.

Le critère de Cauchy ne s'applique ni aux séries de Riemann, ni aux séries de Bertrand.

$$\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{n^{-\alpha}}= \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{n^{-1}(\ln(n))^{-\beta}}=1\;.$$

Or certaines de ces séries convergent, d'autres divergent. Le critère de d'Alembert est plus facile à appliquer, par contre il échoue plus souvent que celui de Cauchy.

Théorème 7   (Critère de d'Alembert) Soit $\sum u_n$ une série à termes strictement positifs.

$\bullet$

S'il existe une constante $r<1$ et un entier $n_0$ tels que pour tout $n\geqslant n_0$,

$$\frac{u_{n+1}}{u_n}<r<1\;,$$   alors$$\quad \sum u_n \;$$ converge.

$\bullet$

S'il existe un entier $n_0$ tel que pour tout $n\geqslant n_0$,

$$\frac{u_{n+1}}{u_n}>1\;,$$   alors$$\quad \sum u_n \;$$ diverge.

Démonstration : Rappelons que la nature de la série ne dépend pas de ses premiers termes. Dans le premier cas, on vérifie par récurrence que :

$$\frac{u_{n+1}}{u_n}<r\Longrightarrow u_n<u_{n_0}r^{-n_0}r^n\;.$$

Si $0<r<1$, alors la série $\sum r^n$ converge, d'où le résultat par le théorème de comparaison 3.

Si $\frac{u_{n+1}}{u_n}>1$, la suite $(u_n)$ est croissante, elle ne peut donc pas tendre vers 0 et la série diverge. $\square$ Observons que le théorème ne peut s'appliquer que si les $u_n$ sont tous non nuls. En particulier, il ne s'applique pas aux développements décimaux, contrairement au critère de Cauchy.

Définissons la suite $u_n$ par :

$$u_n = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{3^k}&\mbox{si } n=2k [2ex] \frac{2}{3^{k+1}}&\mbox{si } n=2k+1 \end{array}\right.$$

Le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ vaut $\frac{2}{3}$ si $n$ est pair, $\frac{1}{2}$ si $n$ est impair. Il est donc toujours inférieur à $2/3$, et la série converge.

Définissons maintenant :

$$u_n = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{2^k}{3^k}&\mbox{si } n... ...[2ex] \frac{2^k}{3^{k+1}}&\mbox{si } n=2k+1 \end{array}\right.$$

Le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ vaut $\frac{1}{3}$ si $n$ est pair, $2$ si $n$ est impair. Le critère de d'Alembert ne s'applique pas. Pourtant, $\sqrt[n]{u_n}$ converge vers $\sqrt{\frac{2}{3}}<1$, donc le critère de Cauchy s'applique (la série converge).

Ici encore, quand la suite $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ converge, la position de la limite par rapport à $1$ détermine la nature de la série.

Corollaire 2   Soit $\sum u_n$ une série à termes positifs, telle que $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ converge vers $l$.

$\bullet$

Si $l<1$ alors $\sum u_n$ converge.

$\bullet$

Si $l>1$ alors $\sum u_n$ diverge.

Si $\lim \frac{u_{n+1}}{u_n}=1$, on ne peut pas conclure en général. Démonstration : Par définition de la limite, si $l<1$, alors il existe $n_0$ tel que pour tout $n>n_0$,

$$\frac{u_{n+1}}{u_n}<l+\frac{1-l}{2}=\frac{l+1}{2}<1\;,$$

et le premier cas du théorème 7 s'applique.

Si $l>1$, alors il existe $n_0$ tel que pour tout $n>n_0$,

$$\frac{u_{n+1}}{u_n}>l-(l-1)=1\;,$$

et le second cas du théorème 7 s'applique.$\square$ Par exemple, pour tout réel positif $r$, la série exponentielle

$$\sum \frac{r^n}{n!} \;$$ converge.

car $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{r}{n+1}$ tend vers $0<1$. (On pourrait aussi appliquer le critère de Cauchy, mais c'est moins facile.)

$$\sum \frac{n!}{1\cdot 3 \cdots (2n-1)} \;$$ converge,

car $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n+1}{2n+1}$ tend vers $\frac{1}{2}<1$.

$$\sum \frac{(2n)!}{(n!)^2} \;$$ diverge,

car $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}$ tend vers $4>1$.

Le critère de d'Alembert ne s'applique ni aux séries de Riemann, ni aux séries de Bertrand.

$$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n^{-\alpha}}{(n+1)^{-\alpha}}= \l... ...row\infty} \frac{n^{-1}(\ln(n))^{-\beta}} {(n+1)^{-1}(\ln(n+1))^{-\beta}}=1\;.$$

Plus généralement, si $u_n$ est une fraction rationnelle en $n$ et $\ln(n)$, alors les deux critères échouent. Dans ce cas, il faut calculer un équivalent et appliquer le théorème 4.

Nous avons vu un exemple pour lequel seul le critère de Cauchy donnait la réponse. Il est en effet plus puissant, comme le montre la proposition suivante.

Proposition 4   Soit $(u_n)$ une suite à termes positifs.

   Si $$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = l$$   alors$$\quad \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{u_n} = l\;.$$

Démonstration : Pour tout $\varepsilon>0$, il existe $n_0$ tel que pour tout $n\geqslant n_0$,

$$l-\varepsilon<\frac{u_{n+1}}{u_n}<l+\varepsilon\;.$$

Par récurrence, on en déduit :

$$u_{n_0}(l-\varepsilon)^{n-n_0}<{u_n}<u_{n_0}(l+\varepsilon)^{n-n_0}\;.$$

or :

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{u_{n_0}(l-\varepsilon)^{n-n_0}} = l-\varepsilon$$   et$$\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{u_{n_0}(l+\varepsilon)^{n-n_0}} = l+\varepsilon\;.$$

Donc il existe $n_1>n_0$ tel que pour $n>n_1$,

$$l-2\varepsilon<u_n<l+2\varepsilon\;,$$

d'où le résultat.$\square$