Comparaison de fonctions

Dans cette section, $a$ est un réel quelconque, et nous considérons la limite (bilatérale) d'une fonction $f$ en $a$, au sens de la définition 3. Toutes les fonctions sont supposées être définies au voisinage de $a$, sauf peut-être en $a$.

Tous les résultats de la section valent aussi pour des limites à gauche, à droite, en $-\infty$ et en $+\infty$. L'adaptation des démonstrations aux autres types de limite est un exercice conseillé.

Le résultat de base pour comparer deux limites est le suivant.

Théorème 5   Soient $a$ un réel, $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle ouvert $I$ contenant $a$. Si pour tout $x\in I$, $f(x)\leq g(x)$, alors

$$\lim_{x\rightarrow a}f(x) \leqslant\lim_{x\rightarrow a}g(x)\;.$$

Démonstration : Supposons $\lim f(x)> \lim g(x)$. Alors la limite en $a$ de la fonction $f-g$ est strictement positive. Notons $l$ cette limite. Il existe $\eta>0$ tel que $0<\vert x-a\vert\leqslant \eta$ entraîne $f(x)-g(x)\in [\frac{l}{2},\frac{3l}{2}]$, donc $f(x)-g(x)>0$, ce qui contredit l'hypothèse.$\square$ Le fait de supposer $f(x)<g(x)$ ne renforce pas la conclusion : bien que $\vert x\vert<2\vert x\vert$ pour tout $x\in\mathbb{R}^*$,

$$\lim_{x\rightarrow 0} \vert x\vert =\lim_{x\rightarrow 0} 2\vert x\vert=0\;.$$

Le théorème 5 ne permet pas de démontrer que l'une des deux fonctions $f$ ou $g$ converge en $a$. Pour cela, on utilise souvent le résultat suivant.

Théorème 6   Soient $f$ et $g$ deux fonctions telles que $g(x)$ tend vers 0 quand $x$ tend vers $a$. S'il existe un intervalle ouvert $I$ contenant $a$ tel que pour tout $x\in I$, $\vert f(x)\vert\leqslant \vert g(x)\vert$, alors $f(x)$ tend vers 0 en $a$.

Démonstration : Pour tout $\varepsilon >0$, il existe $\eta$ tel que pour $0<\vert x-a\vert\leqslant \eta$ :

$$\vert f(x)\vert\leqslant \vert g(x)\vert\leqslant \varepsilon \;,$$

d'où le résultat.$\square$ On en déduit le corollaire suivant.

Corollaire 1   Soient $f$, $g$ et $h$ trois fonctions telles que quand $x$ tend vers $a$, $f(x)$ et $h(x)$ convergent vers la même limite $l$. Supposons de plus qu'il existe un intervalle ouvert $I$ contenant $a$, tel que pour tout $x\in I$,

$$f(x)\leqslant g(x)\leqslant h(x)\;.$$

alors $g(x)$ converge vers $l$.

Démonstration : Il suffit d'appliquer le théorème 6 aux deux fonctions $h-g$ et $h-f$. $\square$ Soit par exemple

$$\begin{array}{rcl} &g&\\ \mathbb{R}^*&\longrightarrow&\mathbb{R}\\ x&\longmapsto&g(x)=x\sin(1/x) \end{array}$$

Posons $f(x)=-\vert x\vert$, $h(x)=\vert x\vert$. Les deux fonctions $f$ et $h$ tendent vers 0 en 0, et pour tout $x\in\mathbb{R}^*$,

$$f(x)\leqslant g(x)\leqslant h(x)$$

Donc $g(x)$ tend vers 0 quand $x$ tend vers 0, comme $f$ et $h$ (cf. figure 1).

La comparaison vaut aussi pour les limites infinies.

Théorème 7   Soient $a$ un réel, $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle ouvert $I$ contenant $a$. Supposons que, pour tout $x\in I$, $f(x)\leq g(x)$.

1.    Si $$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=+\infty$$   alors$$\quad \lim_{x\rightarrow a}g(x)=+\infty\;.$$

2.    Si $$\lim_{x\rightarrow a}g(x)=-\infty$$   alors$$\quad \lim_{x\rightarrow a}f(x)=-\infty\;.$$

Démonstration : Pour tout $A$, il existe $\eta$ tel que pour $0<\vert x-a\vert<\eta$ :

$$g(x)\geqslant f(x)\geqslant A\;,$$

donc $g$ tend vers $+\infty$ si $f$ tend vers $+\infty$. La démonstration de l'autre affirmation est analogue.$\square$ Le vocabulaire de la comparaison des fonctions est analogue à celui des suites, avec la difficulté supplémentaire qu'il faut toujours savoir de quelle limite il s'agit (bilatérale, à gauche, à droite, en $-\infty$ ou en $+\infty$). Nous écrivons la définition ci-dessous pour des limites bilatérales en $a$, elle s'adapte sans problème aux 4 autres types de limites.

Définition 4   Soient $a$ un réel, $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle ouvert $I$ contenant $a$.

1. On dit que la fonction $f$ est dominée par la fonction $g$ au voisinage de $a$ si :
   $$\exists M\in\mathbb{R} ,\; \forall x\in I\;,\quad \vert f(x)\vert\leq M\vert g(x)\vert\;.$$
   On écrit $f(x)=O(g(x))$, qui se lit «$f(x)$ est un grand O de $g(x)$»  (au voisinage de $a$).
2. On dit que la fonction $f$ est négligeable devant la fonction $g$ si :
   $$\forall \varepsilon >0 ,\;\exists \eta\;,\quad 0<\vert x-a\vert\... ...ant\eta\Longrightarrow \vert f(x)\vert\leqslant\varepsilon \vert g(x)\vert\;.$$
   On écrit $f(x)=o(g(x))$, qui se lit «$f(x)$ est un petit o de $g(x)$»  (au voisinage de $a$).
3. On dit que la fonction $f$ est équivalente à la fonction $g$ si :
   $$\forall \varepsilon >0 ,\;\exists \eta\;,\quad 0<\vert x-a\vert\... ...ta \Longrightarrow \vert f(x)-g(x)\vert\leqslant\varepsilon \vert g(x)\vert\;.$$
   On écrit $f(x)\sim g(x)$, qui se lit «$f(x)$ est équivalent à $g(x)$»  (au voisinage de $a$).

Très souvent, on appliquera ces définitions pour une fonction $g$ non nulle au voisinage de $a$, sauf peut-être en $a$ ; dans ce cas, la comparaison se lit sur le rapport $f(x)/g(x)$.

Proposition 3   Soient $a$ un réel, $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle ouvert $I$ contenant $a$. On suppose que la fonction $g$ ne s'annule pas sur $I\setminus\{a\}$.

1. $f$ est dominée par $g$ au voisinage de $a$ si et seulement si le quotient $f/g$ est borné :
   $$\exists M\in\mathbb{R} ,\; \forall x\in I\setminus\{a\}\;,\quad \left\vert\frac{f(x)}{g(x)}\right\vert\leq M\;.$$

2. $f$ est négligeable devant $g$ si et seulement si le quotient $f/g$ tend vers 0 :
   $$\forall \varepsilon >0 ,\;\exists \eta\;,\quad 0<\vert x-a\vert\... ...Longrightarrow \left\vert\frac{f(x)}{g(x)}\right\vert\leqslant\varepsilon \;.$$

3. $f$ est équivalente à $g$ si et seulement si le quotient $f/g$ tend vers $1$ :
   $$\forall \varepsilon >0 ,\;\exists \eta\;,\quad 0<\vert x-a\vert\... ...Longrightarrow\left\vert\frac{f(x)}{g(x)}-1\right\vert\leqslant\varepsilon \;.$$

Par exemple, au voisinage de 0 :

$$\sqrt{4x^2+9x}=O(\sqrt{x})\;,\; \sqrt{4x^2+9x}=o(x^{1/4})\;,\; \sqrt{4x^2+9x}\sim 3\sqrt{x}\;.$$

Au voisinage de $+\infty$ :

$$\sqrt{4x^2+9x}=O(x)\;,\; \sqrt{4x^2+9x}=o(x^2)\;,\; \sqrt{4x^2+9x}\sim 2x\;.$$

Insistons sur la nécessité de bien préciser le type de limite que l'on considère. Le plus souvent, il s'agira de limites en $+\infty$ ou de limites à droite en 0. On passe des unes aux autres en remplaçant la variable $x$ par $y=1/x$. Pour étudier une limite en $a$, on se ramène à une limite en 0 en posant $x-a=y$. Le changement de variable $y=-x$ permet de passer des limites à gauche aux limites à droite, des limites en $-\infty$ aux limites en $+\infty$.

Observons que $f(x)=o(g(x))$ entraîne $f(x)+g(x)\sim g(x)$, ce qui est particulièrement utile pour les polynômes. Les équivalents sont souvent utilisés pour le calcul de limites de produits ou de quotients, car si $f_1(x)\sim g_1(x)$, et $f_2(x)\sim g_2(x)$ alors $f_1(x)f_2(x)\sim g_1(x)g_2(x)$. Par contre il ne faut pas les utiliser pour des sommes. Par exemple, au voisinage de $+\infty$ :

$$f(x)=x+\sin(x)\sim x$$   et$$\quad g(x)=-x+\sin(x)\sim -x$$

Pourtant, $f(x)+g(x)$ n'est pas équivalent à 0.

Soit $f$ la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par :

$$f(x) = \frac{\sqrt{x^2+x+1}}{\sqrt[3]{8x^3+x^2}}\;.$$

Commençons par les limites à droite en 0. Le numérateur tend vers $1$ en 0. Pour le dénominateur $8x^3=o(x^2)$, donc $f(x)\sim x^{-2/3}$ :

$$\lim_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x^{-2/3}} = 1$$

Considérons maintenant les limites en $+\infty$. Puisque $x+1=o(x^2)$, $x^2+x+1\sim x^2$ et $\sqrt{x^2+x+1}\sim x$. Pour le dénominateur, $\sqrt[3]{8x^3+x^2}\sim 2x$, donc $f(x)$ tend vers $1/2$.

$$\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) = \frac{1}{2}$$

Nous admettrons pour l'instant les équivalents suivants au voisinage de 0, qui seront justifiés plus loin. Vous devez les connaître par cur.

Théorème 8   Au voisinage de 0, $\sin(x)$, $\mathrm{e}^x-1$ et $\ln(1+x)$ sont équivalents à $x$.

$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} =\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^x-1}{x} =\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\ln(1+x)}{x} =1$$

Nous rassemblons dans la section suivante d'autres limites classiques concernant l'exponentielle et le logarithme, qu'il est également bon de connaître.