Seconds membres en exponentielles et polynômes

Dans cette section, nous ajoutons une fonction de la variable à l'équation du second ordre à coefficients constants de la section précédente.

$\displaystyle y''=ay'+by+h\;,$ (8)

$ a$ et $ b$ sont deux réels, et $ h$ est une fonction de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$ : le second membre. Comme pour les équations linéaires du premier ordre, la solution générale de (8) s'obtient en ajoutant une solution particulière à l'équation sans second membre (6). Le théorème suivant est l'analogue du théorème 2.

Théorème 4   Soit $ y_p$ une solution particulière de $ y''=ay'+by+h$. Soit $ (y_1,y_2)$ une base de l'espace vectoriel des solutions de l'équation sans second membre $ y''=ay'+by$. L'ensemble des solutions de $ y''=ay'+by+h$ est :

$\displaystyle E = \big\{  C_1  y_1
+ C_2 y_2+y_p  ,\; (C_1,C_2)\in \mathbb{R}^2 \big\}.
$

Démonstration : Une fonction $ y$ est solution de (8), si et seulement si la différence $ y(t)-y_p(t)$ est solution de l'équation homogène (6). Il suffit alors d'appliquer le théorème 3. $ \square$ L'ensemble des solutions est donc un espace affine de dimension $ 2$ (plan affine). Pour résoudre (8), il suffit de trouver une solution particulière. Il existe une méthode générale du type «variation des constantes», mais elle est assez compliquée à mettre en \oeuvre et nous ne la développerons pas ici. Nous étudierons seulement certains seconds membres particuliers, du type «exponentielle-polynôme». La première observation est que les solutions dépendent linéairement du second membre au sens du résultat suivant, que l'on appelle aussi principe de superposition des solutions.

Théorème 5   Soient $ a$ et $ b$ deux réels, $ h_1$ et $ h_2$ deux fonctions de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$. Soient $ y_1$ et $ y_2$ deux fonctions, solutions respectivement des équations différentielles :

$\displaystyle y''=ay'+by+h_1$   et$\displaystyle \quad
y''=ay'+by+h_2\;.
$

Pour tout couple de réels $ (\lambda,\mu)$, la fonction $ \lambda
y_1+\mu y_2$ est solution de l'équation :

$\displaystyle y''=ay'+by+(\lambda h_1+\mu h_2)\;.
$

Démonstration : Il suffit d'écrire les deux équations :
$\displaystyle y_1''=ay_1'+by_1+h_1$      
$\displaystyle y_2''=ay_2'+by_2+h_2\;.$      

On multiplie la première équation par $ \lambda$, la seconde par $ \mu$ et on ajoute.$ \square$ En utilisant ce principe, il est possible de calculer des solutions particulières, quand $ h$ est une combinaison d'exponentielles et de polynômes, grâce au résultat suivant.

Théorème 6   Soient $ a$, $ b$ deux réels, et $ \lambda$ un complexe. Soit $ P$ une fonction polynôme. Soit $ (E)$ l'équation différentielle suivante.

$\displaystyle (E)\qquad\qquad y''(t)=ay'(t)+by(t)+\mathrm{e}^{\lambda t}P(t)\;.
$

Soit $ (ECA)$ l'équation caractéristique associée à l'équation sans second membre.

$\displaystyle (ECA)\qquad\qquad r^2=ar+b\;.
$

L'équation $ (E)$ admet une solution particulière de la forme $ t\mapsto \mathrm{e}^{\lambda t}Q(t)$, où $ Q$ est une fonction polynôme de degré :

\begin{displaymath}
\begin{array}{lclcl}
\mbox{\rm deg}(Q)&=&\mbox{\rm deg}(P)&\...
...{si}&\lambda\mbox{ est
solution double de } (ECA).
\end{array}\end{displaymath}

Démonstration : Posons $ y(t)=\mathrm{e}^{\lambda t}Q(t)$, et calculons :
$\displaystyle -by(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \mathrm{e}^{\lambda t} (-bQ(t))$  
$\displaystyle -ay'(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \mathrm{e}^{\lambda t} (-a\lambda Q(t)-aQ'(t))$  
$\displaystyle y''(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \mathrm{e}^{\lambda t} (\lambda^2 Q(t)+2\lambda Q'(t)+Q''(t))$  
$\displaystyle \hline
y''(t)-ay'(t)-by(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \mathrm{e}^{\lambda t} \big( 
(\lambda^2-a\lambda -b)Q(t) +(2\lambda -a) Q'(t)+ Q''(t) \big)$  

En identifiant avec l'équation $ (E)$, on voit que $ y$ est solution si et seulement si :

$\displaystyle \big( 
(\lambda^2-a\lambda -b)Q(t) +(2\lambda -a) Q'(t)+ Q''(t) \big)
= P(t).
$

Au second membre apparaît le polynôme inconnu $ Q(t)$ et ses deux dérivées.
  1. Si $ \lambda^2-a\lambda-b\neq 0$ (donc $ \lambda$ n'est pas solution de $ (ECA)$) : on peut chercher un polynôme de même degré que $ P$. En identifiant les coefficients, on aura à résoudre un système linéaire dont la matrice est carrée et triangulaire : ce système a une solution unique.
  2. Si $ \lambda^2-a\lambda-b= 0$ et $ 2\lambda-a\neq 0$ (donc $ \lambda$ est racine simple de $ (ECA)$) : pour équilibrer les degrés, il faudra choisir $ Q'$ de même degré que $ P$. L'identification des coefficients mène à un système dont l'ensemble des solutions est une droite affine de dimension $ 1$.
  3. Si $ \lambda^2-a\lambda-b= 0$ et $ 2\lambda-a=0$ (donc $ \lambda$ est racine double de $ (ECA)$) : alors $ Q''(t)=P(t)$. Par deux intégrations successives, on trouve l'ensemble de toutes les solutions de l'équation de départ : c'est un plan affine.
$ \square$ Quand $ \lambda$ est un réel, l'utilisation de ce théorème ne pose pas de problème particulier. Voici quelques exemples.

\begin{displaymath}
\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert}
\hline&&&\\...
...i}&
\mathrm{e}^{t}(\alpha t+\beta) [1.5ex]
\hline
\end{array}\end{displaymath}

L'utilisation du théorème pour $ \lambda$ complexe est un peu plus délicate. Elle permet de traiter le cas où le second membre est une combinaison linéaire de sinus et cosinus. Examinons l'exemple suivant.

$\displaystyle y''(t)=-y(t)+\cos^3(t)\;.
$

Le second membre ne ressemble pas à ceux que nous avons déjà traités. Mais en linéarisant :

$\displaystyle \cos^3(t)= \frac{3}{4}\cos(t)+\frac{1}{4}\cos(3t)
=\frac{3}{8}\ma...
...+\frac{1}{8}\mathrm{e}^{3\mathrm{i}t}+\frac{1}{8}\mathrm{e}^{-3\mathrm{i}t}\;.
$

Le principe de superposition des solutions permet de traiter séparément les équations pour chacun des seconds membres.

Considérons d'abord $ y''=-y(t)+\frac{3}{4}\cos(t)$. Comme $ \mathrm{i}$ et $ -\mathrm{i}$ sont racines de l'équation caractéristique, il faut chercher des solutions sous la forme

$\displaystyle \alpha t \mathrm{e}^{\mathrm{i}t}+\beta t\mathrm{e}^{-\mathrm{i}t}\;.
$

A priori, $ \alpha$ et $ \beta$ sont des complexes, mais comme nous cherchons des solutions réelles, celles-ci seront nécessairement de la forme :

$\displaystyle \gamma t\cos(t)+\delta t\sin(t)\;.
$

Le calcul direct par indentificaton des coefficients donne $ \gamma=0$ et $ \delta=3/8$.

Traitons mantenant l'équation $ y''=-y(t)+\frac{1}{4}\cos(3t)$. Puisque $ -3 \mathrm{i}$ et $ 3\mathrm{i}$ ne sont pas racines de l'équation caractéristique, on doit chercher des solutions sous la forme :

$\displaystyle \alpha \mathrm{e}^{3\mathrm{i}t}+\beta \mathrm{e}^{-3\mathrm{i}t}\;.
$

Comme elles doivent être réelles, on cherchera par identification des coefficients deux réels $ \gamma$ et $ \delta$ tels que :

$\displaystyle \gamma \cos(3t)+\delta \sin(3t)
$

soit solution. On trouve $ \gamma = -1/32$ et $ \delta=0$. Voici la solution générale de l'équation de départ $ y''(t)=-y(t)+\cos^2(t)$.

$\displaystyle y(t)=\frac{3}{8}t\sin(t)-\frac{1}{32}\cos(3t)+C_1\cos(t)+C_2\sin(t)
\;,\quad(C_1,C_2)\in\mathbb{R}^2\;.
$


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