Limites unilatérales

Une fonction $f$ peut converger vers une limite finie, comme nous l'avons vu précédemment, ou bien $+\infty$ ou $-\infty$. De plus les valeurs de la variable, qui approchaient $a$ des deux côtés dans les définitions précédentes, peuvent ne l'approcher que d'un seul côté : ce sont les notions de limite à gauche, et de limite à droite. On peut aussi chercher une limite quand $x$ tend vers $+\infty$ et $-\infty$. Au total, ce ne sont pas moins de $15$ définitions différentes que nous devons donner. Vous reconnaîtrez dans ces définitions un principe général : $f(x)$ tend vers $l$ (fini ou infini) quand $x$ tend vers $a$ (fini ou infini), si pour tout voisinage $V_l$ de $l$, il existe un voisinage $V_a$ de $a$ tel que $f(V_a\setminus\{a\})\subset V_l$. La définition précise de la notion de voisinage relève de la topologie, et dépasse le cadre de ce cours. Un voisinage de $+\infty$ sera compris comme un intervalle de la forme $[A,+\infty[$. De même, un voisinage de $-\infty$ sera un intervalle de la forme $]-\infty,A]$. Un «voisinage à gauche»  d'un réel $a$ sera un intervalle du type $[a-\varepsilon ,a[$, tandis qu'un «voisinage à droite»  sera de la forme $]a,a+\varepsilon ]$. Nous donnons les différentes définitions sous forme de tableaux. Plutôt que d'apprendre les 5 tableaux par cur, il est conseillé d'en comprendre le principe pour être capable de retrouver ces définitions en cas de besoin.

$$\begin{array}{\vert l\vert l\vert l\vert} \hline \multicolum... ...tarrow 0} -1/\vert x\vert=-\infty}\ [1.5ex] \hline \end{array}$$

$$\begin{array}{\vert l\vert l\vert l\vert} \hline \multicolum... ..._{x\rightarrow 0^{-}} 1/x=-\infty}\ [1.5ex] \hline \end{array}$$

$$\begin{array}{\vert l\vert l\vert l\vert} \hline \multicolum... ...{x\rightarrow 0^{+}} -1/x=-\infty}\ [1.5ex] \hline \end{array}$$

La limite bilatérale des sections précédentes peut se caractériser en termes de limites à gauche et à droite.

Proposition 2   Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et $a$ un réel. La fonction $f$ admet $l$ pour limite en $a$, si et seulement si elle admet $l$ pour limite à gauche et à droite en $a$.

Démonstration : Nous le démontrons pour une limite finie. Ce qui suit est facile à adapter à une limite infinie. La condition nécessaire est évidente au vu des définitions. Pour la condition suffisante, supposons

$$\lim_{x\rightarrow a^{-}} f(x) = \lim_{x\rightarrow a^{+}} f(x) = l$$

Fixons $\varepsilon >0$. Il existe $\eta_1$ et $\eta_2$ tels que

$$a-\eta_1\leqslant x<a\Longrightarrow \vert f(x)-l\vert\leqslant \varepsilon$$   et$$\quad a< x\leqslant a+\eta_2\Longrightarrow \vert f(x)-l\vert\leqslant \varepsilon$$

Prenons $\eta=\min\{\eta_1,\eta_2\}$, alors

$$0<\vert x-a\vert\leqslant \eta \Longrightarrow \vert f(x)-l\vert\leqslant \varepsilon \;.$$

$\square$

Voici maintenant les définitions des limites en $+\infty$ et $-\infty$.

$$\begin{array}{\vert l\vert l\vert l\vert} \hline \multicolum... ..._{x\rightarrow -\infty} x=-\infty}\ [1.5ex] \hline \end{array}$$

$$\begin{array}{\vert l\vert l\vert l\vert} \hline \multicolum... ...{x\rightarrow +\infty} -x=-\infty}\ [1.5ex] \hline \end{array}$$

Pour chacune de ces définitions, il existe une caractérisation en termes de suites, analogue au théorème 1. Par exemple, la limite à gauche de $f$ en $a$ vaut $-\infty$ si et seulement si pour toute suite $(x_n)$ convergeant vers $a$ et telle que pour tout $n$, $x_n<a$, la suite $(f(x_n))$ tend vers $-\infty$. Nous laissons au lecteur le soin de démontrer, à titre d'exercice, chacune de ces caractérisations, sur le modèle du théorème 1.

En ce qui concerne les opérations, le théorème 2 s'étend aux limites à gauche, à droite, en $-\infty$ et en $+\infty$, sans aucune difficulté. Les seuls problèmes viennent des limites éventuellement infinies. Dans le cas où les limites de $f$ et $g$ peuvent être infinies, différentes situations peuvent se produire pour la somme et le produit. Nous les résumons dans les tableaux 1 et 2. Dans ces deux tableaux, $\lim$ désigne indifféremment une limite bilatérale, à gauche, à droite, en $-\infty$ ou en $+\infty$ (du même type pour $f$ et $g$). Les points d'interrogations sont des formes indéterminées : tous les cas sont possibles. Par exemple :

$\bullet$

$f(x)=1/\vert x\vert$, $g(x)=-1/\vert x\vert$ : $f+g$ tend vers 0 quand $x$ tend vers 0.

$\bullet$

$f(x)=1/\vert x\vert$, $v_n=-1/x^2$ : $f+g$ tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers 0.

$\bullet$

$f(x)=1/\vert x\vert$, $g(x)=\sin(1/x)-1/\vert x\vert$ : $f+g$ n'a pas de limite en 0.

Tableau 1: Limites possibles de $f+g$ en fonction des limites de $f$ et $g$.

Tableau 2: Limites possibles de $fg$ en fonction des limites de $f$ et $g$.

Mises à part les formes indéterminées, chacune des cases des tableaux 1 et 2 résume 5 théorèmes : un pour chacun des différents types de limites. Il est conseillé au lecteur de les démontrer, soit directement sur le modèle du théorème 2, soit en utilisant la caractérisation par les suites évoquée plus haut.