Discontinuités des fonctions monotones

Le théorème 4 montre que si une fonction est monotone (croissante ou décroissante) sur un intervalle, elle admet une limite à gauche et une limite à droite en tout point. Soit $f$ une fonction croissante sur l'intervalle $I$. Pour tout $a\in I$, on a :

$$\lim_{x\rightarrow a^-} f(x)\leqslant f(a)\leqslant \lim_{x\rightarrow a^+} f(x)$$

La fonction $f$ est continue en $a$ si et seulement si les trois valeurs coïncident. Une fonction croissante peut très bien ne pas être continue partout. Par exemple, la fonction partie entière est croissante, et discontinue en tout point entier (figure 2). Cependant, l'ensemble des points de discontinuité est au plus dénombrable.

Théorème 16   Si une fonction est monotone sur un intervalle, l'ensemble des points où elle n'est pas continue est fini ou dénombrable.

Démonstration : Quitte à remplacer $f$ par $-f$, nous pouvons supposer que $f$ est croissante. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$. Supposons que $f$ ne soit continue ni en $a$, ni en $b$. Alors :

$$\lim_{x\rightarrow a^-} f(x)< \lim_{x\rightarrow a^+} f(x)\leq \lim_{x\rightarrow b^-} f(x)< \lim_{x\rightarrow b^+} f(x)$$

Les intervalles ouverts

$$\left] \lim_{x\rightarrow a^-} f(x) , \lim_{x\rightarrow a^+} f(x) \right[$$   et$$\quad \left] \lim_{x\rightarrow a^-} f(x) , \lim_{x\rightarrow a^+} f(x) \right[$$

sont disjoints et non vides. Chacun d'eux contient au moins un rationnel. On peut donc construire une application injective, associant à tout point de discontinuité de $f$, un rationnel. Comme l'ensemble des rationnels est dénombrable, le résultat s'ensuit.$\square$