Comparaison de fonctions

Dans cette section,

est un réel quelconque, et nous considérons la limite (bilatérale) d'une fonction

, au sens de la définition 3. Toutes les fonctions sont supposées être définies au voisinage de

, sauf peut-être en

Tous les résultats de la section valent aussi pour des limites à gauche, à droite, en $-\infty$ et en $+\infty$ . L'adaptation des démonstrations aux autres types de limite est un exercice conseillé.

Le résultat de base pour comparer deux limites est le suivant.

Théorème 5 Soient un réel, et deux fonctions définies sur un intervalle ouvert contenant . Si pour tout $x\in I$ , $f(x)\leq g(x)$ , alors

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x) \leqslant\lim_{x\rightarrow a}g(x)\;.$

Démonstration : Supposons $\lim f(x)> \lim g(x)$ . Alors la limite en

de la fonction

est strictement positive. Notons

cette limite. Il existe $\eta>0$ tel que $0<\vert x-a\vert\leqslant \eta$ entraîne $f(x)-g(x)\in [\frac{l}{2},\frac{3l}{2}]$ , donc

, ce qui contredit l'hypothèse. $\square$ Le fait de supposer

ne renforce pas la conclusion : bien que $\vert x\vert<2\vert x\vert$ pour tout $x\in\mathbb{R}^*$ ,

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \vert x\vert =\lim_{x\rightarrow 0} 2\vert x\vert=0\;.$

Le théorème 5 ne permet pas de démontrer que l'une des deux fonctions ou converge en . Pour cela, on utilise souvent le résultat suivant.

Théorème 6 Soient et deux fonctions telles que tend vers 0 quand tend vers . S'il existe un intervalle ouvert contenant tel que pour tout $x\in I$ , $\vert f(x)\vert\leqslant \vert g(x)\vert$ , alors tend vers 0 en .

Démonstration : Pour tout $\varepsilon >0$ , il existe $\eta$ tel que pour $0<\vert x-a\vert\leqslant \eta$ :

$\displaystyle \vert f(x)\vert\leqslant \vert g(x)\vert\leqslant \varepsilon \;,$

d'où le résultat. $\square$ On en déduit le corollaire suivant.

Corollaire 1 Soient , et trois fonctions telles que quand tend vers , et convergent vers la même limite . Supposons de plus qu'il existe un intervalle ouvert contenant , tel que pour tout $x\in I$ ,

$\displaystyle f(x)\leqslant g(x)\leqslant h(x)\;.$

alors converge vers .

Démonstration : Il suffit d'appliquer le théorème 6 aux deux fonctions

. $\square$ Soit par exemple

$\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} &g&\\ \mathbb{R}^*&\longrightarrow&\mathbb{R}\\ x&\longmapsto&g(x)=x\sin(1/x) \end{array}\end{displaymath}$

Posons $f(x)=-\vert x\vert$ , $h(x)=\vert x\vert$ . Les deux fonctions

tendent vers 0 en 0, et pour tout $x\in\mathbb{R}^*$ ,

$\displaystyle f(x)\leqslant g(x)\leqslant h(x)$

Donc

tend vers 0 quand

tend vers 0, comme

(cf. figure 1).

La comparaison vaut aussi pour les limites infinies.

Théorème 7 Soient un réel, et deux fonctions définies sur un intervalle ouvert contenant . Supposons que, pour tout $x\in I$ , $f(x)\leq g(x)$ .

Si $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=+\infty$ alors $\displaystyle \quad \lim_{x\rightarrow a}g(x)=+\infty\;.$
Si $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}g(x)=-\infty$ alors $\displaystyle \quad \lim_{x\rightarrow a}f(x)=-\infty\;.$

Démonstration : Pour tout

, il existe $\eta$ tel que pour $0<\vert x-a\vert<\eta$ :

$\displaystyle g(x)\geqslant f(x)\geqslant A\;,$

donc

tend vers $+\infty$ si

tend vers $+\infty$ . La démonstration de l'autre affirmation est analogue. $\square$ Le vocabulaire de la comparaison des fonctions est analogue à celui des suites, avec la difficulté supplémentaire qu'il faut toujours savoir de quelle limite il s'agit (bilatérale, à gauche, à droite, en $-\infty$ ou en $+\infty$ ). Nous écrivons la définition ci-dessous pour des limites bilatérales en

, elle s'adapte sans problème aux 4 autres types de limites.

Définition 4 Soient un réel, et deux fonctions définies sur un intervalle ouvert contenant .

On dit que la fonction est dominée par la fonction au voisinage de si :

$\displaystyle \exists M\in\mathbb{R} ,\; \forall x\in I\;,\quad \vert f(x)\vert\leq M\vert g(x)\vert\;.$
On écrit , qui se lit « est un grand O de » (au voisinage de ).
On dit que la fonction est négligeable devant la fonction si :

$\displaystyle \forall \varepsilon >0 ,\;\exists \eta\;,\quad 0<\vert x-a\vert\... ...ant\eta\Longrightarrow \vert f(x)\vert\leqslant\varepsilon \vert g(x)\vert\;.$
On écrit , qui se lit « est un petit o de » (au voisinage de ).
On dit que la fonction est équivalente à la fonction si :

$\displaystyle \forall \varepsilon >0 ,\;\exists \eta\;,\quad 0<\vert x-a\vert\... ...ta \Longrightarrow \vert f(x)-g(x)\vert\leqslant\varepsilon \vert g(x)\vert\;.$
On écrit $f(x)\sim g(x)$ , qui se lit « est équivalent à » (au voisinage de ).

Très souvent, on appliquera ces définitions pour une fonction

non nulle au voisinage de

, sauf peut-être en

; dans ce cas, la comparaison se lit sur le rapport

Proposition 3 Soient un réel, et deux fonctions définies sur un intervalle ouvert contenant . On suppose que la fonction ne s'annule pas sur $I\setminus\{a\}$ .

est dominée par au voisinage de si et seulement si le quotient est borné :

$\displaystyle \exists M\in\mathbb{R} ,\; \forall x\in I\setminus\{a\}\;,\quad \left\vert\frac{f(x)}{g(x)}\right\vert\leq M\;.$
est négligeable devant si et seulement si le quotient tend vers 0 :

$\displaystyle \forall \varepsilon >0 ,\;\exists \eta\;,\quad 0<\vert x-a\vert\... ...Longrightarrow \left\vert\frac{f(x)}{g(x)}\right\vert\leqslant\varepsilon \;.$
est équivalente à si et seulement si le quotient tend vers :

$\displaystyle \forall \varepsilon >0 ,\;\exists \eta\;,\quad 0<\vert x-a\vert\... ...Longrightarrow\left\vert\frac{f(x)}{g(x)}-1\right\vert\leqslant\varepsilon \;.$

Par exemple, au voisinage de 0 :

$\displaystyle \sqrt{4x^2+9x}=O(\sqrt{x})\;,\; \sqrt{4x^2+9x}=o(x^{1/4})\;,\; \sqrt{4x^2+9x}\sim 3\sqrt{x}\;.$

Au voisinage de $+\infty$ :

$\displaystyle \sqrt{4x^2+9x}=O(x)\;,\; \sqrt{4x^2+9x}=o(x^2)\;,\; \sqrt{4x^2+9x}\sim 2x\;.$

Insistons sur la nécessité de bien préciser le type de limite que l'on considère. Le plus souvent, il s'agira de limites en $+\infty$ ou de limites à droite en 0. On passe des unes aux autres en remplaçant la variable

par

. Pour étudier une limite en

, on se ramène à une limite en 0 en posant

. Le changement de variable

permet de passer des limites à gauche aux limites à droite, des limites en $-\infty$ aux limites en $+\infty$ .

Observons que entraîne $f(x)+g(x)\sim g(x)$ , ce qui est particulièrement utile pour les polynômes. Les équivalents sont souvent utilisés pour le calcul de limites de produits ou de quotients, car si $f_1(x)\sim g_1(x)$ , et $f_2(x)\sim g_2(x)$ alors $f_1(x)f_2(x)\sim g_1(x)g_2(x)$ . Par contre il ne faut pas les utiliser pour des sommes. Par exemple, au voisinage de $+\infty$ :

$\displaystyle f(x)=x+\sin(x)\sim x$ et $\displaystyle \quad g(x)=-x+\sin(x)\sim -x$

Pourtant,

n'est pas équivalent à 0.

Soit la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par :

$\displaystyle f(x) = \frac{\sqrt{x^2+x+1}}{\sqrt[3]{8x^3+x^2}}\;.$

Commençons par les limites à droite en 0. Le numérateur tend vers

en 0. Pour le dénominateur

, donc $f(x)\sim x^{-2/3}$ :

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x^{-2/3}} = 1$

Considérons maintenant les limites en $+\infty$ . Puisque

, $x^2+x+1\sim x^2$ et $\sqrt{x^2+x+1}\sim x$ . Pour le dénominateur, $\sqrt[3]{8x^3+x^2}\sim 2x$ , donc

tend vers

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) = \frac{1}{2}$

Nous admettrons pour l'instant les équivalents suivants au voisinage de 0, qui seront justifiés plus loin. Vous devez les connaître par c $\oe$ ur.

Théorème 8 Au voisinage de 0, $\sin(x)$ , $\mathrm{e}^x-1$ et $\ln(1+x)$ sont équivalents à .

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} =\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^x-1}{x} =\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\ln(1+x)}{x} =1$

Nous rassemblons dans la section suivante d'autres limites classiques concernant l'exponentielle et le logarithme, qu'il est également bon de connaître.