Seconds membres en exponentielles et polynômes

Dans cette section, nous ajoutons une fonction de la variable à l'équation du second ordre à coefficients constants de la section précédente.

$$y''=ay'+by+h\;,$$ (8)

où $a$ et $b$ sont deux réels, et $h$ est une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ : le second membre. Comme pour les équations linéaires du premier ordre, la solution générale de (8) s'obtient en ajoutant une solution particulière à l'équation sans second membre (6). Le théorème suivant est l'analogue du théorème 2.

Théorème 4   Soit $y_p$ une solution particulière de $y''=ay'+by+h$. Soit $(y_1,y_2)$ une base de l'espace vectoriel des solutions de l'équation sans second membre $y''=ay'+by$. L'ensemble des solutions de $y''=ay'+by+h$ est :

$$E = \big\{ C_1 y_1 + C_2 y_2+y_p ,\; (C_1,C_2)\in \mathbb{R}^2 \big\}.$$

Démonstration : Une fonction $y$ est solution de (8), si et seulement si la différence $y(t)-y_p(t)$ est solution de l'équation homogène (6). Il suffit alors d'appliquer le théorème 3. $\square$ L'ensemble des solutions est donc un espace affine de dimension $2$ (plan affine). Pour résoudre (8), il suffit de trouver une solution particulière. Il existe une méthode générale du type «variation des constantes», mais elle est assez compliquée à mettre en uvre et nous ne la développerons pas ici. Nous étudierons seulement certains seconds membres particuliers, du type «exponentielle-polynôme». La première observation est que les solutions dépendent linéairement du second membre au sens du résultat suivant, que l'on appelle aussi principe de superposition des solutions.

Théorème 5   Soient $a$ et $b$ deux réels, $h_1$ et $h_2$ deux fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Soient $y_1$ et $y_2$ deux fonctions, solutions respectivement des équations différentielles :

$$y''=ay'+by+h_1$$   et$$\quad y''=ay'+by+h_2\;.$$

Pour tout couple de réels $(\lambda,\mu)$, la fonction $\lambda y_1+\mu y_2$ est solution de l'équation :

$$y''=ay'+by+(\lambda h_1+\mu h_2)\;.$$

Démonstration : Il suffit d'écrire les deux équations :

$$y_1''=ay_1'+by_1+h_1$$

$$y_2''=ay_2'+by_2+h_2\;.$$

On multiplie la première équation par $\lambda$, la seconde par $\mu$ et on ajoute.$\square$ En utilisant ce principe, il est possible de calculer des solutions particulières, quand $h$ est une combinaison d'exponentielles et de polynômes, grâce au résultat suivant.

Théorème 6   Soient $a$, $b$ deux réels, et $\lambda$ un complexe. Soit $P$ une fonction polynôme. Soit $(E)$ l'équation différentielle suivante.

$$(E)\qquad\qquad y''(t)=ay'(t)+by(t)+\mathrm{e}^{\lambda t}P(t)\;.$$

Soit $(ECA)$ l'équation caractéristique associée à l'équation sans second membre.

$$(ECA)\qquad\qquad r^2=ar+b\;.$$

L'équation $(E)$ admet une solution particulière de la forme $t\mapsto \mathrm{e}^{\lambda t}Q(t)$, où $Q$ est une fonction polynôme de degré :

$$\begin{array}{lclcl} \mbox{\rm deg}(Q)&=&\mbox{\rm deg}(P)&\... ...{si}&\lambda\mbox{ est solution double de } (ECA). \end{array}$$

Démonstration : Posons $y(t)=\mathrm{e}^{\lambda t}Q(t)$, et calculons :

$$-by(t) = \mathrm{e}^{\lambda t} (-bQ(t))$$

$$-ay'(t) = \mathrm{e}^{\lambda t} (-a\lambda Q(t)-aQ'(t))$$

$$y''(t) = \mathrm{e}^{\lambda t} (\lambda^2 Q(t)+2\lambda Q'(t)+Q''(t))$$

$$\hline y''(t)-ay'(t)-by(t) = \mathrm{e}^{\lambda t} \big( (\lambda^2-a\lambda -b)Q(t) +(2\lambda -a) Q'(t)+ Q''(t) \big)$$

En identifiant avec l'équation $(E)$, on voit que $y$ est solution si et seulement si :

$$\big( (\lambda^2-a\lambda -b)Q(t) +(2\lambda -a) Q'(t)+ Q''(t) \big) = P(t).$$

Au second membre apparaît le polynôme inconnu $Q(t)$ et ses deux dérivées.

1. Si $\lambda^2-a\lambda-b\neq 0$ (donc $\lambda$ n'est pas solution de $(ECA)$) : on peut chercher un polynôme de même degré que $P$. En identifiant les coefficients, on aura à résoudre un système linéaire dont la matrice est carrée et triangulaire : ce système a une solution unique.
2. Si $\lambda^2-a\lambda-b= 0$ et $2\lambda-a\neq 0$ (donc $\lambda$ est racine simple de $(ECA)$) : pour équilibrer les degrés, il faudra choisir $Q'$ de même degré que $P$. L'identification des coefficients mène à un système dont l'ensemble des solutions est une droite affine de dimension $1$.
3. Si $\lambda^2-a\lambda-b= 0$ et $2\lambda-a=0$ (donc $\lambda$ est racine double de $(ECA)$) : alors $Q''(t)=P(t)$. Par deux intégrations successives, on trouve l'ensemble de toutes les solutions de l'équation de départ : c'est un plan affine.

$\square$ Quand $\lambda$ est un réel, l'utilisation de ce théorème ne pose pas de problème particulier. Voici quelques exemples.

$$\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert} \hline&&&\\... ...i}& \mathrm{e}^{t}(\alpha t+\beta) [1.5ex] \hline \end{array}$$

L'utilisation du théorème pour $\lambda$ complexe est un peu plus délicate. Elle permet de traiter le cas où le second membre est une combinaison linéaire de sinus et cosinus. Examinons l'exemple suivant.

$$y''(t)=-y(t)+\cos^3(t)\;.$$

Le second membre ne ressemble pas à ceux que nous avons déjà traités. Mais en linéarisant :

$$\cos^3(t)= \frac{3}{4}\cos(t)+\frac{1}{4}\cos(3t) =\frac{3}{8}\ma... ...+\frac{1}{8}\mathrm{e}^{3\mathrm{i}t}+\frac{1}{8}\mathrm{e}^{-3\mathrm{i}t}\;.$$

Le principe de superposition des solutions permet de traiter séparément les équations pour chacun des seconds membres.

Considérons d'abord $y''=-y(t)+\frac{3}{4}\cos(t)$. Comme $\mathrm{i}$ et $-\mathrm{i}$ sont racines de l'équation caractéristique, il faut chercher des solutions sous la forme

$$\alpha t \mathrm{e}^{\mathrm{i}t}+\beta t\mathrm{e}^{-\mathrm{i}t}\;.$$

A priori, $\alpha$ et $\beta$ sont des complexes, mais comme nous cherchons des solutions réelles, celles-ci seront nécessairement de la forme :

$$\gamma t\cos(t)+\delta t\sin(t)\;.$$

Le calcul direct par indentificaton des coefficients donne $\gamma=0$ et $\delta=3/8$.

Traitons mantenant l'équation $y''=-y(t)+\frac{1}{4}\cos(3t)$. Puisque $-3 \mathrm{i}$ et $3\mathrm{i}$ ne sont pas racines de l'équation caractéristique, on doit chercher des solutions sous la forme :

$$\alpha \mathrm{e}^{3\mathrm{i}t}+\beta \mathrm{e}^{-3\mathrm{i}t}\;.$$

Comme elles doivent être réelles, on cherchera par identification des coefficients deux réels $\gamma$ et $\delta$ tels que :

$$\gamma \cos(3t)+\delta \sin(3t)$$

soit solution. On trouve $\gamma = -1/32$ et $\delta=0$. Voici la solution générale de l'équation de départ $y''(t)=-y(t)+\cos^2(t)$.

$$y(t)=\frac{3}{8}t\sin(t)-\frac{1}{32}\cos(3t)+C_1\cos(t)+C_2\sin(t) \;,\quad(C_1,C_2)\in\mathbb{R}^2\;.$$